（3）邊馥萍教授報(bào)告課件 - 數(shù)學(xué)建模

1、,,Tianjin University,,,天 津 大 學(xué) 邊 馥 萍fpbian@tju.edu.cn,,,眾籌筑屋規(guī)劃方案設(shè)計(jì)的解評,1 問題提出,2015“高教社杯”全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽題目D題“眾籌筑屋規(guī)劃方案設(shè)計(jì)” 問題來自一個(gè)房地產(chǎn)建設(shè)項(xiàng)目，該企業(yè)拿到了占地面積為102077.6平方米土地面積后，結(jié)合土地地形地貌和市場需求，需要開發(fā)建設(shè)各種房屋，以滿足各種需求。作為企業(yè)，在國家相關(guān)政策的允許的前提下

2、，追求最大利潤，不考慮消費(fèi)者的利益，將使房屋銷售不暢，從而帶來資金周轉(zhuǎn)困難。,,如何使企業(yè)的追求目標(biāo)由利潤的最大化變?yōu)橄M(fèi)者購買意愿的最大化，提高房屋銷售的速度？本題虛擬了網(wǎng)上流行的購房模式“眾籌筑屋”，采用真實(shí)數(shù)據(jù)編寫此題。,,題目及附件中給出的數(shù)據(jù)均為真實(shí)數(shù)據(jù)。 在解題之前，學(xué)生必須閱讀附件，為使題目簡潔、清楚，我們將所有的參考數(shù)據(jù)及所需閱讀的參考文獻(xiàn)均放入附件本題共有三個(gè)附件，附件1是項(xiàng)目數(shù)據(jù)，附件2和3是求解本題時(shí)必須閱讀的參考

3、文獻(xiàn)。 眾籌筑屋是互聯(lián)網(wǎng)時(shí)代一種新型的房地產(chǎn)形式。在考慮諸多因素及閱讀國家相關(guān)政策基礎(chǔ)上，要求學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型，解答以下三個(gè)問題：,,對已給的眾籌筑屋項(xiàng)目原方案（稱作方案Ⅰ）進(jìn)行全面的核算建立數(shù)學(xué)模型，計(jì)算項(xiàng)目的成本與收益、容積率和增值稅等；根據(jù)已調(diào)查的參籌者對11種房型購買意愿的比例，在盡量滿足參籌者的購買意愿的前提下，重新設(shè)計(jì)建設(shè)規(guī)劃方案（稱為方案Ⅱ），并對方案II進(jìn)行核算；以投資回報(bào)率達(dá)到25%以上的眾籌項(xiàng)目才

4、會被成功執(zhí)行作為約束，對眾籌筑屋方案Ⅱ進(jìn)行檢驗(yàn)，判斷該方案能否被成功執(zhí)行？如果能，請說明理由；如果不能，應(yīng)怎樣調(diào)整才能使此眾籌筑屋項(xiàng)目能被成功執(zhí)行。三個(gè)問題的關(guān)系：第一個(gè)問題是基礎(chǔ)，第二個(gè)問題是重點(diǎn)，第三個(gè)問題是檢驗(yàn)。,,題目要求解決的是眾籌筑屋規(guī)劃方案設(shè)計(jì)的問題。評價(jià)規(guī)劃方案設(shè)計(jì)問題是一類典型的優(yōu)化問題。對于目標(biāo)規(guī)劃問題的求解步驟基本是：（1）找出目標(biāo)函數(shù)；（2）找出約束條件；（3）采用LINGO 或MATLAB規(guī)劃函數(shù)進(jìn)行求

5、解。,,本題的期望：學(xué)生能通過閱讀及查詢國家相關(guān)政策文件，理解真實(shí)案例中房屋規(guī)劃的各種約束條件，并以此為基礎(chǔ)建立成本核算數(shù)學(xué)模型，在模型求解中不斷調(diào)整房屋規(guī)劃設(shè)計(jì)方案，以實(shí)現(xiàn)不同目標(biāo)的復(fù)雜優(yōu)化問題，在保證方案可實(shí)行的約束下，使眾籌者達(dá)到最大滿意度。,2 問題1的解題思路與建立模型,2.1解題思路 題目中要求公布成本、收益、容積率和增值稅，首先要通過閱讀附錄給出的文件及相關(guān)政策，給出成本、收益、容積率及增值稅的計(jì)算公

