生成離散系統(tǒng)的零極點(diǎn)模型。

1、第5章 MATLAB在自動(dòng)控制原理的應(yīng)用,5.1 控制系統(tǒng)模型5.2 控制系統(tǒng)的時(shí)域分析 5.3 控制系統(tǒng)的根軌跡 5.4 控制系統(tǒng)的頻域分析5.5 系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析函數(shù)5.6 極點(diǎn)配置和觀測(cè)器設(shè)置5.7 最優(yōu)控制系統(tǒng)設(shè)計(jì),5.1 控制系統(tǒng)模型,,5.1.1 控制系統(tǒng)的描述與LTI對(duì)象1．控制系統(tǒng)的模型及轉(zhuǎn)換 線性控制系統(tǒng)是一般線性系統(tǒng)的子系統(tǒng)。在MATLAB中，對(duì)自動(dòng)控制系

2、統(tǒng)的描述采用三種模型：狀態(tài)空間模型(ss)、傳遞函數(shù)模型(tf)以及零極點(diǎn)增益模型(zpk)。模型轉(zhuǎn)換函數(shù)：ss2tf，ss2zp，tf2ss，tf2zp，zp2ss和zp2tf。,2．LTI對(duì)象 為了對(duì)系統(tǒng)的調(diào)用和計(jì)算帶來方便。根據(jù)軟件工程中面向?qū)ο蟮乃枷?，MATLAB通過建立專用的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)類型，把線性時(shí)不變系統(tǒng)(LTI)的各種模型封裝成為統(tǒng)一的LTI對(duì)象。 MATLAB控制系統(tǒng)工具箱中規(guī)定的LTI對(duì)象

3、包含了三種子對(duì)象：ss對(duì)象、tf對(duì)象和zpk對(duì)象。每個(gè)對(duì)象都具有其屬性和方法，通過對(duì)象方法可以存取或者設(shè)置對(duì)象的屬性值。,在MATLAB的Control System Toolbox(控制系統(tǒng)工具箱)中提供了許多仿真函數(shù)與模塊，用于對(duì)控制系統(tǒng)的仿真和分析。,屬性說明：(1)當(dāng)系統(tǒng)為離散系統(tǒng)時(shí)，給出了系統(tǒng)的采樣周期Ts。Ts＝0或缺省時(shí)表示系統(tǒng)為連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)；Ts=-1表示系統(tǒng)是離散系統(tǒng)，但它的采樣周期未定。 (2) 輸入

4、時(shí)延Td僅對(duì)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)有效，其值為由每個(gè)輸入通道的輸入時(shí)延組成的時(shí)延數(shù)組，缺省表示無(wú)輸入時(shí)延。 (3)輸入變量名InputName和輸出變量名OutputName允許用戶定義系統(tǒng)輸入輸出的名稱，其值為一字符串單元數(shù)組，分別與輸入輸出有相同的維數(shù)，可缺省。 (4)Notes和用戶數(shù)據(jù)Userdata用以存儲(chǔ)模型的其它信息，常用于給出描述模型的文本信息，也可以包含用戶需要的任意其它數(shù)據(jù)，可缺省。,5.1.2

5、　LTI模型的建立及轉(zhuǎn)換函數(shù),在MATLAB的控制系統(tǒng)工具箱中，各種LTI對(duì)象模型的生成和模型間的轉(zhuǎn)換都可以通過一個(gè)相應(yīng)函數(shù)來實(shí)現(xiàn)。,,表5.3 生成LTI模型的函數(shù),[例5-4] 生成離散系統(tǒng)的零極點(diǎn)模型。MATLAB源程序?yàn)椋簔={[] ,-0.5};p={0.3,[0.1+2i,0.2-2i]};k=[2,3];s6=zpk(z,p,k,-1)運(yùn)行結(jié)果為：,Zero/pole/gain from input 1 to

6、 output: ←從第1輸入端口至輸出的零極點(diǎn)增益 2-------(z-0.3) Zero/pole/gain from input 2 to output: ←從第2輸入端口至輸出的零極點(diǎn)增益 3 (z+0.5)-------------------------(z-(0.1+2i)) (z-(0.2-2i)) Sampling time: unspecified表明該系統(tǒng)為雙輸入單輸出的

