第十講

1、第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征,§ 1 數(shù)學(xué)期望§ 2 方差§ 3 幾種重要隨機(jī)變量的 數(shù)學(xué)期望和方差§ 4 協(xié)方差及相關(guān)系數(shù)§ 5 矩,CDIO教學(xué)案例數(shù)學(xué)期望,,第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征,§1 數(shù)學(xué)期望,教學(xué)目的： 了解數(shù)學(xué)期望的起源; 理解數(shù)學(xué)期望的概念和性

2、質(zhì); 熟練應(yīng)用數(shù)學(xué)期望。,數(shù)學(xué)期望是隨機(jī)變量最常用最重要的數(shù)字特征，在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)中占有重要地位。針對隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的概念進(jìn)行教學(xué)。,第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征,§1 數(shù)學(xué)期望,1. 直觀理解：問題：在一次乒乓球決賽中設(shè)立獎金1千元.比賽規(guī)定誰先勝了三盤,誰獲得全部獎金.設(shè)甲,乙二人的球技相等,現(xiàn)已打了3盤, 甲兩勝一負(fù), 由于某種特殊的原因必須中止比賽. 問這1000元應(yīng)如何

3、分配才算公平?,要學(xué)生討論：如何分配才算公平？同學(xué)們會各抒己見，發(fā)表自己的看法，綜合同學(xué)們的方法，然后再一起分析，看哪種方法更合理？,第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征,§1 數(shù)學(xué)期望,方案一: 平均分, 這對甲不公平.,方案二: 全部歸甲, 這對乙不公平.,解析：,方案三: 按已勝盤數(shù)的比例分配.,即甲得2/3(667元), 乙得1/3(333元).,方案四： 甲得888.89元,乙得111.11元.,理由如下：,①甲勝

4、,②乙勝,甲再勝,③乙勝,乙再勝,甲贏,甲贏,乙贏,第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征,§1 數(shù)學(xué)期望,是否還有更合理的分配方案？引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)思考。提示：設(shè)想如果比賽再繼續(xù)下去，會出現(xiàn)怎樣的結(jié)果？,第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征,§1 數(shù)學(xué)期望,甲的最終所得可能為1000 元，可能為0 元，這是一個(gè)隨機(jī)變量設(shè)為X，且再比賽兩局必可分出勝負(fù)，其結(jié)果不外乎以下四種情況之一：,甲甲 甲乙 乙甲

5、 乙乙,因球技相同在這四種情況中有三種情況使甲獲得1000 元，一種情況使甲獲得0 元。即甲獲得1000 元的可能性為3/4，獲得0 元的可能性為1/4。即X的分布列為,第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征,§1 數(shù)學(xué)期望,經(jīng)過上述分析，指出甲的期望所得應(yīng)為：0×0.25+1000×0.75=750(元)，即甲得750 元，乙得250 元。方案五：甲分 750元 , 乙分 2

6、50元 . 該分法不僅考慮了已經(jīng)比賽的結(jié)果,還包括了對再比賽下去的一種“期望”。,讓同學(xué)們思考：此分法更為合理。從而引出隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的概念并指出其實(shí)質(zhì)是隨機(jī)變量的“均值”。,第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征,§1 數(shù)學(xué)期望,2.離散型隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望定義的推導(dǎo),(1)設(shè)有n 個(gè)數(shù) ，那么這n 個(gè)數(shù)的平均值為,(2)若這n 個(gè)數(shù)中有相同的，不妨設(shè)其中有 個(gè)取值為

7、 ,將其列表為,第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征,§1 數(shù)學(xué)期望,則其均值應(yīng)為,即以數(shù)值xi 出現(xiàn)的頻率為權(quán)重做加權(quán)平均。,(3)對于一個(gè)離散型隨機(jī)變量X，如果其可能取值為 。則將作為X的均值顯然不恰當(dāng)。,第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征,§1 數(shù)學(xué)期望,其原因在于X取各個(gè)值的概率是不同的，取各個(gè)值的概率不同其值出現(xiàn)的機(jī)會就不

