第6章機械振動

1、機械振動,第六章,機械振動：物體在一定位置附近作來回往復的運動。,,廣義振動：任一物理量(如電量、電流等)在某一數(shù)值附近反復變化。,,,一、簡諧振動的描述,6-1 簡諧振動,物體運動時，離開平衡位置的位移(或角位移)隨時間按余弦或正弦函數(shù)變化.,以彈簧振子為例,1. 運動方程,振幅A 物體離開平衡位置的最大距離,決定于初始條件.,周期T 物體完成一次全振動所需時間.,頻率? :單位時間內振動的次數(shù).,角頻率?,相位? t ?? :

2、決定某時刻的質點的運動狀態(tài),初相位?,2.振動速度及加速度,簡諧振動的加速度和位移反向正比.,3.振動初相及振幅由初始條件決定,初始條件：當t = 0時, x = x0 ，v = v0,代入,得,例如：v0 = 0, x0 = A,例1. 一質點沿x 軸作簡諧振動，A= 0.12 m, T= 2 s, 當t = 0 時, x0 = 0.06 m, 此時刻質點向x 正向運動。求此簡諧振動的表達式。,解：,取平衡位置為坐標原點,設簡諧振動

3、表達式為,T= 2 s,簡諧振動的表達式為,,A= 0.12 m,二、簡諧振動的旋轉矢量表示法,1.簡諧振動與勻速圓周運動,勻速圓周運動在x軸上的投影為簡諧振動：,,2.簡諧振動的旋轉矢量表示法,注意：旋轉矢量本身繞起始端勻角速度逆時針旋轉，其末端在x軸上的投影點才做簡諧振動。,3.兩同頻率簡諧振動的相位差,兩個諧振動,相位差,若?? =?2??1 > 0, 稱x2比x1超前 (或x1比x2落后)。,當?? = 0,兩振動步調相

4、同,稱同相,當?? =? ,兩振動步調相反,稱反相,用旋轉矢量表示振動相位關系,同相,反相,例：由旋轉矢量確定簡諧振動中位移與速度、位移與加速度的相位差。,例2. 以余弦函數(shù)表示的簡諧振動的位移時間曲線如圖所示，確定其振動方程.,,解:,設振動方程為,由旋轉矢量確定振動初相位：當 t = 0,,,旋轉矢量以? 從 t = 0 到t = 1 轉過角度為,三、簡諧振動的動力學方程,由振動方程,令,(回復力),反之，如質點所受的力,則質點一定

5、作簡諧振動.,或位移滿足,簡諧振動微分方程,簡諧振動的定義,運動學定義,動力學定義,或,簡諧振動的質點所受的合外力與它相對于平衡位置位移成正比而反向。,固有角頻率,四、簡諧振動實例,1. 彈簧振子,選平衡位置為原點,位移為x處，物體所受的的合外力,滿足簡諧振動的動力學定義,物體一定作簡諧振動.,由牛頓第二定律,角頻率,完全由振動系統(tǒng)本生的性質決定。,固有周期,固有頻率,振動方程,2. 單擺,當? ? 5?時，,擺球角位移為? 時受的合外

6、力,平衡位置 ：? = 0.,諧振動微分方程,結論：單擺的小角度擺動是簡諧振動。,3. 復擺,繞不過質心的水平固定軸轉動的剛體。,令,小幅擺動時,角位移?，回復力矩,M =?mghsin?,M =?mgh?,由剛體的轉動定律,或,諧振動微分方程,拓展與思考,由能量守恒建立簡諧振動微分方程,? 很小(? 5?)，,,線性諧振動,角諧振動,簡諧振動的判斷及振動方程的確定,歸納與總結,例如：對圖示的扭擺，圓盤的轉動慣量為J,? 為扭轉常數(shù)，

7、取決于懸線的長度、直徑及材料。,例3.如圖m=2?10-2kg, 彈簧的靜止形變?yōu)?l =9.8cm t =0時, x0? ?9.8cm, v0=0(1)取開始振動時為計時零點， 寫出振動方程；(2)若取x0=0，v0>0為計時零點， 寫出振動方程,并計算振動頻率。,解：,(1)確定平衡位置 mg=k?l 取為原點 k=mg/ ?l 令向下有位移 x, 則 f =

8、mg? k(?l +x)= ? kx?系統(tǒng)作諧振動，設振動方程為,由初始條件得,由x0=Acos?0=? 0.098<0 ? cos?0<0, 取?0=?,振動方程為：x = 9.8?10?2cos(10t+?) m,(2)按題意,t=0 時 x0=0，v0>0,x0=Acos?0=0 , cos?0=0 ?0=?/2 ,3?/2,v0=?A?sin?>0 , sin ?0 <0, 取?0=3

