用能觀標(biāo)準(zhǔn)型實現(xiàn);反之,用能控。例求如下傳遞函數(shù)-青島理工大學(xué)_第1頁
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文檔簡介

1、現(xiàn)代控制理論,青島理工大學(xué)自動化工程學(xué)院,2015-09-24,,3.7 能控標(biāo)準(zhǔn)型和能觀標(biāo)準(zhǔn)型,狀態(tài)變量的非唯一性導(dǎo)致了系統(tǒng)狀態(tài)空間模型的非唯一性。,若在狀態(tài)空間的一組特定基底下,系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型具有某種特定形式,則稱這種形式的狀態(tài)空間模型為標(biāo)準(zhǔn)型(規(guī)范型)。,如約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型,是以系統(tǒng)的特征向量為狀態(tài)空間基底所導(dǎo)出的標(biāo)準(zhǔn)型,它便于求解狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣、判斷可控性和可觀性。,SISO系統(tǒng),變換為:便于狀態(tài)反饋設(shè)計的能控標(biāo)準(zhǔn)型I/II;

2、便于狀態(tài)觀測器設(shè)計的能觀標(biāo)準(zhǔn)型I/II。,一、單輸入系統(tǒng)的能控標(biāo)準(zhǔn)型,1:能控標(biāo)準(zhǔn)I型,若SISO系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型為,且,其中, 為系統(tǒng)矩陣特征多項式的系數(shù),則稱該狀態(tài)空間模型為能控標(biāo)準(zhǔn)I型。,1) 能控標(biāo)準(zhǔn)型一定是能控的? 尋找判據(jù)2)一定存在線性變換將狀態(tài)能控的狀態(tài)空間模型化為能控標(biāo)準(zhǔn)型? 構(gòu)造轉(zhuǎn)換矩陣,兩個問題:,能控標(biāo)準(zhǔn)型一定是能控的?,秩判據(jù),故系統(tǒng)能控。,線性變

3、換不改變能控性,只有狀態(tài)完全能控的系統(tǒng)才能轉(zhuǎn)化為能控標(biāo)準(zhǔn)型。,能控標(biāo)準(zhǔn)I型的轉(zhuǎn)化方法,取,有:,凱萊—哈密頓定理:,能控標(biāo)準(zhǔn)I型直接寫出傳遞函數(shù),例 寫出以下傳遞函數(shù)的能控標(biāo)準(zhǔn)I型。,解:,無零極點相約,故能控且能觀測??梢曰癁槟芸貥?biāo)準(zhǔn)型。,所以:,能控標(biāo)準(zhǔn)I型為:,例,2:能控標(biāo)準(zhǔn)II型,若SISO系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型為,且,其中, 為系統(tǒng)矩陣特征多項式的系數(shù),則稱該狀態(tài)空間模型為能控標(biāo)準(zhǔn)II型。,

4、能控標(biāo)準(zhǔn)型一定是能控的,秩判據(jù),故系統(tǒng)能控。,能控標(biāo)準(zhǔn)型II的轉(zhuǎn)化方法,取,能控標(biāo)準(zhǔn)型與能觀標(biāo)準(zhǔn)型是對偶系統(tǒng),能觀標(biāo)準(zhǔn)型的討論可以借助能控標(biāo)準(zhǔn)型來進行,所以能控標(biāo)準(zhǔn)型的2條結(jié)論都適用于能觀標(biāo)準(zhǔn)型。,二、單輸出系統(tǒng)的能觀標(biāo)準(zhǔn)型,①若系統(tǒng)的動態(tài)方程具有能觀標(biāo)準(zhǔn)形式,則系統(tǒng)一定是狀態(tài)完全能觀的。,變換的步驟也可借用對偶系統(tǒng)化為能控標(biāo)準(zhǔn)型的步驟。,②若系統(tǒng)能觀,則它的動態(tài)方程一定能通過非奇異變換化為能觀標(biāo)準(zhǔn)形式。,1:能觀標(biāo)準(zhǔn)I型,若SISO

5、系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型為,且,其中, 為系統(tǒng)矩陣特征多項式的系數(shù),則稱該狀態(tài)空間模型為能觀標(biāo)準(zhǔn)I型。,能觀 I與能控 II互為對偶,,對偶,,,,,,,2:能觀標(biāo)準(zhǔn)II型,若SISO系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型為,且,其中, 為系統(tǒng)矩陣特征多項式的系數(shù),則稱該狀態(tài)空間模型為能觀標(biāo)準(zhǔn)II型。,能觀 II與能控 I互為對偶,由對偶性原理,類似于I型中的分析,有:,