7、離散系統(tǒng)。,5.1.3 LTI對(duì)象屬性的設(shè)置與轉(zhuǎn)換,1．LTI對(duì)象屬性的獲取與設(shè)置,表5.4 對(duì)象屬性的獲取和修改函數(shù),2．LTI模型的轉(zhuǎn)換函數(shù),表5.5 模型檢測(cè)函數(shù),5.1.4 典型系統(tǒng)的生成,1．隨機(jī)生成N階穩(wěn)定的連續(xù)狀態(tài)空間模型函數(shù)rss( )格式：sys = rss(N,P,M)功能：隨機(jī)生成N階穩(wěn)定的連續(xù)狀態(tài)空間模型，該系統(tǒng)具有M個(gè)輸入，P個(gè)輸出。缺省是P=M=1，即sys=rss(N)。,2. 隨機(jī)生成N階穩(wěn)定的

8、連續(xù)線性模型系數(shù)函數(shù)rmodel( )格式：[num,den]=rmodel(N,P) 功能：生成一個(gè)N階連續(xù)的傳遞函數(shù)模型系統(tǒng)，該系統(tǒng)具有P個(gè)輸出。,3．離散時(shí)間N階穩(wěn)定隨機(jī)系統(tǒng)生成函數(shù)drss( )和drmodel( )drss和drmodel函數(shù)的用法與rss和rmodel函數(shù)的用法相仿，不同點(diǎn)僅僅在于它生成的是離散系統(tǒng)。,4．二階系統(tǒng)生成函數(shù)ord2格式：[A,B,C,D] = ord2(Wn, Z) 功能：生成固有頻

9、率為Wn，阻尼系數(shù)為Z的連續(xù)二階的狀態(tài)空間模型系統(tǒng)。,5．系統(tǒng)時(shí)間延遲的Pade近似函數(shù)pade( )格式：sysx = pade(sys,N)功能：對(duì)連續(xù)系統(tǒng)sys產(chǎn)生N階Pade近似的延時(shí)后，生成新的系統(tǒng)sysx。,5.1.5 LTI模型的簡(jiǎn)單組合與復(fù)雜模型組合,1．LTI模型的簡(jiǎn)單組合(1)若假定兩環(huán)節(jié)均為單輸入單輸出的系統(tǒng)SA和SB。·兩個(gè)環(huán)節(jié)級(jí)聯(lián)：sys＝series(SA，SB)·兩個(gè)環(huán)節(jié)并

10、聯(lián)：sys=parallel(SA，SB)·A環(huán)節(jié)前向，B環(huán)節(jié)反饋：S=feedback(SA,SB)(2)當(dāng)在多輸入多輸出系統(tǒng)中，必須增加輸入變量和輸出變量的編號(hào)：·級(jí)聯(lián)：sys=series(SA，SB，outputA, inputB)·并聯(lián)：sys=parallel(SA,SB,InputA,InputB,OutputA,OutputB)·反饋： sys=feedback(SA,

11、SB,feedout,feedin,sign),[例5-14] 計(jì)算圖5.1所示的系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。MATLAB源程序?yàn)椋簊1=tf([2,5,1],[1,2,3]) %系統(tǒng)s1的傳遞函數(shù)模型s2=zpk(-2,-10,5)　　　 %系統(tǒng)s2的零極點(diǎn)增益模型sys=feedback(s1,s2)　　% s1環(huán)節(jié)前向，s2環(huán)節(jié)反饋5(s+2)/(s+10)程序運(yùn)行結(jié)果為：Transfer function: ←

12、系統(tǒng)s1的傳遞函數(shù)模型2 s^2 + 5 s + 1------------------ s^2 + 2 s + 3Zero/pole/gain: ←系統(tǒng)s2的零極點(diǎn)增益模型5 (s+2)-----------(s+10)Zero/pole/gain: ←系統(tǒng)s1、s2的反饋零極點(diǎn)增益模型0.18182 (s+10) (s+2.281) (s+0.2192)-------------------