6、式.其中成本、收益及容積率容易計(jì)算，而土地增值稅的核算是一個(gè)難點(diǎn)。,算法流程,,,2.2 建立模型 成本 建房成本=土地開發(fā)成本+取得土地支付的金額+土地開發(fā)費(fèi)用 土地開發(fā)成本=房型面積×建房套數(shù)×單位面積開發(fā)成本 土地開發(fā)費(fèi)用=總土地開發(fā)成本+取得土地支付的金額的10%收益 收益=房型面積×建房套數(shù)

7、15;售價(jià)-成本-土地增值稅-轉(zhuǎn)讓房款相關(guān)稅金，還要考慮國家規(guī)定的轉(zhuǎn)讓房產(chǎn)的有關(guān)稅金應(yīng)按照收入的5.65%計(jì)算 容積率 容積率= 參與容積率核算的總建房面積/土地總面積,,增值稅 目前我國土地增值稅實(shí)行的是4級超率累進(jìn)稅率，并且國家對土地增值稅的核算中， 普通宅和非普通宅是分開的 （如果屬于其他類別，則按規(guī)定將實(shí)際發(fā)生的成本按照普通宅和非普通宅建筑面積比進(jìn)行分?jǐn)傆?jì)算），因此

8、 增值稅=普通房型增值稅+非普通房型增值稅； 普通宅增值額=普通宅總售價(jià)+其他宅分?jǐn)偲胀ㄕ偸蹆r(jià)-普通宅可扣除金額； 非普通宅增值額=非普通宅總售價(jià)+其他宅分?jǐn)偲胀ㄕ偸蹆r(jià)-非普通宅可扣除金額；,,可扣除項(xiàng)目為以下5個(gè)方面，即 取得土地使用權(quán)所支付的金額，房地產(chǎn)開發(fā)成本，房地產(chǎn)開發(fā)費(fèi)用，與轉(zhuǎn)讓房地產(chǎn)有關(guān)的稅金和其他扣除項(xiàng)目，如納稅人優(yōu)惠加計(jì)扣除部分。 由此得到,

9、普通宅的總開發(fā)成本=普通宅可扣除房型面積×建房套數(shù)×單位面積開發(fā)成本+分?jǐn)偟狡胀ㄕ钠渌身?xiàng)目。 同理可得 非普通宅的總開發(fā)成本=非普通宅可扣除房型面積×建房套數(shù)×單位面積開發(fā)成本+分?jǐn)偟椒瞧胀ㄕ钠渌煽鄢?xiàng)目。,,按收入的5.65%計(jì)算轉(zhuǎn)讓房產(chǎn)有關(guān)稅金，可得 普通宅營業(yè)稅=（普通宅可扣除房型面積×建房套數(shù)×單位面積開發(fā)成本+分?jǐn)?/p>

10、到普通宅的其他可扣除項(xiàng)目）× 5.65%； 非普通宅營業(yè)稅=（非普通宅可扣除房型面積×建房套數(shù)×單位面積開發(fā)成本+分?jǐn)偟椒瞧胀ㄕ钠渌煽鄢?xiàng)目） × 5.65%； 普通宅取得土地支付的金額=土地支付金×普通宅總面積的分?jǐn)偙龋?非普通宅取得土地支付的金額=土地支付金×非普通宅總面積的分?jǐn)偙取?根據(jù)公式：增值稅

11、稅率參考值=增值額/可扣除項(xiàng)目，分別計(jì)算普通房型與非普通房型。,,計(jì)算增值額方法，需采用分段函數(shù)進(jìn)行計(jì)算：,,,其中 Zz 稅金比例,Zc 增值稅稅率參考值, Ze 增值額計(jì)算結(jié)果 總套數(shù)為 2100套 實(shí)際總購房款 324672.0 萬元 實(shí)際總增值稅 14831.339 萬元 實(shí)際純利潤 61424.353 萬元 實(shí)際容積率 2.275

12、2298,3 問題2的解題思路與建立模型,3.1解題思路 本問題顯然是一個(gè)優(yōu)化問題，要求盡量滿足參籌者意愿，給出房屋規(guī)劃設(shè)計(jì)方案。因此很容易想到，以房屋的平均滿意度達(dá)到最大作為目標(biāo)函數(shù)，其約束條件為：實(shí)際容積率不超過國家規(guī)定容積率，每類房具體套數(shù)具有上下限的約束，而且套數(shù)為整數(shù)，求解非線性規(guī)劃模型。,3.2 建立模型 模型1以平均滿意度最大為目標(biāo)建立優(yōu)化模型,,其中： 為房型的平均滿意度， 為編號為

