混沌的本質(zhì)特征與混沌概念的界定

1、1混沌的本質(zhì)特征與混沌概念的界定混沌的本質(zhì)特征與混沌概念的界定張本祥孫博文混沌理論是非線性科學(xué)的核心部分，它的理論及應(yīng)用價(jià)值很大，但是迄今為止，對(duì)混沌概念還沒有公認(rèn)的嚴(yán)格的定義，我們認(rèn)為，對(duì)混沌概念的界定應(yīng)從混沌現(xiàn)象的本質(zhì)特征入手，從數(shù)學(xué)和物理兩個(gè)層次上考察，才有可能得出正確的完整的結(jié)論，本文將從運(yùn)動(dòng)學(xué)角度討論混沌的本質(zhì)特征——有界、非周期和敏感初條件，并籍此嘗試對(duì)混沌概念的界定。一、從混沌的一、從混沌的Li—Yke定義看數(shù)學(xué)混沌的本質(zhì)

2、特征定義看數(shù)學(xué)混沌的本質(zhì)特征現(xiàn)代科學(xué)意義上的混沌是個(gè)難以精確定義的概念，不同領(lǐng)域的科學(xué)家往往對(duì)其做出不同的定義。1975年李天巖(Tianyan—Li)和約克(Yke)給出了混沌的一個(gè)數(shù)學(xué)定義，這也是第一次賦予混沌這個(gè)詞以嚴(yán)格的科學(xué)意義，混沌的李—約克定義如下：設(shè)連續(xù)自映射f：，I是R中的一個(gè)閉區(qū)間，如果存在不可數(shù)集合SI滿足(1)S不包含周期點(diǎn)。(2)任給X1，X2S(XlX2)有＞0＝0這里，表示t重函數(shù)關(guān)系。（3）任給X1S及f的

3、任意周期點(diǎn)PI有＞0則稱f在s上是混沌的[1]。由李—約克的定義可見，他們是用三個(gè)方面的本質(zhì)特征來對(duì)混沌進(jìn)行刻劃的：3而且相點(diǎn)的值的精確度也是有限的。那么，李—約克的數(shù)學(xué)混沌所具有的三個(gè)本質(zhì)特征，是否仍是有限性制約下的物理混沌的本質(zhì)特征呢或者說，有限的現(xiàn)實(shí)系統(tǒng)的混沌是否仍具有這三個(gè)本質(zhì)特征呢下面我們就分別來討論。(一)有界從物理上說，一般地我們所研究的和能研究的都是本質(zhì)上的回歸行為，其現(xiàn)實(shí)的測(cè)度空間總有確定的邊界，而無界的本質(zhì)上的非回歸

4、行為則沒有一般意義，也就是說，任何一個(gè)現(xiàn)實(shí)系統(tǒng)的狀態(tài)變量的值不可能是絕對(duì)的無窮大，只能是局限于確定范圍內(nèi)的有限值，因而是有界的。再者，雖然混沌現(xiàn)象的主要特征是它的不穩(wěn)定性方面，但是它也有穩(wěn)定性的一方面，實(shí)際上混沌是局部不穩(wěn)定與整體穩(wěn)定這一對(duì)矛盾的統(tǒng)一體，它的整體穩(wěn)定性是混沌現(xiàn)象的一個(gè)重要方面，是混沌系統(tǒng)所具有的穩(wěn)定機(jī)制的反映。還以拋物線滿映射為例，它實(shí)際上就相當(dāng)于特定的拉伸與折疊變換(拉伸一倍，再對(duì)折)，其中拉伸操作使系統(tǒng)敏感初條件，導(dǎo)

5、致了混沌行為的不穩(wěn)定方面，而折疊操作卻使系統(tǒng)的取值空間減小一半，把相點(diǎn)始終限制于最初的映射區(qū)間內(nèi)，它導(dǎo)致了混沌的穩(wěn)定性方面?？梢?，具回歸行為的現(xiàn)實(shí)物理系統(tǒng)的穩(wěn)定機(jī)制及表觀上的整體穩(wěn)定性就是物理上的“有界”，“有界”也是物理混沌的一個(gè)本質(zhì)特征。(二)非周期在精確度有限、映射次數(shù)(也即軌道長(zhǎng)度)有限的現(xiàn)實(shí)情況下，非零的有限的精確度雖然可能平滑掉混沌軌道中相點(diǎn)的相應(yīng)的有限大小的差別，從而在一定程度上“抑制”了混沌軌道的非周期性，即任何有限長(zhǎng)的

6、一條軌道都可以用某種周期軌道來擬合，但是同一條軌道只要它延伸到足夠長(zhǎng)(不是無限長(zhǎng))，它與用以擬合它的任意的周期軌道仍將產(chǎn)生足夠的偏離，使兩者成為可區(qū)分的。就是說，在有限精確條件下混沌軌道仍具有非周期性，仍意味著不重復(fù)、不可壓縮和無規(guī)律可循。如果要以有限長(zhǎng)的混沌軌道為條件來預(yù)測(cè)任意相點(diǎn)的位置，即依據(jù)有周期意義的、有可壓縮性質(zhì)(能以有限反映無限)的規(guī)律來預(yù)測(cè)未來，則只能是不確定的即概率性的(條件概率小于1)，而不可能是確定的、非概率性的。(

7、三)敏感初條件如上文所述，數(shù)學(xué)混沌敏感初條件表現(xiàn)為在t→∞條件下，間距的下確界為0的兩條軌道，其上確界大于0。而在物理上，初始條件原則上的不精確性，加之混沌系統(tǒng)的非線性不穩(wěn)定機(jī)制的作用，使初值的不精確性被迅速放大成為宏觀層次的不確定性，這就是物理混沌的敏感初條件的特征。1精確度有限的初始條件初始條件是初始時(shí)刻系統(tǒng)的狀態(tài)，雖然任何物理對(duì)象都有其自然的初始條件，但是人們所知道的初始條件原則上只能通過本質(zhì)上的測(cè)量過程獲得。由于反映著主體獲得的