13、---------------------- (s+3.419) (s^2 + 1.763s + 1.064),,2．LTI模型的復(fù)雜模型組合,對(duì)復(fù)雜系統(tǒng)的任意組合，在MATLAB中，則采用集成的軟件包，讓機(jī)器自動(dòng)去完成復(fù)雜的組合，人們只要輸入各環(huán)節(jié)的LTI模型和相應(yīng)的聯(lián)接矩陣與輸入矩陣，指定輸出變量，軟件包會(huì)自動(dòng)判別輸入的模型表述方式，作出相應(yīng)的運(yùn)算并最后給出組合后系統(tǒng)的狀態(tài)方程。在求解過程中，主要涉及append( )函數(shù)和con

14、nect( )函數(shù)。,通常，由以下五個(gè)步驟來完成： ①對(duì)方框圖中的各個(gè)環(huán)節(jié)進(jìn)行編號(hào)，建立它們的對(duì)象模型。②利用append函數(shù)命令建立無(wú)連接的狀態(tài)空間模型。 sap=append(s1,s2,…,sm)③按規(guī)定寫出系統(tǒng)的互聯(lián)接矩陣q互聯(lián)矩陣q中的每一行由組合系統(tǒng)的一個(gè)輸入編號(hào)和構(gòu)成該輸入的其它輸出編號(hào)組成，其中該行的第一個(gè)元素為該輸入的編號(hào)，接下來的元素則由構(gòu)成該輸入的其它子框的輸出編號(hào)組成，如果為負(fù)反饋，則編號(hào)應(yīng)取負(fù)號(hào)。

15、④選擇組合系統(tǒng)中需保留的對(duì)外的輸入和輸出端的編號(hào)并列出。 Inputs=[i1,i2, …] outputs=[j1, j2,…]⑤用connect命令生成組合后的系統(tǒng)。,5.1.6 連續(xù)系統(tǒng)與采樣系統(tǒng)之間的轉(zhuǎn)換,若連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：,,則對(duì)應(yīng)的采樣系統(tǒng)狀態(tài)方程為：,其中,，Ts為采樣周期。,、,、,、,反之，采樣系統(tǒng)到連續(xù)系統(tǒng)的轉(zhuǎn)換關(guān)系為上式的逆過程：,、,、,、,1. 轉(zhuǎn)換原理,,,,,,2. 連續(xù)系統(tǒng)與采樣系統(tǒng)之

16、間的轉(zhuǎn)換函數(shù),[例5-17] 系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：輸入延時(shí)Td=0.35秒，試用一階保持法對(duì)連續(xù)系統(tǒng)進(jìn)行離散，采樣周期Ts=0.1s。MATLAB程序?yàn)椋簊ys=tf([2,5,1],[1,2,3],'td',0.5); %生成連續(xù)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)模型sysd=c2d(sys,0.1,'foh')　　　　　%形成采樣系統(tǒng)程序運(yùn)行結(jié)果為：　　Transfer function:

17、 2.036 z^2 - 3.628 z + 1.584z^(-5) * ------------------------------------- z^2 - 1.792 z + 0.8187 Sampling time: 0.1,5.2 控制系統(tǒng)的時(shí)域分析,時(shí)域分析是一種直接在時(shí)間域中對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行分析的方法，具有直觀和準(zhǔn)確的優(yōu)點(diǎn)。它是根據(jù)控制系統(tǒng)輸入與輸出之間的時(shí)域表達(dá)式，分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性、瞬態(tài)

18、過程和穩(wěn)態(tài)誤差。控制系統(tǒng)最常用的分析方法有兩種：一是當(dāng)輸入信號(hào)為單位階躍時(shí)，求出系統(tǒng)的響應(yīng)；二是當(dāng)輸入信號(hào)為單位沖激函數(shù)時(shí)，求出系統(tǒng)的響應(yīng)。,1. 生成特定的激勵(lì)信號(hào)的函數(shù)gensig( )格式：[u,t] = gensig(type,tau)功能：按指定的類型type和周期tau生成特定類型的激勵(lì)信號(hào)u。其中變?cè)猼ype可取字符為：‘sin’(正弦)、‘square’(方波)、‘pulse’(脈沖)。,2．LTI模型的單位沖激響應(yīng)

