統(tǒng)計(jì)學(xué)第六章--變異指標(biāo)

1、統(tǒng)計(jì)學(xué),statistics,高等學(xué)校應(yīng)用型特色規(guī)劃教材,清華大學(xué)出版社,第一節(jié) 變異指標(biāo)的基本理論,第二節(jié) 全距、分位差和平均差,第三節(jié) 標(biāo)準(zhǔn)差和標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù),【學(xué)習(xí)目標(biāo)】通過本章的學(xué)習(xí)和習(xí)題演算，掌握變異指標(biāo)的意義和作用；標(biāo)準(zhǔn)差和標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)的計(jì)算和應(yīng)用。了解變異指標(biāo)的分布特性；極差、平均差和四分位差的概念、計(jì)算公式和特點(diǎn)；分布的偏度與峰度。,第四節(jié) 偏度和峰度,第五節(jié) 變異指標(biāo)的應(yīng)用,第六章 變異指標(biāo),一、離中趨勢(shì)的涵義,第

2、六章 變異指標(biāo),第一節(jié) 變異指標(biāo)的基本理論,變異指標(biāo)值越大，平均指標(biāo)的代表性越??；反之，平均指標(biāo)的代表性越大,二、變異指標(biāo)的作用,第六章 變異指標(biāo),第一節(jié) 變異指標(biāo)的基本理論,衡量和比較平均數(shù)代表性的大??；是進(jìn)行質(zhì)量控制的基礎(chǔ)；是衡量風(fēng)險(xiǎn)程度的尺度。,例如：某車間有兩個(gè)生產(chǎn)小組，各有7名工人，各人日產(chǎn)量如下:甲組：20，40，60，70，80，100，120乙組：67，68，69，70，71，72，73,第六章 變異指標(biāo),

3、第一節(jié) 變異指標(biāo)的基本理論,第六章 變異指標(biāo),第一節(jié) 變異指標(biāo)的基本理論,【專欄6－1】,國家統(tǒng)計(jì)局日前發(fā)布的報(bào)告稱，與2005年的工資數(shù)據(jù)相比，2006年全國城鎮(zhèn)單位在崗職工的年平均工資增加了2596元，日平均工資增加了10.36元。（中國證券報(bào)3月26日）溫家寶總理在十屆全國人大五次會(huì)議記者招待會(huì)上曾說：“一個(gè)艦隊(duì)決定它速度快慢的不是那個(gè)航行最快的船只，而是那個(gè)最慢的船只?！蓖瑯樱瑳Q定全國城鎮(zhèn)單位在崗職工工資整體發(fā)展速度的是廣大

4、低收入者的增長情況。,別把平均指標(biāo)看得過重,第六章 變異指標(biāo),【專欄6－1】,目前，雖然過去15年中，中國居民工資性收入穩(wěn)步增長，但收入差距的擴(kuò)大，已成為工資分配中的突出問題。1月31日，國家發(fā)改委官方網(wǎng)站公布系列收入分配報(bào)告顯示，1990～2005年，城鄉(xiāng)居民的工資性收入在居民總收入中所占的比重從45.3%逐步提高到63.2%.但也就在這一時(shí)期，平均貨幣工資收入最高最低行業(yè)之比由1.76∶1擴(kuò)大為4.88∶1。如果我們不注重行業(yè)間的收

5、入差距過大問題，不采取措施彌補(bǔ)這種差距，而是任其擴(kuò)大，一味追求平均指標(biāo)的增長，那就無助于“整個(gè)社會(huì)的生活狀況”的改善，因?yàn)橐粋€(gè)艦隊(duì)的速度，取決于那個(gè)最慢的船只。,別把平均指標(biāo)看得過重,第六章 變異指標(biāo),第六章 變異指標(biāo),第一節(jié) 變異指標(biāo)的基本理論,二、變異指標(biāo)的種類,,以標(biāo)志值之間相互比較說明變異情況,以平均數(shù)為比較標(biāo)準(zhǔn)來說明標(biāo)志的變異情況,以正態(tài)分布為標(biāo)準(zhǔn)說明分配數(shù)列偏離情況的指標(biāo),平均差,標(biāo)準(zhǔn)差,平均差系數(shù),標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù),方差,峰度

