第7章矩陣的特征值和特征向量

1、第7章 矩陣的特征值和特征向量,很多工程計算中，會遇到特征值和特征向量的計算，如：機械、結(jié)構(gòu)或電磁振動中的固有值問題；物理學(xué)中的各種臨界值等。這些特征值的計算往往意義重大。,特征值：,的根 為矩陣A的特征值,特征向量：滿足,的向量v為矩陣A的對于特征值 的,稱為矩陣A的特征多項式,是高次的多項式，它的求根是很困難的。沒有數(shù)值方法是通過求它的根來求矩陣的特征值。通常對某個特征值，可以用些針對性的方法來求其近似值。若要求

2、所有的特征值，則可以對A做一系列的相似變換，“收斂”到對角陣或上（下）三角陣，從而求得所有特征值的近似。,特征向量,7.1 冪法,矩陣的按模最大特征值往往表現(xiàn)為閾值。如：矩陣的譜半徑。冪法就是一種求矩陣按模最大特征值的方法，它是最經(jīng)典的方法。,冪法要求A有完備的特征向量系，即A有n個線性無關(guān)的特征向量。在實踐中，常遇到的實對稱矩陣和特征值互不相同的矩陣就具有這種性質(zhì)。設(shè)A的特征值和特征向量如下：,特征值：,特征向量：,冪法可以求,，基本

3、思想很簡單。,設(shè),線性無關(guān)，取初值,，作迭代,設(shè)：,則有：,（1）若：,則k足夠大時，有,可見,幾乎僅差一個常數(shù),所以：,任意分量相除,特征向量乘以任意數(shù)，仍是特征向量,（2）若：,則k足夠大時，有,所以：,所以：,算法：,1、給出初值，計算序列,2、若序列表現(xiàn)為，相鄰兩個向量各個分量比趨向于常數(shù),若序列表現(xiàn)為，奇偶序列各個分量比趨向于常數(shù)，則,若序列表現(xiàn)為其他，退出不管,求矩陣A的按模最大的特征值,解 取x(0)=(1,0)T ,計

4、算x(k)=Ax(k-1), 結(jié)果如下,例,可取 ??0.41263 ,x1?(0.017451,0.014190)T .,,決定收斂的速度，特別是 | ?2 / ?1 |,希望 | ?2 / ?1 | 越小越好。,不妨設(shè) ?1 > ?2 ? … ? ?n ，且 | ?2 | > | ?n |。,,p = ( ?2 + ?n ) / 2,思路,令 B = A ? pI ，則有 | ?I?A | = | ?I?(B+pI)

5、| = | (??p)I?B |? ?A ? p = ?B 。而 ，所以求B的特征根收斂快。,在冪法中，我們構(gòu)造的序列,可以看出,因此，若序列收斂慢的話，可能造成計算的溢出或歸0,改進－冪法的規(guī)范運算,則，易知：,所以，有：,最大分量為1,即,（1）若：,時，有,時，有,（2）若：,分別收斂到兩個向量，且不是互為反號。,借助冪法來求特征值和特征向量。計算：,則：,算法：,1、給出初值，計算序

6、列,2、若序列收斂，則,若序列的奇偶序列分別收斂，且兩個數(shù)互為反號，則,若序列的奇偶序列分別收斂，且兩個數(shù)不互為反號，則,反冪法,所以，A和A－1的特征值互為倒數(shù),這樣，求A－1的按模最大特征值，就可以求出A的按模最小特征值,為避免求逆的運算，可以解線性方程組,若知道某一特征根 ?i 的大致位置 p ，即對任意 j ? i 有| ?i ? p | << | ?j ? p | ，并且如果 (A ? pI)?1存在，則可以用反冪

7、法求(A ? pI)?1的主特征根 1/(?i ? p ) ，收斂將非常快。,思路,7.1 Jacobi方法－對稱陣,P為n階可逆陣，則A與P－1AP相似，相似陣有相同的特征值。,若A對稱，則存在正交陣Q(QTQ=I)，使得,直接找Q不大可能。我們可以構(gòu)造一系列特殊形式的正交陣Q1,...,Qn對A作正交變換使得對角元素比重逐次增加，非對角元變小。當非對角元已經(jīng)小得無足輕重時，可以近似認為對角元就是A的所有特征值。Jacobi方法就是這

8、樣一類方法。,1、Givens旋轉(zhuǎn)變換,對稱陣,為正交陣,記：,則：,變換的目的是為了減少非對角元的分量，則,記,則,的按模較小根,所以：,2、Jacobi方法,取p,q使,，則,定理：,若A對稱，則,解 記 A(0)=A,取p=1,q=2,apq(0)=a12(0)=2,于是有,例 用Jacobi 方法計算對稱矩陣的全部特征值.,從而有,所以,再取p=2,q=3,apq(1)=a23(1)=2.020190,類似地可得,從而A的

9、特征值可取為 ?1?2.125825, ?2?8.388761, ?3?4.485401,為了減少搜索非對角線絕對值最大元素時間, 對經(jīng)典的Jacobi方法可作進一步改進.,1.循環(huán)Jacobi方法: 按(1,2),(1,3),…,(1,n), (2,3),(2,4),…, (2,n) ,…,(n-1,n)的順序, 對每個(p,q)的非零元素apq作Jacobi變換,使其零化,逐次重復(fù)掃描下去,直至?(A)<?