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文檔簡介
1、11-1,統(tǒng)計學(xué),郭信霖許淑卿,11-2,第十一章變異數(shù)分析,■ 11-1 變異數(shù)分析的意義、原理■ 11-2 一因子ANOVA■ 11-3 二因子變異數(shù)分析(未重複試驗、無交互作用)■ 11-4 電腦範(fàn)例■ 11-5 流程圖,11-3,11-1 變異數(shù)分析的意義、原理,一、變異數(shù)分析的意義統(tǒng)計學(xué)家R.A. Fisher(1890~1962)首創(chuàng)變異數(shù)分析(Analysis of Variance,ANOV
2、A),在相同的顯著水準?下,同時(simultaneously)檢定k個母體平均數(shù)是否相等的方法,謂之。一因子ANOVA(one-way ANOVA):以一個解釋變數(shù)來解釋反應(yīng)變數(shù)變異來源的一種分析方法。二因子ANOVA(two-way ANOVA):以兩個解釋變數(shù)來解釋反應(yīng)變數(shù)變異來源的一種分析方法。多因子ANOVA:按兩個以上因子分類分析。,11-4,,11-5,,ANOVA的步驟是,將樣本各觀測值之總變異(total of
3、variation)分解為組間變異(between of variation)與組內(nèi)變異(within of variation)。ANOVA方法是透過對變異數(shù)的分析來同時檢定k個母體之平均數(shù) ?i,i = 1, 2, …, k是否相等。即檢定,H0:?1 = ?2 =…= ?k,H1:至少有二平均數(shù)不等。,11-6,二、變異數(shù)分析之原理ANOVA基本功能: H0:?1 = ?2 =…= ?k v.s. H1:?1
4、, ?2 , …, ?k不全相等進行ANOVA分析時,必先建立三種假設(shè):(1)每個母體均為常態(tài)母體。(2)來自每個母體的隨機樣本均互為獨立。(3)每個母體的變異數(shù)均相等,即==…= =組內(nèi)變異:由各組本身資料的分佈情形去觀察資料本身內(nèi)部的變異;組間變異:由各組平均數(shù)的分佈情形去觀察各組平均數(shù)之間的變異。,,,,,11-7,SST(總變異) == += +=
5、 SSE (組內(nèi)變異) + SSC (組間變異)= 誤差平方和 + 行平均數(shù)平方和(處理平方和)簡捷公式:先求SST,SSC,再求SSE = SST - SSC。,,,,,,11-8,若n1 = n2 =… = nk = n,則簡捷計算公式為SST ==SSC == n=∴ SSE = SST - SSC == (n -1),,,,,,,,11-9,若ni不全相等
6、,則簡捷計算公式為:SST ==,N =SSC == =∴ SSE = SST - SSC = =變異數(shù)分析方法的建立就是以樣本資料去估計組內(nèi)和組間這兩種變異數(shù),再配合各自由度,以應(yīng)用F分配檢定。,,,,,,,,,11-10,11-2 一因子ANOVA,一、一因子ANOVA樣本資料設(shè)從k個母體中,分別抽出大小為ni,i = 1, 2, …, k的隨機樣本,令Y
7、ij表來自第i個母體的第j個觀測值,這種試驗過程,稱為完全隨機設(shè)計(completely randomized design,CRD),所得到的樣本資料如下表:,11-11,,,,,,,,,,,,,,,,,,,表11-3 一因子ANOVA樣本資料,11-12,設(shè)N =,T ==, = = ,=且Yij = ? i + ? ij = ? + ? i + ? ij ~N( ? i , ? 2 ),i =
8、 1, …, k,j = 1, …, n i,式中? ij = Yij -? i表誤差項(error term)或殘差項(residual)。其性質(zhì)如下:(1)? ij為獨立隨機變數(shù)。(2) ? ij ~N(0 , ? 2)(3)? i - ? = ? i且= 0(4) ? i稱為第i個母體的效果、影響。,,,,,,,,,11-13,圖11-3 一因子ANOVA,11-14,二、一因子ANOVA的變異及計算簡式SST =
9、 SSC (組間變異) + SSE (組內(nèi)變異),N – 1 = ( k - 1) + (N - k) , N =,總變異自由度 組間自由度 組內(nèi)自由度(誤差變異自由度),11-15,三、母體變異數(shù)? 2的估計量母體共同變異數(shù)? 2的獨立估計量有二:1.組間變異:= = = MSC(treatment mean square)E(MSC) = ? 2 + > ? 2 = E(
