第一章函數(shù)

1、10.4 二元函數(shù)的泰勒公式,一、高階偏導(dǎo)數(shù)二、二元函數(shù)的泰勒公式三、二元函數(shù)的極值,一、高階偏導(dǎo)數(shù),解 由于,例1,因此有,數(shù)為,例2,注意 在上面兩個(gè)例子中都有,數(shù)相等 .,但是這個(gè)結(jié)論并不對(duì)任何函數(shù)都成立，例如函數(shù),它的一階偏導(dǎo)數(shù)為,由此看到, 這兩個(gè)混合偏導(dǎo)數(shù)與求導(dǎo)順序有關(guān). 那么,在什么條件下混合偏導(dǎo)數(shù)與求導(dǎo)順序無(wú)關(guān)呢?,的混合偏導(dǎo)數(shù):,證 令,于是有,(4),(3),連續(xù)，則,由 (4) 則有,(5),如果

2、令,則有,用前面相同的方法, 又可得到,(6),在且相等，這就得到所要證明的 (3) 式．,合偏導(dǎo)數(shù)都與求導(dǎo)順序無(wú)關(guān)．,若在某一點(diǎn)都連續(xù)，則它們?cè)谶@一點(diǎn)都相等．,今后在牽涉求導(dǎo)順序問題時(shí), 除特別指出外, 一般,都假設(shè)相應(yīng)階數(shù)的混合偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)．,注2 這個(gè)定理對(duì) n 元函數(shù)的混合偏導(dǎo)數(shù)也成立. 例如,二、二元函數(shù)的泰勒公式,一元函數(shù),的泰勒公式:,推廣,多元函數(shù)泰勒公式,,記號(hào),(設(shè)下面涉及的偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)):,一般地,,,,表示

3、,表示,定理1,的某一鄰域內(nèi)有直,到 n + 1 階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) ,,為此鄰域內(nèi)任,一點(diǎn),,則有,其中,①,②,① 稱為 f 在點(diǎn) (x0 , y0 ) 的 n 階泰勒公式,,② 稱為其拉格朗日型余項(xiàng) .,證 令,則,利用多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則可得:,一般地,由,的麥克勞林公式, 得,將前述導(dǎo)數(shù)公式代入即得二元函數(shù)泰勒公式.,麥克勞林公式：,,,,,,將它們代入泰勒公式 ，即有,三、二元函數(shù)的極值,有定義. 若,極大值點(diǎn)、極

4、小值點(diǎn)統(tǒng)稱極值點(diǎn)．,的極大 (或極小) 值點(diǎn). 極大值、極小值統(tǒng)稱極值;,注意 這里討論的極值點(diǎn)只限于定義域的內(nèi)點(diǎn)．,點(diǎn), 是 g 的極大值點(diǎn), 但不是 h 的極值點(diǎn)．這是因,值 .,的穩(wěn)定點(diǎn).,上述定理指出: 偏導(dǎo)數(shù)存在時(shí), 極值點(diǎn)必是穩(wěn)定點(diǎn).,但要注意: 穩(wěn)定點(diǎn)并不都是極值點(diǎn)．在例 4 中之所,以只討論原點(diǎn), 就是因?yàn)樵c(diǎn)是那三個(gè)函數(shù)的惟一,穩(wěn)定點(diǎn)；而對(duì)于函數(shù) h, 原點(diǎn)雖為其穩(wěn)定點(diǎn), 但卻不,是它的極值點(diǎn).,

5、,由泰勒公式, 有,,,,所以,其中? , ? , ? 是當(dāng)h→0 , k →0 時(shí)的無(wú)窮小量 ,,于是,,,,例如函數(shù),,極值求法的一般步驟：,得極值?,故由定理無(wú)法判斷 f 在原點(diǎn)是否取得極值．,所以 f (0, 0) = 0 不是極值.,,圖,由極值定義知道, 極值只是函數(shù)的一個(gè)局部性概念.,想求出函數(shù)在有界閉域上的最大值和最小值, 方法,與一元函數(shù)問題一樣：需先求出在該區(qū)域上所有穩(wěn),定點(diǎn)、無(wú)偏導(dǎo)數(shù)點(diǎn)處的函數(shù)值, 還有

6、在區(qū)域邊界上,的這類特殊值；然后比較這些值, 其中最大 (小)者,即為問題所求的最大 (小) 值．,式為,,,形為 ABC, 三切點(diǎn)處的半徑相夾的中心角分別為,例7 證明: 圓的所有外切三角形中, 以正三角形,的面積為最?。?證 如圖所示, 設(shè)圓的半徑為 a, 任一外切三角,在定義域內(nèi), 上述方程組僅有惟一解:,此穩(wěn)定點(diǎn)處取得極小值．,因?yàn)?, 面積函數(shù) S 在定義域中處處存在偏,正三角形的面