種群年齡結(jié)構(gòu)的

1、從Malthus模型到混沌,上海交大數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,數(shù)學(xué)實驗,混沌概念的提出與下列洛倫茲系統(tǒng)有關(guān),洛倫茲系統(tǒng)圖形,巴西的一只蝴蝶扇動翅膀會引起,— 洛倫茲,數(shù)學(xué)的偉大使命在于從混沌中,發(fā)現(xiàn)秩序。,— 倍爾,在那個混沌的體制中，結(jié)構(gòu)上的微,小差異幾乎都會造成行為方式上的巨大,變化，可控制的行為似乎已被排除。,— 斯圖爾特.考夫曼,明年在得克薩斯的大風(fēng)暴嗎？,■ 了解函數(shù)的迭代，不動點和有關(guān)的作圖,■ 介紹混沌，用數(shù)值迭代、蛛網(wǎng)迭代和密度,■

2、 混沌的倍周期分叉、遍歷性和某些,■ 計算機與科學(xué)研究(即使是數(shù)學(xué)),分布等方法來研究混沌,普適結(jié)構(gòu),出現(xiàn)在各領(lǐng)域的類似隨機、難以預(yù)測的現(xiàn)象,由此引起的復(fù)雜而有趣的現(xiàn)象,? “侏羅紀公園”中的恐龍重現(xiàn),■ 我們的討論,■ 什么是混沌?,? 宇宙的起源,? 龍卷風(fēng)的產(chǎn)生、厄爾尼諾現(xiàn)象,? 金融危機爆發(fā),從某些簡單的離散的數(shù)學(xué)模型開始,進而討論,,數(shù)學(xué)模型,■ Malthus 模型,口數(shù)成正比,從而,xn+1＝ xn ＋r xn,xn+

3、1 = a xn,其中 a=r+1.,設(shè)xn是某人類群體在第n個時間段(例如年)末,時的總數(shù)，若在單位時間段內(nèi)人口相對增長率為r,（出生率與死亡率之差）,那么人口增長數(shù)與原人,即是,,記 g (x) = a x，則函數(shù)迭代為,xn= a xn－1= a2xn－2 =…= an x0,于是Malthus有結(jié)論：人口增長呈幾何級數(shù),約35年增加一倍，與1700－1961年世界人口,與近年統(tǒng)計結(jié)果有誤差，由a >1, xn趨向無窮，,x

4、n＋1＝ g( xn ),容易得到,統(tǒng)計結(jié)果一致,模型在人口長期預(yù)測方面必定是失效的.,.,■ Logistic 模型,生存資源是重要的因素，修改模型為：,xn+1 － xn= r xn－ b xn2,－ b xn2為競爭(約束)項，r、b 稱生命系數(shù),則,xn+1= a xn－ bxn2 ， （a=r+1）,這是一個如下非線性映射的迭代,f1(x)= ax － bx2,通常a=1.029 , b 與依賴該人群經(jīng)濟、文化等因素,據(jù)公

5、布的1995年人口數(shù)據(jù)，推算b=0.0015394?10-8,數(shù)據(jù)觀察（利用Matlab）,,? 比較表明計算數(shù)據(jù)與統(tǒng)計數(shù)據(jù)相對接近,誤差說明b 需要依據(jù)情況作調(diào)整,? 也可以利用 Logistic 模型對人口數(shù)作預(yù)測,看出人口總數(shù)會有上界,了解混沌,,■ Logistic 映射 (Robert.May 的研究）,f (x)= a x(1- x)， x在[0,1]內(nèi)變化,xn+1= f (xn),從[0,1]內(nèi)點x0出發(fā)，由Lo

6、gistic映射的迭代形成,xn= f n(x0), n = 0,1,2,…,序列{xn}稱為x0的軌道,種群數(shù)的模型簡化：,相應(yīng)的迭代為,了一個序列，即,■ 數(shù)值迭代（a 逐漸增加，迭代會有何結(jié)果）,倍周期分叉現(xiàn)象,? 當(dāng)0 < a <1時，由于0 < xn+1<a xn,? 當(dāng)1< a < 3時，任何(0,1)中初始值的軌道趨于,xn ? 0 , 表明物種逐漸滅亡,x*=1-1/a

7、,其中x*是方程 f (x)=x 的解，為映射 f 的不動點,（周期1點) 例：a =1.5時,xn ? 1/3 .,,兩個不動點x1*, x2* ,一個穩(wěn)定(吸引),另一個,不穩(wěn)定，軌道{xn}趨向穩(wěn)定點,這兩個數(shù)滿足,,? 當(dāng)3< a < 1+61/2 時，xn繞著兩個數(shù) x3*，x4*振動,,x2k-1 → 0.799455 , x2k → 0.513045,也稱為周期2點,對應(yīng)軌道稱周期2軌道.(原來周期1