19、函數(shù)impulse( )格式：impulse(sys)功能：繪制系統(tǒng)sys（sys由函數(shù)tf、zpk或ss產(chǎn)生）的單位沖激響應(yīng)，結(jié)果不返回?cái)?shù)據(jù)，只返回圖形。,[例5-19] 系統(tǒng)傳遞函數(shù)為：求脈沖響應(yīng)。MATLAB程序如下：sys=tf(4,[1 1 4]); %生成傳遞函數(shù)模型impulse(sys); %計(jì)算并繪制系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)title('脈沖響應(yīng)');該程序運(yùn)行所得結(jié)果

20、如圖5.5所示。,,圖5.5系統(tǒng)的脈沖響應(yīng),3. 狀態(tài)空間模型系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)函數(shù)initial( ) 格式：initial(sys,x0) 功能：繪制狀態(tài)空間模型sys在初始條件x0下的零輸入響應(yīng)，不返回?cái)?shù)據(jù)，只繪出 響應(yīng)曲線。該響應(yīng)由如下方程表征：,連續(xù)時(shí)間：,,,,離散時(shí)間：,,,,、,、,、,、,4．LTI模型任意輸入的響應(yīng)函數(shù)lsim( )格式：lsim(sys,u,T) 功

21、能：計(jì)算和繪制LTI模型sys在任意輸入u、持續(xù)時(shí)間T的作用下的輸出y，不返回?cái)?shù)據(jù)，只返回圖形。T為時(shí)間數(shù)組，它的步長(zhǎng)必須與采樣周期Ts相同。當(dāng)u為矩陣時(shí)，它的列作為輸入，且與T(i)行的時(shí)間向量相對(duì)應(yīng)。例如t = 0:0.01:5; u = sin(t); lsim(sys,u,t)完成系統(tǒng)sys對(duì)輸入u(t)=sin(t)在5秒內(nèi)的響應(yīng)仿真。,5．LTI模型的階躍響應(yīng)函數(shù)step( )格式：step(sys)功能：繪制系統(tǒng)sys

22、(sys由函數(shù)tf、zpk或ss產(chǎn)生)的階躍響應(yīng)，結(jié)果不返回?cái)?shù)據(jù)，只返回圖形。對(duì)多輸入多輸出模型，將自動(dòng)求每一輸入的階躍響應(yīng)。,[例5-21] 求系統(tǒng)：的方波響應(yīng)，其中方波周期為6秒，持續(xù)時(shí)間12秒，采樣周期為0.1秒。MATLAB程序?yàn)椋篬u,t]=gensig('square',6,12,0.1); %生成方波信號(hào)plot(t,u,'--');hold on;

23、 %繪制激勵(lì)信號(hào)sys=tf([1,1],[1,2,5]); %生成傳遞函數(shù)模型lsim(sys,u,t,'k'); %系統(tǒng)對(duì)方波激勵(lì)信號(hào)的響應(yīng)該程序運(yùn)行所得結(jié)果如圖5.7所示。,,圖5.7　方波響應(yīng)曲線,5.3 控制系統(tǒng)的根軌跡,在控制系統(tǒng)分析中，為了避開直接求解高階多項(xiàng)式的根時(shí)遇到的困難，在實(shí)踐中提出了一種圖解

24、求根法，即根軌跡法。所謂根軌跡是指當(dāng)系統(tǒng)的某一個(gè)(或幾個(gè))參數(shù)從－∞到＋∞時(shí)，閉環(huán)特征方程的根在復(fù)平面上描繪的一些曲線。應(yīng)用這些曲線，可以根據(jù)某個(gè)參數(shù)確定相應(yīng)的特征根。在根軌跡法中，一般取系統(tǒng)的開環(huán)放大倍數(shù)K作為可變參數(shù)，利用它來反映出開環(huán)系統(tǒng)零極點(diǎn)與閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)(特征根)之間的關(guān)系。 根軌跡可以分析系統(tǒng)參數(shù)和結(jié)構(gòu)已定的系統(tǒng)的時(shí)域響應(yīng)特性，以及參數(shù)變化對(duì)時(shí)域響應(yīng)特性的影響，而且還可以根據(jù)對(duì)時(shí)域響應(yīng)特性的要求確定可變參數(shù)及調(diào)整開環(huán)系