10、MSE)2.組內(nèi)變異:= = MSE(error mean square) E(MSE) = ? 2。,,,,,,,11-16,四、一因子ANOVA檢定步驟及表格一因子ANOVA檢定步驟:(1)假設(shè): H0:?1 = ?2 =…= ?k, H1:至少有二平均數(shù)不相等或H0:?1 = ?2 =…= ?k = 0, H1:至少有一?i ? 0(2)檢定統(tǒng)計量:F = =,,,11-17
11、,(3)拒絕區(qū)域:CR = { F > F? (k-1, N-k) }(4)在H0下,計算檢定統(tǒng)計量的值:F0 = (5)結(jié)論: 若F0?CR,則拒絕H0; 否則,不拒絕H0。,,11-18,,,,,,,,,,,,,,,11-19,11-3 二因子變異數(shù)分析(未重覆試驗、無交互作用),一、二因子ANOVA樣本資料將一組樣本觀測值,按A、B兩種標(biāo)準、因子分類,其中A分類為A1 , A2 ,… , Ar;B分類為
12、B1 , B2 ,… , Bc,在每一個交集項下在完全隨機化集區(qū)設(shè)計(complete randomized block design,CRBD)將相近的性質(zhì)歸類於同一個集區(qū)Bj,然後在每個集區(qū)將r個處理方式隨機指派,而每一個處理方式在同一個集區(qū)內(nèi)恰好出現(xiàn)一次,此種變異數(shù)分析,稱為未重覆試驗的二因子ANOVA,其所得到的樣本資料如下表:,11-20,,,,,,,,,,,,,,,,,,,表11-5 二因子ANOVA樣本資料,11-21,
13、設(shè)Yij ~N(? ij , ? 2),i = 1 ,…, r;j = 1 , … , c且Yij為獨立的隨機變數(shù),表示第i列與第j行的樣本資料,Yij = ? ij + ? ij = ? +? i + ? j +? ij,i = 1 , … , r,j = 1 , …c,式中?ij = Yij - ?ij表Yij與 ?ij之差,稱其為誤差項或殘差項。其性質(zhì)如下:(1)? ij為獨立隨機變數(shù)。(2)? ij ~N(0
14、, ? 2 )(3)? i表第i列的影響且= 0;? j表第i行的影響且= 0。(4)設(shè)行、列間的影響有可加性,則? ij = ? +? i+? j 且? i. = ? + ? i,?.j = ? + ? j,11-22,二、二因子ANOVA的變異及計算簡式,將樣本資料總變異,按變異來源,分解成列變異(列平方和,SSR)、行變異(行平方和,SSC)及剩餘變異(誤差平方和,SSE)等三部份。SST = =
15、c + r += SSR + SSC + SSE,,,,,11-23,二因子ANOVA中平方和計算簡式:總變異 = SST = =列變異 = SSR = c=行變異 = SSC = r=誤差變異 = SSE = SST - SSR - SSC rc – 1 = ( r - 1) + (c - 1) + (r - 1)(c - 1)總變
16、異自由度 列變異自由度 行變異自由度 誤差變異自由度,,,,,,,11-24,三、母體變異數(shù)? 2的估計量,母體共同變異數(shù)? 2的獨立估計量有三:1.列間變異:MSR = E(MSR) = ? 2 +> ? 2 = E(MSE),,,11-25,2.行間變異: MSC = E(MSC) = ? 2 + > ? 2 = E(M
17、SE)3.誤差變異: MSE = E(MSE) = ? 2,,,,11-26,四、二因子ANOVA檢定步驟及表格,二因子ANOVA檢定步驟:1.假設(shè):(1)檢定列間因素的影響 或 (2)檢定行間因素的影響 或,,,,,11-27,2.檢定統(tǒng)計量:Fr = ; (2) Fc = 3.拒絕區(qū)域
18、:(1)CR1 = { Fr > F? ( r - 1 , (r -1)(c-1) ) }(2)CR2 = { Fc > F? ( c - 1 , (r -1)(c-1) ) }4.在H0下,計算檢定統(tǒng)計量的值:Fr0 = ;(2) Fc0 =5.結(jié)論:若Fr0?CR1,則拒絕H0;否則,不拒絕H0。 若Fc0?CR2,則拒絕;否則,不拒絕。,,,,,11-28,,,,,,,,,,,,,,表
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