8、同，因此該取加權(quán)平均。怎樣選取權(quán)重？由于取值概率大的出現(xiàn)的機(jī)會就大則在計(jì)算中其權(quán)重也應(yīng)該大，由上例獎金分配問題啟示我們：用取值的概率作權(quán)重作加權(quán)平均是合理的。經(jīng)過以上分析，就可以給出離散型隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的定義。,第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征,§1 數(shù)學(xué)期望,離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望,定義,數(shù)學(xué)期望簡稱期望,又稱為均值。,第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征,§1 數(shù)學(xué)期望,請同學(xué)們思考：定義中的幾個(gè)問題：

9、,(1) 數(shù)學(xué)期望是什么？,(2) 為什么在定義中要求級數(shù)的絕對收斂？,,第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征,§1 數(shù)學(xué)期望,關(guān)于定義的幾點(diǎn)說明,(1) E(X)是一個(gè)實(shí)數(shù),而非變量,它是一種加權(quán)平均,與一般的算術(shù)平均值不同 , 它從本質(zhì)上體現(xiàn)了隨機(jī)變量 X 取可能值的真正平均值, 也稱均值.,(2) 級數(shù)的絕對收斂性保證了級數(shù)的和不隨級數(shù)各項(xiàng)次序的改變而改變 , 之所以這樣要求是因?yàn)閿?shù)學(xué)期望是反映隨機(jī)變量X 取可能值的平

10、均值,它不應(yīng)隨可能值的排列次序而改變.,第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征,§1 數(shù)學(xué)期望,對于連續(xù)型隨機(jī)變量其值充滿整個(gè)區(qū)間，且取每一特定值的概率為0，因此不能直接利用上述定義求其數(shù)學(xué)期望。但可將連續(xù)型隨機(jī)變量離散化，再由離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的定義自然的導(dǎo)出連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的定義。,有了離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的定義，那么思考連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望應(yīng)該如何定義哪？,第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征,§

11、;1 數(shù)學(xué)期望,設(shè)X是連續(xù)型隨機(jī)變量,其密度函數(shù)為f (x),在數(shù)軸上取很密的分點(diǎn)x0 <x1<x2< …,則X落在小區(qū)間[xi, xi+1)的概率是,小區(qū)間[xi, xi+1),陰影面積近似為,3. 連續(xù)型隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的引入,第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征,§1 數(shù)學(xué)期望,小區(qū)間[xi, xi+1),由于xi 與xi+1很接近, 所以區(qū)間[xi , xi+1)中的值可以用xi 來近似代替.

12、,這正是,的漸近和式.,陰影面積近似為,第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征,§1 數(shù)學(xué)期望,定義,以上直觀考慮啟發(fā)引進(jìn)如下定義.,第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征,§1 數(shù)學(xué)期望,第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征,§1 數(shù)學(xué)期望,例1,設(shè)r.v.X的概率密度為,求X的數(shù)學(xué)期望E(X).,解,例2:,(分部積分法),第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征,§1 數(shù)學(xué)期望,二、隨機(jī)變量函數(shù)的

13、數(shù)學(xué)期望,定理 1：,第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征,§1 數(shù)學(xué)期望,設(shè) Y =g( X ), g( x ) 是連續(xù)函數(shù)，,(2)若 X 的概率密度為 f ( x )，,（1）若 X 的分布率為,定理 2：,第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征,若(X, Y)是二維隨機(jī)變量，,(1) 若 ( X, Y ) 的分布律為,(2) 若(X ,Y)的概率密度為 f ( x , y ) ，且,g ( x , y) 是二元連續(xù)函數(shù)，,

14、§1 數(shù)學(xué)期望,第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征,例3 國際市場上每年對我國某種出口商品的需求量是隨機(jī)變量 X（噸），X ~ U[2000,4000]，每售出這種商品一噸，可為國家掙得外匯3萬元，但銷售不出而囤積在倉庫，則每噸需浪費(fèi)保養(yǎng)費(fèi)1萬元。問需要組織多少貨源，才能使國家收益最大。,設(shè) y 為預(yù)備出口的該商品的數(shù)量，則,用 Z 表示國家的收益（萬元）,解：,§1 數(shù)學(xué)期望,第四章 隨機(jī)變量

15、的數(shù)字特征,下面求 EZ，并求 y 使 EZ 達(dá)到最大 值，,即，組織3500噸此種商品是最佳的決策。,例3(續(xù)）,§1 數(shù)學(xué)期望,第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征,解：,例 4,設(shè)(X,Y)在區(qū)域A上服從均勻分布，其中A為x軸,y 軸和直線x+y+1=0所圍成的區(qū)域。求EX，E(-3X+2Y)，EXY。,§1 數(shù)學(xué)期望,三、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì),第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征,§1 數(shù)學(xué)期望,

