專題24 解三角形中的最值、范圍問題(解析版)

1、1專題專題2424解三角形中的最值、范圍問題解三角形中的最值、范圍問題解三角形問題是高考高頻考點(diǎn)，命題大多放在解答題的第一題，主要利用三角形的內(nèi)角和定理，正、余弦定理、三角形面積公式等知識(shí)解題，解題時(shí)要靈活利用三角形的邊角關(guān)系進(jìn)行“邊轉(zhuǎn)角”“角轉(zhuǎn)邊”，另外要注意三者的關(guān)系.高考中經(jīng)常將三角變換與解三角形知識(shí)綜合起來命題，如果式子中含22acacac??有角的余弦或邊的二次式，要考慮用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或邊的一次式時(shí)，

2、則考慮用正弦定理實(shí)現(xiàn)邊角互化；以上特征都不明顯時(shí)，則要考慮兩個(gè)定理都有可能用到而三角變換中主要是“變角、變函數(shù)名和變運(yùn)算形式”，其中的核心是“變角”，即注意角之間的結(jié)構(gòu)差異，彌補(bǔ)這種結(jié)構(gòu)差異的依據(jù)就是三角公式.1、正弦定理：2sinsinsinabcRABC???，其中R為ABCA外接圓的半徑正弦定理的主要作用是方程和分式中的邊角互化.其原則為關(guān)于邊，或是角的正弦值是否具備齊次的特征.如果齊次則可直接進(jìn)行邊化角或是角化邊，否則不可行學(xué)科

3、網(wǎng)例如：（1）222222sinsinsinsinsinABABCababc???????（2）coscossincossincossinbCcBaBCCBA?????（恒等式）（3）22sinsinsinbcBCaA?2、余弦定理：2222cosabcbcA???變式：????2221cosabcbcA????此公式在已知aA的情況下，配合均值不等式可得到bc?和bc的最值4、三角形中的不等關(guān)系（1）任意兩邊之和大于第三邊：在判定是否

4、構(gòu)成三角形時(shí)，只需驗(yàn)證較小的兩邊之和是否比第三邊大即可.由于不存在等號(hào)成立的條件，在求最值時(shí)使用較少（2）在三角形中，邊角以及角的三角函數(shù)值存在等價(jià)關(guān)系：sinsincoscosabABABAB???????其中由coscosABAB???利用的是余弦函數(shù)單調(diào)性，而sinsinABAB???僅在一個(gè)三角形內(nèi)有效.5、解三角形中處理不等關(guān)系的幾種方法（1）轉(zhuǎn)變?yōu)橐粋€(gè)變量的函數(shù)：通過邊角互化和代入消元，將多變量表達(dá)式轉(zhuǎn)變?yōu)楹瘮?shù)，從而將問題轉(zhuǎn)

5、化為求函數(shù)的值域（最值）（2）利用均值不等式求得最值【經(jīng)典例題經(jīng)典例題】3范圍為__________【答案】【解析】由的三邊分別為，，可得：，可知：，，，例5.【2018屆湖南省株洲市高三檢測(cè)（二）】已知中，角所對(duì)的邊分別是且.(1)求角的大?。?2)設(shè)向量，邊長(zhǎng)，當(dāng)取最大值時(shí)，求邊的長(zhǎng).【答案】(1)(2).【解析】分析：（1）由題意，根據(jù)正弦定理可得，再由余弦定理可得，由此可求角的大?。唬?）因?yàn)橛纱丝汕螽?dāng)取最大值時(shí)，求邊的長(zhǎng).（2