8、,例 a =3.2,點失穩(wěn)),? 當(dāng)1+61/2 < a < 3.5440903506…時, 從任意的點,x4k → 0.44391661 x4k+1 → 0.84768002 x4k+2 → 0.44596756 x4k+3 → 0.85242774,x0 出發(fā)的軌道將逐漸沿著四個數(shù)值振動,例 a = 3.45,這四個數(shù)滿足,稱為周期4點，對應(yīng)軌道稱周期4軌道(

9、原有周期點,又失穩(wěn)),? 若a再增大，周期4點又會失穩(wěn)，而產(chǎn)生新的,穩(wěn)定周期8點，這個周期不斷加倍的過程將重復(fù),無限次，會依次出現(xiàn)周期16點，周期32點…. ，,(用Matlab, 給出a的值和初值可求出相應(yīng)周期點),c1=3, c2=1+61/2, … 構(gòu)成一個單調(diào)增加的數(shù)列{ck},其極限值為c*=3.569945557391….,這種過程稱為倍周期分叉.相應(yīng)的分叉值,賴于數(shù)值方法: 將a與對應(yīng)的周期點作圖,? 分叉值如何求?,混

10、沌的特點,當(dāng)c*< a <4時，Logistic映射進入混沌區(qū)域.反映,? 遍歷性：點 x0的軌道不趨向任何穩(wěn)定的周期,性,即不同初始值，即使它們離得非常近，它們的,出的是：,軌道, 它的軌道在(0,1) (或其中某些區(qū)間)內(nèi)的任何,一個子區(qū)間 (a,b) 內(nèi)都會出現(xiàn)無數(shù)次.,? 敏感性： 軌道表現(xiàn)出對初始條件的強烈敏感,軌道也終將以某種方式分離.,,? Feigenbaum 常數(shù),( 利用常數(shù)可以估計下一個分叉點的位

11、置）,(ck-ck-1)/(ck+1-ck) 在 k 趨于無窮時，趨于常數(shù),q =4.6692016,這常數(shù)的意義在于普適性，例如在周期3窗口，還,? 存在周期小窗口 混沌區(qū)域內(nèi)某些地方仍有倍,周期分叉，例如 a＝3.835 附近,有其他映射的倍周期分叉,任取(0,1)中的點x0,可以通過作圖來取得迭代,,,圖象方法,■ 蛛網(wǎng)迭代,在以 xn為橫坐標(biāo)、xn+1為縱坐標(biāo)的第一象限作,拋物線?。?xn+1＝a xn(1- xn),的數(shù)值序

12、列{xn},從而也通過圖象直觀地看出由,x0出發(fā)的軌道的變化. 這作圖的過程頗象蜘蛛,織網(wǎng),故稱為蛛網(wǎng)迭代.,,,?1< a <3 從(0,1)中任何初值出發(fā)的軌道趨向不動點 (周期1點),,?3<a<61/2+1 從任何初值出發(fā)的軌道趨向周期2點,?61/2+1<a< 3.54409035從任何初值出發(fā)的軌道趨向周期4點,? a=3.58軌道進入混沌狀態(tài),? a= 4 軌道的混沌性表現(xiàn)充分,蛛網(wǎng)迭

13、代的優(yōu)點是軌道非常直觀形象.缺,■ 密度分布圖,? 密度 從一初始點 x0出發(fā)，由迭代所產(chǎn)生的,? 具體算法 將[0,1]區(qū)間分成m個長度為h=1/m,點是當(dāng)周期數(shù)較大時不易看清軌道變化細節(jié),序列{xn}(N項)在區(qū)間[0,1]上的概率分布密度.,的小區(qū)間，序列{xn}落在各個小區(qū)間[ih,(i+1)h],的個數(shù)為ki,則該序列落在各小區(qū)間的概率（即,密度)為 pi= ki / N i=0,1,2,…,m,?

14、密度圖 橫軸為區(qū)間 [0,1], 縱軸為概率 p.,當(dāng) a=3.2 (m=100 N=10000 x0= 0.1),(這是周期2情況),小區(qū)間上的細柱線的高度等于該區(qū)間上密度,當(dāng) a=3.45,(這是周期4情況),當(dāng) a=3.55,(周期8的情況),以上密度圖顯示在0 <a < c*的情況下,{xn}只,有極少數(shù)落在周期點以外的小區(qū)間,而最終以幾乎,相等的概率落在周期點所在的小區(qū)間。,當(dāng) a=3.6,(進入混沌區(qū)),