16、例 5,第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征,對N個(gè)人進(jìn)行驗(yàn)血，有兩種方案：,（2）將采集的每個(gè)人的血分成兩份，然后取其中的一份，按k個(gè)人一組混合后進(jìn)行化驗(yàn)（設(shè)N是k的倍數(shù)），若呈陰性反應(yīng)，則認(rèn)為k個(gè)人的血都是陰性反應(yīng)，這時(shí)k個(gè)人的血只要化驗(yàn)一次；如果混合血液呈陽性反應(yīng)，則需對k個(gè)人的另一份血液逐一進(jìn)行化驗(yàn)，這時(shí)k個(gè)人的血要化驗(yàn)k+1次;,（1）對每人的血液逐個(gè)化驗(yàn)，共需 N 次化驗(yàn)；,退 出,§1 數(shù)學(xué)期望,假設(shè)

17、所有人的血液呈陽性反應(yīng)的概率都是p，且各次化驗(yàn)結(jié)果是相互獨(dú)立的。,試說明適當(dāng)選取 k 可使第二個(gè)方案減少化驗(yàn)次數(shù)。,第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征,§1 數(shù)學(xué)期望,解：設(shè) X 表示第二個(gè)方案下的總化驗(yàn)次數(shù)，,表示第 i 個(gè)組的化驗(yàn)次數(shù)，則,例 5 （續(xù)）,,第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征,§1 數(shù)學(xué)期望,只要選 k 使,即,就可使第二個(gè)方案減少化驗(yàn)次數(shù)；,當(dāng)q已知時(shí)，,第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特

18、征,例如：當(dāng)p=0.1，q=0.9時(shí)，可證明k=4可使最??；這時(shí)，,,工作量將減少40%.,§1 數(shù)學(xué)期望,就可使化驗(yàn)次數(shù)最少。,第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征,例6一民航送客車載有20位旅客自機(jī)場開出，旅客有10個(gè)車站可以下車，如到達(dá)一個(gè)車站沒有旅客下車就不停車。以X表示停車的次數(shù)。求EX（設(shè)每個(gè)旅客在各個(gè)車站下車是等可能的，并設(shè)各旅客是否下車相互獨(dú)立）。,解：,§1 數(shù)學(xué)期望,第四章 隨機(jī)

19、變量的數(shù)字特征,§1 數(shù)學(xué)期望,某工廠的自動生產(chǎn)線加工的某零件的內(nèi)徑 X （單位：mm）服從 規(guī)定該零件的內(nèi)徑小于10 mm或大于12 mm時(shí)為不合格品，其余的情形為合格品。又已知該零件的銷售利潤 Y 與 X 有如下關(guān)系：,思考題：,問零件的平均內(nèi)徑 取什么值時(shí)，銷售一個(gè)零件的平均利潤最大？,問平均直徑 ? 為何值時(shí), 銷售一個(gè)零件的平均利潤最大？,,解：,第四章 隨機(jī)變

20、量的數(shù)字特征,§1 數(shù)學(xué)期望,即,,,可以驗(yàn)證，,第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征,§1 數(shù)學(xué)期望,練習(xí):設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合概率密度為,驗(yàn)證E(XY)=E(X)E(Y), 問X與Y是否相互獨(dú)立？,反例:,驗(yàn)證E(XY)=E(X)E(Y), 問X與Y是否相互獨(dú)立？,第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征,§1 數(shù)學(xué)期望,CDIO教學(xué)小結(jié),通過CDIO教學(xué)案例的教學(xué)，可以達(dá)到如下效果：,（1）了解

21、數(shù)學(xué)期望產(chǎn)生的歷史背景，而且可以了解為什么取名為期望的緣由；（2）通過討論簡單的實(shí)際問題引出離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的概念，從而使學(xué)生更容易理解離散型的數(shù)學(xué)期望的概念；,第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征,§1 數(shù)學(xué)期望,CDIO教學(xué)小結(jié),（3）若直接給出連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的概念，學(xué)生是不理解其實(shí)質(zhì)，所以可以通過連續(xù)型隨機(jī)變量的離散化來引入連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的概念，連續(xù)型隨機(jī)變量的離散化作為離散型與連續(xù)型隨機(jī)變