9、?/2,? x=9.8?10-2cos(10t+3?/2) m,對同一諧振動取不同的計時起點?不同，但?、A不變,固有頻率,x0? ?9.8cm, v0=0,例4. 如圖所示，振動系統(tǒng)由一倔強系數(shù)為k的 輕彈簧、一半徑為R、轉動慣量為J的 定滑輪和一質量為m的 物體所組成。使物體略偏離平衡位置后放手，任其振動，試證物體作簡諧振動，并求其周期T.,解：將m的平衡位置取為坐標原點，設平衡位置對應的彈簧伸長量為?l0 , 則,當m有位移

10、x時,聯(lián)立得,物體作簡諧振動,諧振動系統(tǒng)的能量=系統(tǒng)的動能Ek+系統(tǒng)的勢能Ep,某一時刻，諧振子速度為v，位移為x,諧振動的動能和勢能是時間的周期性函數(shù),五、簡諧振動的能量,系統(tǒng)的機械能守恒,振動能量曲線,例5.一彈簧振子沿x軸作簡諧振動，彈簧倔強系數(shù)為k，物體質量為m，簡諧振動振幅為A。求彈簧振子的動能為勢能的3倍時的位置x。,解：,另解：,一、同方向、同頻率諧振動的合成,合振動是簡諧振動, 其頻率仍為?,質點同時參與同方向同頻率的

11、諧振動 :,合振動 :,6-2 簡諧振動的合成,如 A1=A2 , 則 A=0，兩個同幅反相的振動合成的結果將使質點處于靜止狀態(tài)。,合振動的振幅取得最大，兩分振動相互加強。,合振幅最小，兩分振動相互減弱。,兩個重要特例,若兩分振動同相：,若兩分振動反相:,合振動不是簡諧振動,合振動可看作振幅緩變的簡諧振動,二. 兩個同方向頻率相近簡諧振動的合成 拍,分振動,合振動,當?2??1時,,拍 合振動忽強忽弱的現(xiàn)象,拍頻: 單位時間內加

12、強或減弱的次數(shù) ? =|?2??1|,Beat phenomenon,拍的現(xiàn)象常被用于校正樂器。例如我們可以利用標準音叉來校準鋼琴的頻率：因為音調有微小差別就會出現(xiàn)拍音，調整到拍音消失，鋼琴的一個鍵就被校準了。微波測速雷達：被測物體移動時，由于直達波和反射波混合的結果在接收檢波器上混頻出差拍信號，該差拍信號的頻率和移動物體速度成線性關系。,拍的應用,三、兩個相互垂直的同頻率簡諧振動的合成,合振動,分振動,合振動質點的軌跡方程,為橢圓方

13、程.,,兩相互垂直同頻率不同相位差簡諧振動的合成,四、兩個相互垂直不同頻率的簡諧振動的合成,軌跡稱為李薩如圖形,對于兩個頻率不相同的諧振動，其相位差,不斷地隨時間變化，因而合振動不一定有穩(wěn)定的軌跡。只有在兩振動的頻率成簡單的整數(shù)比時，才有穩(wěn)定的軌跡。,李薩如圖形,解：(1),解：(2),x1和x3合成振幅最大, x1和x3同相,x2和x3合成振幅最小, x1和x3反相,一、 阻尼振動,阻尼振動,能量隨時間減小的振動稱阻尼振動或減幅振動。

14、,摩擦阻尼：系統(tǒng)克服阻力作功使振幅受到摩擦力的作用，系統(tǒng)的動能轉化為熱能。,輻射阻尼：振動以波的形式向外傳波，使振動能量向周圍輻射出去。,,6-3 阻尼振動 受迫振動和共振,固定端,物體以不大的速率在粘性介質中運動時,介質對物體的阻力僅與速度的一次方成正比,? ?阻尼系數(shù),由牛頓第二定律，得,l0 = mg/k,系統(tǒng)固有角頻率,阻尼因子,弱阻尼,阻尼振動的振幅按指數(shù)衰減,過阻尼,系統(tǒng)不作往復運動，而是非常緩慢地回到平衡位置,臨界阻