25、統(tǒng)零極點(diǎn)的位置，并改變它們的個(gè)數(shù)，也就是說根軌跡法可用于解決線性系統(tǒng)的分析與綜合問題。 MATLAB提供了專門繪制根軌跡的函數(shù)命令，如下表所示，使繪制根軌跡變得輕松自如。,表 系統(tǒng)根軌跡繪制及零極點(diǎn)分析函數(shù),[例5-25] 由連續(xù)系統(tǒng)：試?yán)L制其零極點(diǎn)圖和根軌跡圖。MATLAB程序?yàn)椋簄um=[2,5,1]; den=[1,2,3];sys=tf(num,den); %生成傳遞函數(shù)模型figure(1); pz

26、map(sys);title(‘零極點(diǎn)圖’); %繪制零極點(diǎn)圖figure(2); rlocus(sys); sgrid; title(‘根軌跡’); %繪制根軌跡圖,圖5.12 傳遞函數(shù)的零極點(diǎn)圖和根軌跡圖,5.4 控制系統(tǒng)的頻域分析,頻域分析法是應(yīng)用頻率特性研究控制系統(tǒng)的一種經(jīng)典方法。采用這種方法可直觀地表達(dá)出系統(tǒng)的頻率特性，分析方法比較簡(jiǎn)單，物理概念比較明確，對(duì)于諸如防止結(jié)構(gòu)諧振，抑制噪聲、改善系

27、統(tǒng)穩(wěn)定性和暫態(tài)性能等問題，都可以從系統(tǒng)的頻率特性上明確的看出其物理實(shí)質(zhì)和解決途徑。 頻率分析法主要包括三種方法： Bode圖(幅頻/相頻特性曲線) Nyquist曲線 Nichols圖。,,,,,[例5-29] 試?yán)L制開環(huán)系統(tǒng)H(s)的Nyquist曲線，判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并求出閉環(huán)系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)。其中MATLAB程序?yàn)椋簁=50;z=[];p=[-5,2];

28、sys=zpk(z,p,k);figure(1);nyquist(sys);title('Nyquist曲線圖');figure(2);sb=feedback(sys,1);impulse(sb);title('單位沖激響應(yīng)');,圖5.18 開環(huán)系統(tǒng)的Nyquist曲線圖及沖激響應(yīng),,,5.5 系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析函數(shù),在自動(dòng)控制系統(tǒng)分析中，狀態(tài)空間分析是一種較復(fù)雜的分析方法。這是因?yàn)樗镁仃?/p>

29、進(jìn)行運(yùn)算和求解；其二，它的非唯一性，即對(duì)同一個(gè)系統(tǒng)，通過相似變換，可以有無(wú)數(shù)種A，B，C，D組合來描述。,5.5.1 系統(tǒng)可觀性與可控性判別函數(shù)1．可控性矩陣函數(shù)ctrb格式：Co=ctrb(sys)　或　Co=ctrb(A,B)功能：求得系統(tǒng)的可控性矩陣Co，若矩陣Co的秩等于系統(tǒng)的階次，即rank(Co)＝n，則系統(tǒng)可控。2．可觀控矩陣函數(shù)obsv( )格式：Ob=obsv(sys)　或　Ob=obsv(A,C)功能

30、：求得系統(tǒng)的可觀控矩陣Ob，若矩陣Ob的秩rank(Ob)=n，則系統(tǒng)可觀。3．Gramian矩陣函數(shù)gram( )格式：Wc=gram(sys,‘c’)功能：求可控Gramian矩陣Wc，它的滿秩(rank(Wc)=n)與系統(tǒng)的可控等價(jià)。,5.5.2　系統(tǒng)相似變換函數(shù),1．通用相似變換函數(shù)ss2ss( )格式：syst=ss2ss(sys,T)功能：通過非奇異變換矩陣T，把狀態(tài)變量由x變成z=Tx，變換后的狀態(tài)空間模型sys

