角的概念的推廣與任意角的三角函數(shù)

1、第一講　角的概念的推廣與任意角的三角函數(shù),重點(diǎn)：①終邊相同的角、軸線角和象限角的表示方法；②角度數(shù)與弧度數(shù)的換算；③三角函數(shù)的定義；④各三角函數(shù)值在每個象限的符號；⑤特殊角的三角函數(shù)值．難點(diǎn)：①“弧度”的理解；②三角函數(shù)定義及符號．,知識歸納1．角的概念角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所成的圖形，按 時針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角叫做正角，按 時針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角叫做負(fù)角．若一條射

2、線沒作任何旋轉(zhuǎn)，稱它形成了一個零角．2．象限角使角的頂點(diǎn)與 重合，角的始邊與重合．角的 落在第幾象限，就說這個角是第幾象限角．,逆,順,原點(diǎn),,,x軸的非負(fù)半,軸,終邊,3．象限界角(軸線角)即終邊落在 的角．4．終邊相同的角所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，可構(gòu)成一個集合{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}或{β|β＝α＋2kπ，k∈

3、Z}，前者α用角度制表示，后者α用弧度制表示．5．弧度制把長度等于 長的弧所對的圓心角叫1弧度的角．以弧度作為單位來度量角的單位制叫做弧度制，它的單位符號是rad，通常略去不寫．,坐標(biāo)軸上,半徑,6．度與弧度的換算關(guān)系∴180°＝ rad,1°＝ rad,1rad＝( )°.7．弧長公式和扇形面積公式扇形弧長l＝ ，扇形面積S＝

4、 lr.8．任意角的三角函數(shù)的定義直角坐標(biāo)系中任意大小的角α終邊上一點(diǎn)P的坐標(biāo)(x，y)，P到原點(diǎn)的距離是r(r＞0)，那么sinα＝ ，cosα＝ ，tanα＝ 分別叫做角α的正弦、余弦、正切．,π,|α|·r,9．正弦、余弦、正切函數(shù)的定義域,10.各象限內(nèi)角的三角函數(shù)值的符號如下圖所示：三角函數(shù)正值口訣：Ⅰ全正，Ⅱ正弦，Ⅲ兩切，Ⅳ余弦．,誤區(qū)警示1．引入弧度制后，角的表示要么采用弧

5、度制，要么采用角度制，兩者不可混用．2．相等的角終邊一定相同，但終邊相同的角卻不一定相等，終邊相同的角有無數(shù)個，它們之間相差360°的整數(shù)倍．3．在三角函數(shù)中，角和三角函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系是多對一，即給定一個角，它的各個三角函數(shù)值是惟一確定的(不存在的情況除外)；反過來，給定一個三角函數(shù)值，有無窮多個角和它對應(yīng)．,4．正切函數(shù)y＝tanx的定義域是{x∈R|x≠kπ＋ ，k∈Z}，不是R.5．判斷三角函數(shù)值的符號時，應(yīng)特別

6、注意角所在象限的確定，不要忽略終邊落在坐標(biāo)軸上的情況．6．下列概念應(yīng)注意區(qū)分小于90°的角；銳角；第一象限的角；0°～90°的角．7．三角函數(shù)定義中，角α的三角函數(shù)值僅僅與角α的終邊位置有關(guān)，而與終邊上點(diǎn)P的位置無關(guān)．,一、構(gòu)造思想[例1]　已知：α∈ ，求證：sinα<α<tanα.分析：構(gòu)造單位圓，利用單位圓中的三角函數(shù)線及三角形和扇形的面積來證明．,二、解題

7、技巧利用單位圓判斷2α、3α、 所在象限問題．[例2]　已知角α是第n(n＝1、2、3、4)象限的角，問是第幾象限的角？,解析：如圖：把單位圓在各象限的圓弧都2等分(2是的分母)，從∠AOB開始逆時針依次標(biāo)上1、2、3、4，再循環(huán)一遍，直到填滿為止，則有標(biāo)號n的就是 所在象限數(shù)．,如n＝4， 是第二或第四象限的角．用同樣的方法也可求 所在象限．上圖左是求的方法，上

8、圖右是求的方法．,一般地，要確定 所在的象限，可以把各個象限都n等分，從x軸的非負(fù)半軸起，按逆時針方向把這4n個區(qū)域依次循環(huán)標(biāo)上號碼1、2、3、4，則標(biāo)號是幾的區(qū)域，就是θ為第幾象限的角時， 終邊落在的區(qū)域， 所在的象限就可直觀地看出．,[例1]　已知α角的終邊與 的終邊相同，在[0,2π)內(nèi)哪些角的終邊與角的終邊相同？,已知角α與3α的終邊相同，α∈(0,2π)，則α＝______解析：由條件知，3α＝α＋2kπ，∴

9、α＝kπ　(k∈Z)．∵α∈(0,2π)，∴α＝π.答案：π,[例2]　已知α是第二象限的角(1)指出 所在的象限，并用圖形表示其變化范圍．(2)若α同時滿足條件|α＋2|≤4，求α的取值區(qū)間．,總結(jié)評述：除象限角、終邊相同的角以外，還要注意理解區(qū)間角的概念，并能掌握好α角的取值范圍與2α、角的取值范圍間的相互關(guān)系．,若α是第二象限角，則 是第________象限角．解析：解法1：∵α是第二象限角，∴k

10、83;360°＋90° <α<k·360°＋180°，k∈Z，∴ ·360°＋30°< < ·360°＋60°，k∈Z.當(dāng)k＝3n時，有n·360°＋30°< <n·360°＋60°，