13、 的房型的滿意度比例; 原房型建房套數(shù)為 （ ）， 為編號為 的房型的房型面積,102077.6為房屋的總面積；建房套數(shù) ，應(yīng)滿足的套數(shù)約束。計(jì)算結(jié)果 房型1-11套數(shù)依次為50, 50, 50, 150, 100, 350, 450, 100, 50, 50, 50,,,,,,,,,,,,模型2 將需求比例與建房套數(shù)規(guī)劃比例按最小二乘原則，并以兩個(gè)比例之差的平方和最小為目標(biāo)函數(shù)

14、建立模型。 各房型歸一化處理后的需求比例為 各房型現(xiàn)有滿意比例 除以各房型現(xiàn)有中滿意比例之和 ，即,,,,,,,表1 眾籌者滿意比（建房需求比例）房型 房型1 房型2 房型3 房型4 房型5 房型6 滿意比例 6.67% 10.00% 8.33% 10.00%11.67% 13.33%房型 房型7 房型8 房型9

15、 房型10 房型11滿意比例 15.00% 10.00% 3.33% 5.00% 6.67%,,另一方面將規(guī)劃各房型套數(shù) ，按總套數(shù) 作歸一化處理得建房套數(shù)規(guī)劃比例 ，再將需求比例 與建房套數(shù)規(guī)劃比例按最小二乘原則，并以兩者比例之差的平方和最小為目標(biāo)函數(shù)，建立優(yōu)化模型，容積率與各種房型的套數(shù)作為約束條件，建立模型。,,,,,,,,,(50,50,50,150,100,150,5

16、0,100,50,50,50),,(450,500,300,500,550,350,450,250,350,400,250),,4 問題3的解題思路與建立模型,4.1 解題思路 要求解問題3，首先要檢驗(yàn)問題2中的設(shè)計(jì)方案的投資回報(bào)率，因?yàn)橹挥性诨貓?bào)率大于25%時(shí)，設(shè)計(jì)方案才得以執(zhí)行。我們假設(shè)在問題1中所得的結(jié)果如上所述，求解問題2時(shí)采用的是模型1，那么所計(jì)算出的方案2的投資回報(bào)率為19.700222%, 因而問題2所

17、設(shè)計(jì)的眾籌項(xiàng)目很難執(zhí)行，只能再修改設(shè)計(jì)方案。修改方案的關(guān)鍵是需將回報(bào)率＞25%作為約束條件。,4.2建立模型以問題2中的模型2為例,修改后的模型如,,,,,(4),其中,(50,50,50,150,100,150,50,100,50,50,50),,(450,500,300,500,550,350,450,250,350,400,250) 其中ZS為收益, Z為成本。,,采用同樣的方法，也可以修改問題2中的模型1，即（3）式，求出

18、問題3的解.由于參賽者采用的模型、計(jì)算軟件不同, 在計(jì)算過程中近似方法不同, 因此所得結(jié)果有差異，我們給出此問題3的參考解答如下： 總套數(shù)為 1883套 實(shí)際總購房款 340705.72 萬元 實(shí)際總增值稅 14955.864 萬元 實(shí)際純利潤 68151.816 萬元 實(shí)際容積率 2.2799223 實(shí)際平均滿意

19、度 0.65363781 投資回報(bào)率 0.25004894,5 評閱要點(diǎn)及主要問題,5.1問題1的難點(diǎn)及主要問題 難點(diǎn)在于通過學(xué)習(xí)國家相關(guān)政策文件，理解真實(shí)案例中一次項(xiàng)目規(guī)劃中的各種約束條件，以此為基礎(chǔ)建立成本核算體系.借助各類模型或算法，結(jié)合實(shí)際需求，考慮容積率約束，考慮稅務(wù)和預(yù)估純收益，這其中包括土地增值稅的計(jì)算、取得土地使用權(quán)所支付的金額、開發(fā)成本、開發(fā)費(fèi)用、與之有關(guān)的稅金、其他扣除項(xiàng)目

20、等核算，并對核算方式進(jìn)行說明.要給出建設(shè)規(guī)劃方案Ⅰ的總購房款、增值稅、純利潤、容積率、總套數(shù)等計(jì)算結(jié)果。,,在求解問題1時(shí)大部分參賽論文的主要錯(cuò)誤有兩點(diǎn)： 1）在核算增值稅時(shí)，開發(fā)成本中的“不允許扣除”，指僅在計(jì)算增值稅時(shí)對應(yīng)子項(xiàng)目所實(shí)際發(fā)生的開發(fā)成本不能列入增值額核算中。若開發(fā)成本的值被認(rèn)為0, 這是不正確的，因?yàn)樵谟?jì)算開發(fā)費(fèi)用時(shí)要用到開發(fā)成本的實(shí)際值。 不允許扣除的開發(fā)成本只是不計(jì)入成本, 如果記作0，則降低了開發(fā)費(fèi)用的數(shù)值，