31、t為：z’=[TAT-1]z+[TB]u y=[CT-1]z+Du,,,,2．變?yōu)橐?guī)范形式的函數(shù)canon( )格式：csys=canon(sys,type)功能：用來把系統(tǒng)sys變?yōu)橐?guī)范形csys。type用來選擇規(guī)范的類型，有兩種可選規(guī)范形式：‘modal’(約當(dāng)矩陣形式)和‘companion’(伴隨矩陣形式)。3．系統(tǒng)分解為可控和不可控兩部分的函數(shù)ctrbf( )格式：[Abar, Bbar, Cbar, T

32、, k]=ctrbf(A, B, C)功能：把系統(tǒng)分解為可控和不可控兩部分。4．系統(tǒng)分解為可觀和不可觀兩部分的函數(shù)obsvf( )格式：[Abar, Bbar，Cbar，T，k]=obsvf(A，B，C)功能：把系統(tǒng)分解為可觀和不可觀兩部分。,,,,,,,,,,[例5-33] 設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程為：將其作可控性結(jié)構(gòu)分解。MATLAB源程序如下：A=[-2,2,-1;0,-2,0;1,4,3];B=[0;0;1];C=[1

33、,-1,1];D=0; %系數(shù)矩陣賦值s1=ss(A,B,C,D); %生成LTI模型[Abar,Bbar,Cbar,T,k]=ctrbf(A,B,C) %可控性結(jié)構(gòu)分解rA=rank(A)　　　　%求狀態(tài)方程系數(shù)矩陣的秩rc=sum(k)　　　　　%求判斷可控矩陣的秩,5.6 極點(diǎn)配置和觀測(cè)器設(shè)置,給定控制系統(tǒng)，通過設(shè)計(jì)反饋增益k使閉環(huán)系統(tǒng)具有期望的極點(diǎn)，從而達(dá)到適當(dāng)?shù)淖枘嵯禂?shù)和無(wú)阻尼自然頻率，這

34、就是極點(diǎn)配置問題。但極點(diǎn)配置是基于狀態(tài)反饋，即u=-kx ,因此狀態(tài)x必須可測(cè)，當(dāng)狀態(tài)不可測(cè)時(shí)，則應(yīng)設(shè)計(jì)狀態(tài)觀測(cè)器。設(shè)計(jì)的狀態(tài)觀測(cè)器也應(yīng)具有適當(dāng)?shù)念l率特性，因此也可指定其極點(diǎn)的位置，從而使?fàn)顟B(tài)觀測(cè)器的設(shè)計(jì)轉(zhuǎn)化為極點(diǎn)配置問題。,,,表5.7 極點(diǎn)配置和狀態(tài)估計(jì)器,5.7 最優(yōu)控制系統(tǒng)設(shè)計(jì),對(duì)于線性時(shí)不變（LTI）系統(tǒng)：,,線性二次型(LQ)最優(yōu)控制器的任務(wù)是設(shè)計(jì)u(t) ，使線性二次型最優(yōu)控制指標(biāo)(代價(jià)函數(shù))：,,,最小。由于線性二次型的

35、性能指標(biāo)易于分析、計(jì)算、處理，可得到要求的代數(shù)結(jié)果，相角裕量的優(yōu)點(diǎn)，因而在控制系統(tǒng)的各個(gè)領(lǐng)域內(nèi)都得到了廣泛地重視和應(yīng)用。 然而，線性二次型調(diào)節(jié)器(LQR)控制的閉環(huán)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)與加權(quán)系數(shù)矩陣Q和R之間存在著非常復(fù)雜的對(duì)應(yīng)關(guān)系，這就給加權(quán)矩陣的選擇帶來許多困難，目前普遍采用的仿真試湊法無(wú)疑限制了LQR設(shè)計(jì)方法在工程上的推廣應(yīng)用。采用試湊法獲得的最優(yōu)控制是“人工”意義下的最優(yōu)，而不是真正意義上的最優(yōu)。實(shí)際上在這種情況下無(wú)