11、n∈Z，此時 是第一象限角．,當(dāng)k＝3n＋1時，n·360°＋150°< <n·360°＋180°，n∈Z，∴ 是第二象限角．當(dāng)k＝3n＋2時，n·360°＋270°< <n·360°＋300°，n∈Z，∴ 是第四象限角．綜上所述知，為第一、二、四象限角．,解

12、法2：如圖可知α為第二象限角時，位于第一、二、四象限．答案：一、二或四,總結(jié)評述：除象限角、終邊相同的角以外，還要注意理解區(qū)間角的概念，并能掌握好α角的取值范圍與2α、角的取值范圍間的相互關(guān)系.,已知角α的頂點(diǎn)與直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合，始邊在x軸的正半軸上，終邊經(jīng)過點(diǎn)P(1，－2)．則cos 的值為________．,[例4]　(1)確定 的符號；

13、(2)確定lg(cos6－sin6)的符號．分析：確定符號，關(guān)鍵是確定每個因式的符號，而要分析因式的符號，則關(guān)鍵是看角所在象限．,解析：(1)∵－3,5,8分別是第三、四、二象限的角．∴tan(－3)>0，cot50(2)∵6為第四象限的角∴cos6>0，sin60∵(cos6－sin6)2＝1－2sin6cos6＝1－sin12>1(12是第四象限的角)∴cos6－sin6>1，∴l(xiāng)g(cos6－

14、sin6)>0. 總結(jié)評述：此題主要考查三角函數(shù)在各象限內(nèi)的符號，當(dāng)用弧度表示的角不好判定所在象限時，可轉(zhuǎn)化成角度來表示．,若sinθ0>sinθ，則θ為第四象限角，故選D.答案：D,[例5]　已知一扇形的中心角是α，所在圓的半徑是R(1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧長及該弧所在的弓形面積．(2)若扇形的周長是一定值C(C>0)，當(dāng)α為多少弧度時，該扇形有最大面積？,

15、總結(jié)評述：涉及弧長和扇形面積的計算，可用的公式有，角度和弧度表示的兩種，其中弧度表示的公式結(jié)構(gòu)簡單，易記好用，在使用前，應(yīng)將圓心角用弧度表示．,一、選擇題1．sin480°的值為(　　)[答案]　D[解析]　sin480°＝sin(360°＋120°)＝sin120°＝sin(180°－120°)＝sin60°＝ .,

16、[答案]　B[解析]　依題設(shè)知tan2α＝－ ，∵2α∈[0°，360°)，∴由角2α的終邊在第二象限得，2α＝120°，∴α＝60°，tanα＝ .,A．0　 　 　B．2　 　 　C．－2　　　D．2tanα[答案]　A,[答案]　C,(理)若cos2θ＋cosθ＝0，則sin2θ＋sinθ的值等于(　　)A．0 B．±C．0或

17、D．0或±[答案]　D[解析]　由cos2θ＋cosθ＝0得2cos2θ－1＋cosθ＝0，所以cosθ＝－1或 .當(dāng)cosθ＝－1時，有sinθ＝0；當(dāng)cosθ＝ 時，有sinθ＝± .于是sin2θ＋sinθ＝sinθ(2cosθ＋1)＝0或± .,[答案]　B[解析]　∵0≤θ0，∴00得，2kπ－ <2θ<2kπ＋ ，即kπ－ <θ<

18、kπ＋ (k∈Z)．∵0<θ<π，∴θ的取值范圍是0<θ< 或 <θ<π.,5．點(diǎn)P(tan2010°，cos2010°)位于(　　)A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限[答案]　D[解析]　∵2010°＝360°×5＋210°，∴2010°角的終邊在第三象限，∴

19、tan2010°>0，cos2010°<0，∴點(diǎn)P在第四象限．,6．(文)sin1，cos1，tan1的大小關(guān)系是(　　)A．tan1>sin1>cos1 B．tan1>cos1>sin1C．cos1>sin1>tan1 D．sin1>cos1>tan1[答案]　A[解析]　1弧度≈57.3°，結(jié)合單位圓中的三角函數(shù)線知：tan1&g

20、t;sin1>cos1，故選A.,(理)(08·天津)設(shè)a＝sin ，b＝cos ，c＝tan ，則 (　　)A．a(chǎn)<b<c B．a(chǎn)<c<bC．b<c<a D．b<a<c[答案]　D,二、填空題7．已知集合E＝{θ|cosθ<sinθ，0≤θ≤2π}，F(xiàn)＝{θ|tanθ<sinθ}，那么E∩F＝____

21、____.[答案]　{θ| <θ<π}[解析]　由單位圓的正、余弦線，容易得E＝{θ| <θ< π}，又由F可知，θ應(yīng)在第二、第四象限，所以E∩F＝{θ| <θ< π}．,8．(文)設(shè)f(x)＝ ，則f(1°)＋f(2°)＋…＋f(59°)＝________.,(理)角α的終邊上的點(diǎn)P與A(a，b)關(guān)

22、于x軸對稱(a≠0，b≠0)，角β的終邊上的點(diǎn)Q與A關(guān)于直線y＝x對稱，則 ________.[答案]　0,9．已知下列四個命題(1)若點(diǎn)P(a,2a)(a≠0)為角α終邊上一點(diǎn)，則sinα＝ ；(2)若α>β且α、β都是第一象限角，則tanα>tanβ；(3)若θ是第二象限角，則sin cos >