6、,對偶,,,,,,,能控能觀標(biāo)準(zhǔn)型的優(yōu)點是以明顯形式直接和系統(tǒng)特征多項式系數(shù)聯(lián)系起來。這有利于我們討論系統(tǒng)的綜合問題。,,能觀標(biāo)準(zhǔn)II型直接寫出傳遞函數(shù),例 寫出以下傳遞函數(shù)的能觀標(biāo)準(zhǔn)II型。,解:,無零極點相約,故能控且能觀測。可以化為能觀標(biāo)準(zhǔn)型。,所以:,能觀標(biāo)準(zhǔn)II型為:,3.8 系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分解,結(jié)構(gòu)分解的意義,,,,,,,狀態(tài)不完全能控的系統(tǒng):1)哪部分狀態(tài)能控,哪部分狀態(tài)不能控;2)是否存在線形變換將能控狀態(tài)和不能控狀

7、態(tài)區(qū)別開來。,狀態(tài)不完全能觀的系統(tǒng):1)哪部分狀態(tài)能觀,哪部分狀態(tài)不能觀;2)是否存在線形變換將能觀狀態(tài)和不能觀狀態(tài)區(qū)別開來。,不能控系統(tǒng),,,能控的狀態(tài)變量,不能控的狀態(tài)變量,,,能控子系統(tǒng),不能控子系統(tǒng),,,,,,,,1. 按能控性分解,2. 按能觀性分解,明顯表示出系統(tǒng)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)特性,深刻反映系統(tǒng)的傳遞特性,3. 按能控能觀性分解,一、按能控性分解,如果線性定常系統(tǒng): 是狀態(tài)不完全能

8、控的,它的能控性判別矩陣的秩,則存在非奇異變換:,將狀態(tài)空間描述變換為:,其中:,非奇異變換陣:前n1列為能控性矩陣中n1個線性無關(guān)的列,其余列在保證Rc非奇異下任選。,能控性分解示意圖:,其中 是n1維能控部分:,其中 是n-n1維不能控部分:,u不能直接控制 ,而 未來信息中又不含 的信息。,,能控部分,不能控部分,證明:變換矩陣

9、,1). 不唯一,變換后兩個子系統(tǒng)的階次唯一,但狀態(tài)空間表達式可能不同。,,,2). 系統(tǒng)的極點集合是由能控子系統(tǒng)的極點集合和不能控子系統(tǒng)的極點集合 組成。,注:,3). 狀態(tài)不完全能控的系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣等于其能控子系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣。,,,,不能控子系統(tǒng),能控子系統(tǒng),,(3)分解系統(tǒng),二、按能觀性分解,如果線性定常系統(tǒng): 是狀態(tài)不完全能觀的,,它的

10、能觀性判別矩陣的秩:,則存在非奇異變換:,將狀態(tài)空間描述變換為:,其中:,,,,,,,,,,,,,,,,非奇異變換陣:前n1列為能觀性矩陣中n1個線性無關(guān)的行,其余行在保證Ro非奇異下任選。,能觀性分解示意圖:,,能觀部分,不能觀部分,其中 是n1維能觀測部分:,其中 是n-n1維不能觀測部分:,對y沒有直接影響,而 中又不含 的信息。,關(guān)于

11、按能控性分解的注解也適合按能觀性分解,即,2). 系統(tǒng)的極點集合是由能觀子系統(tǒng)的極點集合和不能觀子系統(tǒng)的極點集合組成。,1). 不唯一,變換后兩個子系統(tǒng)的階次唯一,但狀態(tài)空間表達式可能不同。,3). 狀態(tài)不完全能觀的系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣等于其能觀子系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣。,三、按能控能觀性分解,方法一: Step 1°.按能控(能觀)分解為兩個系統(tǒng) Step 2°.對兩個子系統(tǒng)分別按能

12、觀(能控)分解,經(jīng)過上述分解(三次線性變換)后,得到系統(tǒng)的規(guī)范分解表達式:,系統(tǒng)的極點集合由4個子系統(tǒng)的極點集合組成,它們分別是 的特征值。,從上述方塊圖可以清楚看出,系統(tǒng)的輸入至輸出的唯一傳遞路線是:,因此,系統(tǒng)的傳遞關(guān)系(傳遞函數(shù)矩陣)為:,即系統(tǒng)的傳遞函數(shù)(矩陣)只表示了既能控又能觀子系統(tǒng)的輸入-輸出關(guān)系,是系統(tǒng)的一種不完全描述,系統(tǒng)的不可控或者不可觀部分不會出現(xiàn)在傳