15、尼,系統(tǒng)不作往復運動，而是較快地回到平衡位置并停下來,阻尼振動的應用,在實際生產和生活中，常根據不同的要求，通過不同的方法來控制阻尼的大小。例如，各種機器，為了減震、防震，都要加大摩擦阻尼。各種聲源、樂器，總希望它能輻射足夠大的聲 能，就需要加大其輻射阻尼，各種樂器上的空氣箱就起這種作用。,在靈敏電流計中，為了盡快地、較準確地進行讀數(shù)測量，常使電流計的偏轉系統(tǒng)處于臨界阻尼狀態(tài)下工作。因為臨界阻尼與過阻尼和弱阻尼狀態(tài)相比，振動物體

16、回到平衡位置的時間最短。,二、 受迫振動,受迫振動：振動系統(tǒng)在周期性外力作用下的振動。這種周期性的外力稱為驅動力。,系統(tǒng)在彈性力、阻力和驅動力的作用下，其運動方程為,令,受迫振動的微分方程,在阻尼較小的情況下的通解,經過一段時間后，減幅振動可以忽略不計。系統(tǒng)達到穩(wěn)定狀態(tài)后的振動為一穩(wěn)定的等幅振動。,受迫振動的穩(wěn)定狀態(tài)為,受迫振動微分方程,(1)角頻率: 等于驅動力的角頻率 ?,(3)初相:,特點:穩(wěn)態(tài)時的受迫振動按簡諧振動的規(guī)

17、律變化。,(2)振幅:,受迫振動振幅的大小，不決定于系統(tǒng)的初始條件，而與振動系統(tǒng)的性質(固有角頻率、質量)、阻尼的大小和驅動力的特征有關。,最大振幅為,如? ?? ?0 ，?r= ?0,即驅動力的角頻率等于振動系統(tǒng)的固有角頻率時，振幅達到最大值。這種現(xiàn)象叫共振。,三、共振,受迫振動的振幅,與驅動力的角頻率?有關。令dA/d? =0，可得與振幅極大值對應的角頻率為,在共振時， ? = ?0,共振原因的進一步分析,受迫振動的振動方程,初

18、相,則 ? = ?? /2,振動速度，,這說明，振動速度和驅動力同相(F = Acos? t )，因而，驅動力總是對系統(tǒng)做正功，系統(tǒng)能最大限度地從外界得到能量。這就是共振使振幅最大的原因。,驅動力,受迫振動的微分方程,共振的利與弊,共振現(xiàn)象在實際中有著廣泛的應用：鋼琴、小提琴等樂器的木制琴身，利用共振現(xiàn)象使其成為了一共鳴盒，以提高音響效果；收音機的調諧裝置也利用了共振現(xiàn)象（電磁共振）選臺；原子核內的核磁共振用來進行物質結

19、構的研究及醫(yī)療診斷等。,共振的利與弊,共振現(xiàn)象也有其危害性：例如，共振時振動系統(tǒng)的振幅過大，建筑物、機器設備等就會受到嚴重的損壞；汽車行駛時，若發(fā)動機運轉的頻率接近車身的固有頻率，車身也會產生強烈的共振而受到損壞。,18世紀中葉，一隊拿破侖士兵在指揮官的口令下，邁著威武雄壯、整齊劃一的步伐，通過法國昂熱市一座大橋，快走到橋中間時，橋梁突然發(fā)生強烈的顫動并且最終斷裂坍塌，造成許多官兵和市民落入水中喪生。造成這次慘劇的罪魁禍首，正

20、是共振！因為大隊士兵齊步走時，產生的一種頻率正好與大橋的固有頻率一致，使橋的振動加強，當它的振幅達到最大限度直至超過橋梁的抗壓力時，橋就斷裂了。,共振的利與弊,聲音殺人,聽不到的聲音——次聲，頻率低于20赫茲，人體內臟固有頻率和次聲頻率接近，外來次聲會引起人體無法忍受的顫抖，從而產生視覺障礙、定向力障礙、惡心等癥狀，甚至還會出現(xiàn)可導致死亡的內臟損壞或破裂。,共振現(xiàn)象也有其危害性：例如，共振時振動系統(tǒng)的振幅過大，建筑物、機器設備等就會

21、受到嚴重的損壞；汽車行駛時，若發(fā)動機運轉的頻率接近車身的固有頻率，車身也會產生強烈的共振而受到損壞。,由開有許多小孔的孔板和空腔所構成，當傳來的噪聲頻率與消聲器的固有頻率相同時，就會跟小孔內空氣柱產生劇烈共振。這樣，相當一部分噪聲能在共振時被“吞吃”掉。,公路隔音墻,措施：破壞外力的周期性、改變物體的固有頻率、改變外力的頻率、增大系統(tǒng)的阻尼等。,共振的利與弊,簡諧振動微分方程,一、簡諧振動的定義,動力學定義,或,簡諧振動表達式,彈