哈工大航天學院課程-空間飛行器動力學與控制-第4課-空間飛行器軌道動力學中

1、一、二體問題 二、中心引力場中的運動,第四課 空間飛行器軌道動力學（中）,空間有無數(shù)個天體，它們之間都有引力作用，如果精確地分析就需要都考慮，但是為了使問題變得簡單，僅需考慮主要的引力作用，將其轉化成二體問題，其他天體作用看作攝動。 二體問題: 只考慮一個小質量天體和大質量天體兩天體之間的引力，而忽略較遠離的天體的引力作用。如人造地球衛(wèi)星，只考慮衛(wèi)星和地球的引力作用下的運動。,一、二體問題,圖4.1

2、二體問題示意圖,對于圖示二體問題，在地心赤道慣性坐標系 中，設質點質量分別為 ， ；向徑分別為 ， ， ， ；質點上的萬有引力分別為 ， 。,,航天器在近地軌道運行時忽略月球和其他星體的引力作用時可以按二體問題處理。  二體問題軌道運動基本方程,圖4.1 二體問題示意圖,根據(jù)質心定理 (4.1) 及

3、 (4.2),(4.3) (4.4),聯(lián)立方程(4.1)及(4.2)可得,圖4.1 二體問題示意圖,(4.5),在m1引力作用下的航天器m2的運動 (4.6),在航天器m2引力作用下的質點 m1 的運動,(4.7),對于二體問題，作用在m1和m2 上的力只有萬有引力，它們大小相等方向相反，即,將方程(4.3)和(4.4)帶

4、入方程(4.5)和(4.6)，再利用(4.7)，可得,(4.8),(4.9),由方程(4.8)可得,方程(4.8)只有在 或 時才能成立。,結論： 兩體運動中，系統(tǒng)質心的運動速度為常量，不做加速運動。 或者說，慣性空間兩體相互作用的結果，其系統(tǒng)質心速度保持不變，要么等速直線運動，要么靜止不動。,,,令 ，可以得到二體運動的基本運

5、動方程為：,對于人造地球衛(wèi)星問題， 為地球引力常數(shù)。,將 帶入方程(4.8)可得,(4.10),(4.11),(4.12),或,動量矩守恒定理 設 ，為 單位質量相對 的動量矩（或角動量）。對 求導，則有,,,,,,,,,用式(4.12)消去 ，并考慮到 ， ，可以得到,,,(4.12),(4.13

6、),(4.14),上式表示m1相對m2的動量矩是守恒的，包括它的方向和大小都是守恒的。 由于m1相對m2 的速度與 m2相對m1的速度大小相等方向相反，所以h 也表示 m2相對m1的單位質量的動量矩 （角動量），統(tǒng)一稱為動量矩（角動量）。,(4.14),二體系統(tǒng)的動能 和 的動能之和為,(4.3) (4.4),(4.16),將式(4.3)和(4.4)對時

7、間求導后代入上式，經(jīng)整理得系統(tǒng)質心的平動動能與繞質心轉動的動能的總和表達式為：,(4.15),二體系統(tǒng)的軌道運動方程 下面分析兩個星體之間的相對運動軌跡，多體問題只能用數(shù)值方法求得數(shù)值解，二體問題可以得到解析解。,對運動方程(4.12)作 的矢量積，可得,(4.12),（4.17）,（4.18）,積分上式后得,將 代入上式的右端，則,這里 是常矢量，這個積分稱為拉普拉斯積分，

8、 稱為拉普拉斯矢量。 在軌道平面內，再由式（4.18）與標量積，可得,式中 表示 與 之間的夾角，即 。,即 （4.19）,（4.18）,（4.20）,又 所以 即 （4.21）此式就是衛(wèi)星運動軌道方程。由解析幾何可知，這就是地心極坐標系中的圓錐曲線方程。,換成解析幾何中常用的符號，即有

9、 （4.22）式中 ——半正焦弦； ——真近點角； ——衛(wèi)星矢徑與升交點方向的夾角； ——衛(wèi)星升交點矢徑與近地點矢徑夾角叫近地點角距。,,在二體運動系統(tǒng)中，如果 ，可以認為重心 與 重合， 對于 的相對運動，便成為繞中心引力場的運動，這正是人造空間飛行器通常所遇到的情