13、遞函數(shù)中。,方法二: Step 1°:求系統(tǒng)的約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型, Step2°:根據(jù)能控能觀的標(biāo)準(zhǔn)型判據(jù),調(diào)整各狀態(tài)變量 的位置。,,,,,,,,,,,,,,,,,3.9 傳遞函數(shù)的實現(xiàn)問題和零極點對消,一、實現(xiàn)問題,真有理實矩陣:,系統(tǒng)實現(xiàn)的特性:,實現(xiàn)的存在性:對于任意的傳遞函數(shù),只要滿足物理上可實現(xiàn)的條件(真有理實矩),則一定

14、能找到其實現(xiàn)。,實現(xiàn)的非唯一性:狀態(tài)變量非唯一。,二、能控、能觀標(biāo)準(zhǔn)型實現(xiàn),由傳遞函數(shù)建立的狀態(tài)空間實現(xiàn)為能控、能觀標(biāo)準(zhǔn)型。,傳遞函數(shù)直接寫出能控標(biāo)準(zhǔn)I型、能觀標(biāo)準(zhǔn)II型,單輸入單輸出系統(tǒng),傳遞函數(shù)到能觀標(biāo)準(zhǔn)I型、能控標(biāo)準(zhǔn)II型(P29),多輸入多輸出系統(tǒng),能控標(biāo)準(zhǔn)型實現(xiàn),能觀標(biāo)準(zhǔn)型實現(xiàn),兩種實現(xiàn)維數(shù)不同,,維數(shù)是否最小,結(jié)構(gòu)是否最簡單,三、最小實現(xiàn),定義:設(shè) 為傳遞函數(shù)陣G(s)的一個實現(xiàn),如果其狀態(tài)向量的維數(shù)為所有實現(xiàn)最

15、小維數(shù),則稱之最小實現(xiàn)。,意義:一般情形下,維數(shù)越小,越便于系統(tǒng)的分析、設(shè)計和綜合;在保持系統(tǒng)性能的前提下,最小實現(xiàn)使得系統(tǒng)具有最簡單的結(jié)構(gòu),成本低。,最小實現(xiàn)的求解:Step1: 給出G(s)一個能控實現(xiàn)∑Step2: 檢查∑的能觀性。Step3:若其不能觀,按能觀性分解,得到其既能控,又能 觀的子系統(tǒng),即最小實現(xiàn)。,,判斷準(zhǔn)則:,最小實現(xiàn)的求解:Step1: 給出G(s)一個能觀實現(xiàn)∑Step

16、2: 檢查∑的能控性。Step3:若其不能控,按能控性分解,得到其既能觀,又能 控的子系統(tǒng),即最小實現(xiàn)。,輸入變量比輸出變量多時,用能觀標(biāo)準(zhǔn)型實現(xiàn);反之,用能控。,例 求如下傳遞函數(shù)矩陣的最小實現(xiàn),解:,為嚴格真的實有理矩陣,,有:,1)采用能控標(biāo)準(zhǔn)I型實現(xiàn),由秩判據(jù)可知,,該實現(xiàn)不能觀,不為最小實現(xiàn),對其進行能觀性分解求最小實現(xiàn)。能觀性分解后得能觀子系統(tǒng),即最小實現(xiàn)為:,2)采用能觀標(biāo)準(zhǔn)II型實現(xiàn),由秩

17、判據(jù)可知,,該實現(xiàn)能控,為最小實現(xiàn)。,,,再來看一下式子:,等式左邊的分母多項式為n 次,右邊的分母多項式為 l 次。,等式成立的唯一可能是等式左邊式子存在零、極點相消。,可見系統(tǒng)的能控、能觀性與傳遞函數(shù)是否存在零、極點相消現(xiàn)象有必然聯(lián)系。,四、傳遞函數(shù)零極點對消與能控能觀的關(guān)系,線性定常單輸入單輸出系統(tǒng)狀態(tài)完全能控、能觀的充要條件是傳遞函數(shù) 無零、極點相消。,單輸入單輸出系統(tǒng),,系統(tǒng)狀態(tài)完全能

18、控、能觀系統(tǒng)的最小實現(xiàn)(維數(shù)對應(yīng)于傳遞函數(shù)無零、極點相消),反之,傳遞函數(shù)出現(xiàn)零、極點相消現(xiàn)象,無法確定統(tǒng)是不能控的,還是不能觀的,還是既不能控又不能觀的。,傳遞函數(shù)的分子、分母有相同因子(s-1),所以系統(tǒng)應(yīng)為不完全能控能觀的。,顯然實現(xiàn)1能控不能觀,實現(xiàn)2不能控能觀,實現(xiàn)3不能控不能觀。,單輸入線性定常系統(tǒng)狀態(tài)完全能控的充要條件是由控制到狀態(tài)的傳遞關(guān)系 無零、極點相消。,單輸出線性定常系

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