柯西收斂準(zhǔn)則的一個(gè)新證明

1、柯西收斂準(zhǔn)則的一個(gè)新證明楊進(jìn)（重慶師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院2007級(jí)，重慶400047）摘要：在這篇短文里，通過(guò)構(gòu)造兩個(gè)新數(shù)列，利用單調(diào)有界原理，我們給出了柯西收斂準(zhǔn)則的一個(gè)新證明。證明方法新穎，具有借鑒意義。關(guān)鍵詞：利用單調(diào)有界原理；柯西收斂準(zhǔn)則；新證明；夾值性。中圖分類號(hào)：O17在數(shù)學(xué)分析中，柯西收斂準(zhǔn)則是一個(gè)最基礎(chǔ)，又非常重要的結(jié)果，是判斷一個(gè)數(shù)列是否收斂用的最多工具。盡管我們已經(jīng)知道實(shí)數(shù)完備性的八大基本定理是等價(jià)，即單調(diào)有界原理與柯西收

2、斂準(zhǔn)則是等價(jià)。但我們注意到實(shí)數(shù)完備性的八大基本定理的等價(jià)是通過(guò)循環(huán)方式給出的證明，且到目前為止我們還沒(méi)有見(jiàn)到直接用單調(diào)有界原理證明柯西收斂準(zhǔn)則的文獻(xiàn)。在這篇短文里，通過(guò)構(gòu)造兩個(gè)新數(shù)列，利用單調(diào)有界原理，我們給出了柯西收斂準(zhǔn)則的一個(gè)新證明。本文的證明方法不同于文獻(xiàn)【3】的證明，具有新穎性，對(duì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析有借鑒意義。單調(diào)有界原理單調(diào)有界原理：?jiǎn)握{(diào)有界數(shù)列必有極限。下面我們用單調(diào)有界原理證明柯西收斂準(zhǔn)則?？挛魇諗繙?zhǔn)則：柯西收斂準(zhǔn)則：數(shù)列收斂的

3、充要條件是是柯西數(shù)列。??nx??nx證明：必要性顯然。下證充分性。設(shè)是柯西數(shù)列，即，，當(dāng)時(shí)，有??nx0???0N??nmN?(1)nmxx???令：????sup12inf12.nnpnnpyxpzxp????????顯然：是單調(diào)遞減數(shù)列，是單調(diào)遞增數(shù)列。??ny??nz取??121max1.NNMxxxx????由(1)，不難知.12nxMn????于是，和都是有界數(shù)列。??ny??nz根據(jù)單調(diào)有界原理，和都是收斂數(shù)列。不妨設(shè)：?

4、?ny??nz(2)()nnyazbn????由和的構(gòu)造以及（1），我們有??ny??nz(3)12nnnzxyn?????(4)nnyznN?????于是由(4)，有。而是任意正數(shù)，因此ab????。(5)ab?最后，根據(jù)(2)，(3)和(5)，我們有：??.nxan???這就完成了證明。參考文獻(xiàn)：參考文獻(xiàn)：1.嚴(yán)子謙，尹景學(xué)，張然：《數(shù)學(xué)分析的方法與技巧》，高等教育出版社，2009，pp.13—17.2.華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編：《數(shù)學(xué)