10、況。,二、中心引力場中的運動,軌道形狀及分類 中心引力場中軌道的形狀，滿足軌道運動的一般方程，即 （4.23）其中 是 和 的夾角 (也可以用 f 表示)， 。,,,軌道形狀由軌道偏心率e確定。e=0 圓形軌道 ；0<e<1 橢圓軌道；e=l 拋物線軌道；e＞l 雙曲線軌道。

11、 如圖4.2所示：,圖4.2 軌道形狀,圓軌道和橢圓軌道: 閉合軌道。人造衛(wèi)星軌道就是圓軌道或者是橢圓軌道。 拋物線軌道或雙曲線軌道: 非閉合軌道，脫離地球引力場飛行就要沿這種軌道飛行。 德國天文學家開普勒于1609-1619年總結出天體運動的三大定律，開普勒第一定律關于軌道形狀。 定義：物體在中心引力場中的運動軌跡是圓、橢圓、拋物線或雙曲線等圓錐曲線，中心引力體位于上述曲線的（一個）焦點上。,系統(tǒng)的能量

12、 以 左側點乘中心引力場中運動的基本方程式， 有,,其中，,,因 ，積分上式得,其中 為積分常數(shù)。上式第一項為空間飛行器單位質量的動能，第二項為其單位質量的勢能。式(4.25)表示空間飛行器在軌道任意點的動能與勢能之和總為常數(shù)，即能量守恒。,(4.24),(4.25),速度矢量還可以寫成分量形式，為此

13、先把 寫成 ， 是矢徑 正向的單位矢量，如圖4.3所示：圖4.3 速度的分解,根據(jù)單位矢量對時間求導的法則，有 ，其中 是 亦即 在慣性空間的角速度，其模為 ，它與 叉乘后的方向與 垂直，與在 運動平面指向前方的單位矢量 同向。,對 求時間導數(shù)，有,式（4.26）自身點乘后代入式（4.25），則能量方程還可以表示為,(4.25),故,（4

14、.26）,式中， 和 分別是速度 在矢徑方向和其垂直方向的分量。,(4.27),由圖4.3和矢量叉乘的定義，寫出角動量 的模,(4.27),（4.26）,(4.28),(4.29),式（4.27）、（4.29）是中心引力場中能量守恒的另兩種表達形式。,代入（4.27），還有,如果把式(4.28)寫成便可看出，右側分子表示空間飛行器在軌道上運動時，矢徑轉過 角時所掃出的扇形面積的2倍，如圖4.4所示。

15、圖4.4 矢徑掃過的面積,(4.28),設該面積為 ，則有,(4.30),由于動量矩守恒，上式表明空間飛行器在單位時間內掃過的扇形面積為常值，或者說扇面速度為常值。這個結論適用于所有四種形狀的軌道，稱為開普勒第二定律。,橢圓軌道的周期（開普勒第三定律）,,對于橢圓軌道，由式(4.30)積分，可得到空間飛行器運行一個周期 時，掃過的扇面積為軌道包含的橢圓面積，所以有,(4.30),式(4.31)又稱為開普勒第三定律，

16、可見空間飛行器在橢圓軌道上運行的周期只與軌道的半長軸 有關。,(4.31),進一步的推導可以得到,軌道要素（根數(shù)）及其幾何意義 確定衛(wèi)星空間位置的參數(shù)叫做軌道要素。軌道要素又稱軌道根數(shù)，它們確定軌道平面在空間的取向，軌道在軌道平面內的取向，軌道的形狀和空間飛行器在軌道上的位置。軌道要素共有六個，分別為：,（1）確定軌道平面在空間位置的參數(shù) Ω---- 升交點赤經(jīng)，從春分點到升交點的角距。

17、 i ----- 軌道傾角，是軌道面與赤道面的夾角。 升交點 指當衛(wèi)星軌道平面與地球赤道平面的夾角即軌道傾角不等于零時，軌道與赤道面有兩個交點，衛(wèi)星由南向北飛行時的交點稱為升交點。,（2）確定軌道在軌道面內位置的參數(shù) ω---- 近地點角距，在軌道平面上，升交點和近地點矢徑的夾角。 近地點 : 人造衛(wèi)星在圍繞地球作橢圓運動的軌道上距離地球最近的一點。,（3）確定軌道形狀及地點矢徑的夾