蘇教版選修2高二數(shù)學(xué)1逆矩陣的概念

1、,蘇教版 選修4-2 高二數(shù)學(xué)2.4.1逆矩陣的概念,2024年3月16日星期六,讓學(xué)引思,2024/3/16,江蘇省濱海中學(xué) 徐 義,由前面學(xué)習(xí)我們知道:二階矩陣對(duì)應(yīng)著平面上的一個(gè)幾何變換，它把點(diǎn)（x ，y）變換到點(diǎn)（x′，y′）.反過(guò)來(lái):若知道變換后的結(jié)果（x′，y′）,能否“找到回家的路”,再讓它變回到原來(lái)的（x ，y）呢？如圖示：,,,（x ，y）,（x′，y′）,走過(guò)去,走回來(lái),,,創(chuàng)設(shè)情境 建構(gòu)概念,問(wèn)：“找

2、到回家的路”的本質(zhì)是什么？,已知矩陣 ，我們能否找到一個(gè)矩陣 ，使得連續(xù)進(jìn)行的兩次變換的結(jié)果與恒等變換的結(jié)果相同。,變回自己,引例：對(duì)于下列給出的變換矩陣A，是否存在變換矩陣B，使得連續(xù)進(jìn)行兩次變換（先TA后TB）的結(jié)果與恒等變換的結(jié)果相同：,（1）以x軸為反射軸的反射變換；（2）繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)600的旋轉(zhuǎn)變換；（3）橫坐標(biāo)不變，沿y軸方向?qū)⒖v坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的 2倍的伸壓變換；（4）沿y軸方向，向x

3、軸的投影變換；（5）縱坐標(biāo)y不變，橫坐標(biāo)依縱坐標(biāo)的比例增加，且 （x , y）→（x+2y , y）的切變變換；,創(chuàng)設(shè)情境 建構(gòu)概念,解：（1）對(duì)于反射變換TA，滿(mǎn)足條件的變換即為其自身，即B=A；,解：（3）對(duì)于伸壓變換TA，存在伸壓變換TB，即B為使平面的保持橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)沿y軸方向壓縮為原來(lái)的一半的變換矩陣；,分析情境 形成概念,（1）以x軸為反射軸的反射變換；,（2）繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)600的旋轉(zhuǎn)變換；,

4、（3）橫坐標(biāo)不變，沿y軸方向?qū)⒖v坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍的伸壓變換；,解：（2）對(duì)于旋轉(zhuǎn)變換TA，存在旋轉(zhuǎn)變換TB，即B為繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 的變換矩陣；,分析情境 形成概念,解：（4）對(duì)于投影變換TA，不存在滿(mǎn)足條件的變換矩陣B。原因：投影變換不是一一映射；,（4）沿y軸方向，向x軸的投影變換；（5）縱坐標(biāo)y不變，橫坐標(biāo)依縱坐標(biāo)的比例增加，且（x , y）→（x+2y , y）的切變變換；,,（5）對(duì)于切變變換

5、 ，存在切變變換 ，即B為使平面的保持縱坐標(biāo)不變,橫坐標(biāo)依縱坐標(biāo)的比例減少,且（x , y）→（x-2y , y）的變換矩陣；,由引例,我們可以得到：有的矩陣能“找到回家的路”，（變回為自己）稱(chēng)它為原變換的逆變換，而逆變換也對(duì)應(yīng)著一個(gè)矩陣,但并非所有的二階矩陣A，都存在二階矩陣B，使得AB=BA=E.,那我們?cè)撊绾螌?duì)逆矩陣下一個(gè)合適的定義呢？,分析情境 形成概念,一、概念的引入,你能通過(guò)類(lèi)比的方法給逆矩陣下個(gè)定義嗎？

6、,分析情境 形成概念,二. 逆矩陣定義,分析情境 形成概念,,如何證明？,思考：(1)如果 矩陣可逆，那么逆矩陣唯一嗎？,若設(shè) 和 是 的可逆矩陣，,則有,可得,所以 的逆矩陣是唯一的,即,證明：,應(yīng)用概念 探究性質(zhì),(2)如果 矩陣可逆，那么 結(jié)果是什么？,思考：(3)定義中只有 矩陣 是否可逆？,此時(shí)

7、的結(jié)果是多少？,三. 逆矩陣性質(zhì),(2),現(xiàn)在要解決的問(wèn)題：,1. 二階矩陣滿(mǎn)足什么條件時(shí)可逆?,2. 可逆時(shí)，逆矩陣怎樣求？,應(yīng)用概念 探究性質(zhì),（3）如果 亦有 矩陣 互為逆矩陣.,應(yīng)用概念 探究方法,應(yīng)用概念 探究方法,說(shuō)明：,,現(xiàn)在已解決的問(wèn)題：,1. 二階矩陣滿(mǎn)足什么條件時(shí)可逆?,2. 可逆時(shí)，逆矩陣怎樣求？,幾何變換的觀點(diǎn)：對(duì)應(yīng)的幾何變換存在逆變換,映射的觀點(diǎn)

8、：變換對(duì)應(yīng)的映射是一一映射,幾何變換法：逆矩陣即為逆變換對(duì)應(yīng)的矩陣,目前只能利用定義，用待定系數(shù)法解決！,,顯然用待定系數(shù)法求逆矩陣時(shí)，計(jì)算量較大，過(guò)程繁瑣。那么對(duì)于一個(gè)二階矩陣有沒(méi)有求逆矩陣的公式呢？,,思考：公式法求二階矩陣的逆矩陣的前提是什么？,應(yīng)用概念 探究方法,練習(xí)1,練習(xí)2,練一練,應(yīng)用概念 探究方法,現(xiàn)在能解決的問(wèn)題：,1. 二階矩陣 滿(mǎn)足什么條件時(shí)可逆?,2. 可逆時(shí)，逆矩陣怎樣求？,幾何變換的觀點(diǎn)：對(duì)應(yīng)的幾何變換