第一章--函數(shù)、極限與連續(xù)

1、1第一章函數(shù)極限連續(xù)知識點(diǎn)拔點(diǎn)拔1.1函數(shù)函數(shù)一、函數(shù)的概念一、函數(shù)的概念設(shè)是一個非空數(shù)集，若存在一個對應(yīng)法則，使得對內(nèi)的每一個值都有唯一的值與DfDxy之對應(yīng)，則稱這個對應(yīng)法則是定義在數(shù)集上的一個函數(shù)，記作：，其中叫自變量，fD)(xfy?x叫因變量或函數(shù)，數(shù)集稱為函數(shù)的定義域，而數(shù)集叫函數(shù)的值域.yD)(|Dxxfyyz???如果，稱函數(shù)在處有定義，函數(shù)在處的函數(shù)值記為或.Dx?0)(xf0x)(xf0x0xxy?)(0xf注釋:①

2、函數(shù)定義的兩個要素：定義域和對應(yīng)法則；②兩個函數(shù)相等條件：定義域和對應(yīng)法則都相同的兩個函數(shù)是相同函數(shù)，如：與不同，因定義域不同；22)(2????xxxxf1)(??xxg與不同，因?qū)?yīng)法則不同；xxf2sin)(?xxgsin)(?與相同，也就是當(dāng)兩上函數(shù)的定義域和對應(yīng)法則都相xxxxf222cossin)(???1)(2??ttg同時，即使其自變量所用的字母不同，但兩個函數(shù)相同.③若定義域內(nèi)的每一個只對應(yīng)一個函數(shù)值，則稱該函數(shù)為單值

3、函數(shù)，若同一個值可對應(yīng)于xyx多于一個的函數(shù)值，這種函數(shù)稱為多值函數(shù).y二、函數(shù)的基本性質(zhì)二、函數(shù)的基本性質(zhì)1、函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的單調(diào)性：設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有定義，如果對，恒有D2121xxDxx???且（或），則稱在區(qū)間上嚴(yán)格單調(diào)增加（或嚴(yán)格單調(diào)減少）的.)()(21xfxf?)()(21xfxf?)(xfD如果對于Dxx??21，有(或)稱在區(qū)間上是單調(diào)增加（或單調(diào)減少）21xx?且)()(21xfxf?)()(21xfxf?)(xf

4、D的.注釋：注釋：（1）函數(shù)的有界性與單調(diào)性是與某個區(qū)間密切相關(guān)的，區(qū)間不同函數(shù)的有界性與單調(diào)性3，并且有成立，則稱是以為周期的周期函數(shù)，稱為函數(shù)DTx??)()(xfTxf??)(xfTT的周期，所有周期中的最小正周期叫函數(shù)的周期.)(xf)(xf注釋：注釋：①周期函數(shù)的定義域必須是無限點(diǎn)集，但不能是有限區(qū)間.如：的定義域是（）且xytan?????....2102???kkx??②若的周期為，則的周期為()；)(xfT)(???xf

5、?T0??③周期函數(shù)的和、差、積仍為周期函數(shù)，且周期為各個函數(shù)周期的最小公倍數(shù)，如：周期是的最小公倍數(shù)，但也有例外，如：的周期為xxy3cos4sin??3242???2xsinxcos2，但的周期為；?xxycossin???④周期函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍為周期函數(shù)，且周期不變；⑤設(shè)是周期為的函數(shù)，則它的原函數(shù)為周期函數(shù)的充要條件是)(xfT??xadttfxF)()(，或者說，周期函數(shù)的原函數(shù)不一定是周期函數(shù)，如：是以2為周0)(0??Tdxx

6、fxxfcos1)(???期的函數(shù)，但其任一個原函數(shù)不是周期函數(shù).CxxxF???sin)(⑥不是每一個周期函數(shù)都有最小正周期的如:狄利克雷函數(shù)任何有理數(shù)都????且且且且且且xxy01r是它的周期即若為有理數(shù)也是有理數(shù)故有若為無理數(shù)也xrx?)(1)(rxfxf???xrx?是無理數(shù)故可見為的周期但它沒有最小的正周期.)(0)(rxfxf???r)(xf又如：，為常數(shù)，它是周期為任意實(shí)數(shù)且沒有最小正周期的周期函數(shù).Cy?C三、反函數(shù)三