21、降低了投入成本，從而增加了利潤，使得增值稅率增加，也增加了增值稅。,,2）其次在計(jì)算普通住宅和非普通住宅的稅率時(shí)，應(yīng)該先分11種房型分別核算，再將各種成本收益等指標(biāo)值歸類到普通和非普通住宅兩類中, 而有些學(xué)生是先計(jì)算總的收益和各種成本，再用普通和非普通面積比率進(jìn)行分?jǐn)? 這種做法實(shí)際上假定了各種房型收益、成本的比例是一致的，這顯然不符合本題的原意。 另外，也有些學(xué)生沒有將住宅中“其他”類型進(jìn)行普非分?jǐn)? 因此絕大多數(shù)參賽隊(duì)計(jì)算的實(shí)際總增

22、值稅 有誤，高于14831.339 萬元。,,5.2問題2的難點(diǎn)及主要問題 問題2的難點(diǎn)是要建立非線性規(guī)劃模型，給出合理的約束項(xiàng)，決策變量就是各種房型的數(shù)量，所得建房套數(shù)應(yīng)為整數(shù)解。 題目的本意是提高參籌者的平均滿意度，所以在將滿意度線性加權(quán)求和后還需要除以房屋總套數(shù). 在求解問題2時(shí),不少參賽論文的錯(cuò)誤在于目標(biāo)函數(shù)用線性函數(shù)來表示，如：,,且 為整數(shù) 其中為 容積率,,,,,,,

23、,,,5.3 問題3的難點(diǎn)及主要問題 問題3的難點(diǎn)是要對問題2中的方案進(jìn)行核算，得出投資回報(bào)率低于25%的結(jié)論，再修改問題2中的模型，新的模型需包含投資回報(bào)率達(dá)到25%的約束，建立單目標(biāo)非線性整數(shù)優(yōu)化問題。注意到目標(biāo)函數(shù)與約束中均存在非線性，還要考慮目標(biāo)函數(shù)是分段函數(shù)的特性，進(jìn)行求解并給出合理解釋。,,由于不少參賽隊(duì)在求解問題2時(shí)，將目標(biāo)函數(shù)設(shè)為線性函數(shù)，計(jì)算問題2的回報(bào)率就高于25%，進(jìn)而得出不需對問題2的設(shè)計(jì)方案進(jìn)行

24、修改的錯(cuò)誤結(jié)論，這樣的論文，當(dāng)然算不上是一篇好文章了。,6 結(jié)束語,在2015年的競賽中，由各賽區(qū)送交全國組委會參加全國評閱的D題試卷183份，2015年《工程數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)》增刊將發(fā)表的三篇論文是閱卷專家組從這些試卷中挑選出來的，三篇論文：解放軍重慶通信學(xué)院，南通職業(yè)大學(xué)，溫州職業(yè)技術(shù)學(xué)院。這三篇文章經(jīng)過仔細(xì)審查，研究，最終認(rèn)定為優(yōu)秀論文并要求作者修改后發(fā)表。,,優(yōu)秀論文的共同優(yōu)點(diǎn)是摘要寫得比較好，能清楚地講明他們對問題和數(shù)據(jù)的分析，建模

25、方法，求解步驟與結(jié)果。 在模型構(gòu)造方面，他們都有自己的特點(diǎn)，采用Lingo或Matlab語言編寫程序求解。 當(dāng)然，他們的論文也存在一些不足之處，如計(jì)算結(jié)果不準(zhǔn)確等。 我們決定發(fā)表這些論文，不僅僅是利于其他人能學(xué)到這些優(yōu)秀論文的長處，而且希望通過交流，優(yōu)秀論文的作者們也能得到提高，改進(jìn)自己的論文，繼續(xù)賽后研究。,參考文獻(xiàn),[1] 施鳳翔，剖析按建筑占地面積分?jǐn)倯糁魍恋厥褂脵?quán)面積（整宗分?jǐn)偡ǎ?南京：南京市國土資源信息中心 210008。

26、http://wenku.baidu.com/link?url=ljhBTVCSDBUlZvbhiyAM5YP3KFMO3Z6WCtmcKYomIFlQCLW8vNr8HxsVnd10JyrMs9r8p_7tVcGWSUqoQPg3TOvXQ2ENKp5HN3N4zcVAt9O[2] 百度百科. 容積率. http://baike.baidu.com/link?url=jsKSMqqcxglEPimbyoz4wncN_j_fF