考慮年齡結(jié)構(gòu)的人口模型（leslie模型）

1、考慮年齡結(jié)構(gòu)的人口模型（考慮年齡結(jié)構(gòu)的人口模型（Leslie模型）模型）對Logistic模型的批評意見除了實際統(tǒng)計時常采用離散變化的時間變量外，另一種看法是種群增長不應(yīng)當(dāng)只和種群總量有關(guān)，也應(yīng)當(dāng)和種群的年齡結(jié)構(gòu)有關(guān)。不同年齡的個體具有不同的生育能力和死亡率，這一重要特征沒有在Logistic模型中反映出來。基于這一事實，Leslie在20世紀(jì)40年代建立了一個考慮種群年齡結(jié)構(gòu)的離散模型。由于男、女性人口（或雌、雄性個體）通常有一定的比

2、例，為了簡便起見，建模時可以只考慮女性人數(shù)，人口總量可以按比例折算出來。將女性按年齡劃分成m1個組，即01…m組，例如，可5歲（或10歲）一組劃分。將時間也離散成間隔相同的一個個時段，即5年（或10年）為一個時段。記j時段年齡在i組中的女性人數(shù)為N（ij），bi為i組每一婦女在一個時段中生育女孩的平均數(shù)，為i組女性存活一時段到下一時段升入i1組ip的人數(shù)所占的比例（即死亡率di=1）同時假設(shè)沒有人能活到超過m組的年齡。實際上ip可以這樣

3、來理解這一假設(shè)，少量活到超過m組的婦女（老壽星）人數(shù)可以忽略不計，她們早已超過了生育期，對人口總量的影響是微小的而且是暫時性的，對今后人口的增長和人口的年齡結(jié)構(gòu)不產(chǎn)生任何影響，假設(shè)bi、不隨時段的變遷而改變，這一假設(shè)在穩(wěn)定狀況ip下是合理的。如果研究的時間跨度不過于大，人們的生活水平、整個社會的醫(yī)療條件及周圍的生活環(huán)境沒有過于巨大的變化，bi、事實上差不多是不變的，其值可通過統(tǒng)計資料ip估算出來。根據(jù)以上假設(shè)可以得出以下j1時段各組人數(shù)

4、與j時段各組人數(shù)之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系：??????????????????)1()1()0()11()()0()0()10(1010jmNpjmNjNpjNjmNbjNbjNbjNmm???顯然，。0?ijpb簡記，???????????)()0(jmNjNNj???????????????)1()10(1jmNjNNj?并引入矩陣???????????????????000000000110110mmmpppbbbbA????????由Aj

5、的分塊結(jié)構(gòu)可知，對A1及Nj1的前k1個分量也成立。)1(1)1(1)1(?????kjkjkjNANN為敘述方便，不妨仍記為Nj，并記A1為A，簡略討論一下前k1組人口數(shù)量的變)1(?kjN化情況。由于人口生育率和死亡率與年齡之間存在著固定的關(guān)系，可以預(yù)料，經(jīng)過足夠多年后，人口年齡分布應(yīng)趨于穩(wěn)定的比率，即下時段初與本時段初同組人數(shù)應(yīng)當(dāng)近似地對應(yīng)或比率，且各組人數(shù)在總?cè)丝跀?shù)中所占的比例應(yīng)逐漸趨于穩(wěn)定?，F(xiàn)在我們來指出Leslie矩陣的一些

6、性質(zhì)，并證明這些預(yù)料是正確的。定理定理4.2Leslie矩陣具有唯一的正特征根λ1與之相應(yīng)的特征向量為TkkkkkPPPPPPPN)1)()((11110111101???????????證直接計算可得A的特征多項式為（4.1）kkkkkbPPPbPbf)()(11011001??????????????等價于0)(??f1)(1110321021001????????kkkbpppbppbpbf???????當(dāng)由時，由單調(diào)下降地趨于零

7、，由此立即可以看出A具有唯?????0)(1?f??一的正特征根，（被稱為種群的固有增長率，其計算法有許多文獻介紹）。1?1?現(xiàn)求A的對應(yīng)于的特征向量，記，解線性方程組，即1????????????knnN?0NNA1??（4.2）???????????????????????????????????????????????????kkkkknnnnpppbbbb???????????????010110110000000000?（4.