6、,偏度,全距,分位差,,,第二節(jié) 全距、分位差和平均差,第六章 變異指標(biāo),指所研究的數(shù)據(jù)中，最大值與最小值之差，又稱極差。,一、全距,第二節(jié) 全距、分位差和平均差,第六章 變異指標(biāo),一、全距,第二節(jié) 全距、分位差和平均差,第六章 變異指標(biāo),一、全距,【例B】某季度某工業(yè)公司18個(gè)工業(yè)企業(yè)產(chǎn)值計(jì)劃完成情況如下：,第二節(jié) 全距、分位差和平均差,第六章 變異指標(biāo),一、全距,缺點(diǎn):①僅取決于兩個(gè)極端值的水平，不能反映其間的變量分布情況

7、；②受個(gè)別極端值的影響過于顯著，不符合穩(wěn)健性和耐抗性的要求。,全距的特點(diǎn),優(yōu)點(diǎn):計(jì)算方法簡(jiǎn)單、易懂；,第二節(jié) 全距、分位差和平均差,第六章 變異指標(biāo),二、分位差,從變量數(shù)列中，剔除了一部分極端值后計(jì)算的類似于極差的指標(biāo)。,四分位差,十六分位差,十分位差,八分位差,三十二分位差,百分位差,,上四分位數(shù),下四分位數(shù),第二節(jié) 全距、分位差和平均差,第六章 變異指標(biāo),三、平均差,⑴ 簡(jiǎn)單平均差——適用于未分組資料,是各個(gè)數(shù)據(jù)與其算術(shù)平均數(shù)

8、的離差絕對(duì)值的算術(shù)平均數(shù)，用 表示。,計(jì)算公式：,第二節(jié) 全距、分位差和平均差,第六章 變異指標(biāo),三、平均差,【例A】某售貨小組5個(gè)人，某天的銷售額分別為440元、480元、520元、600元、750元，求該售貨小組銷售額的平均差。,解：,即該售貨小組5個(gè)人銷售額的平均差為93.6元。,第二節(jié) 全距、分位差和平均差,第六章 變異指標(biāo),三、平均差,⑵ 加權(quán)平均差——適用于分組資料,第二節(jié) 全距、分位差和平均差,第六章 變

9、異指標(biāo),三、平均差,【例B】計(jì)算下表中某公司職工月工資的平均差。,第二節(jié) 全距、分位差和平均差,第六章 變異指標(biāo),三、平均差,解：,即該公司職工月工資的平均差為138.95元。,第二節(jié) 全距、分位差和平均差,第六章 變異指標(biāo),三、平均差,優(yōu)點(diǎn):不易受極端數(shù)值的影響，能綜合反映全部單位標(biāo)志值的實(shí)際差異程度；缺點(diǎn):用絕對(duì)值的形式消除各標(biāo)志值與算術(shù)平均數(shù)離差的正負(fù)值問題，不便于作數(shù)學(xué)處理和參與統(tǒng)計(jì)分析運(yùn)算。,平均差的特點(diǎn),第二節(jié) 全距

10、、分位差和平均差,第六章 變異指標(biāo),三、平均差,平均差系數(shù),第三節(jié) 標(biāo)準(zhǔn)差和標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù),第六章 變異指標(biāo),⑴ 簡(jiǎn)單標(biāo)準(zhǔn)差——適用于未分組資料,是各個(gè)數(shù)據(jù)與其算術(shù)平均數(shù)的離差平方的算術(shù)平均數(shù)的開平方根，用 來表示；標(biāo)準(zhǔn)差的平方又叫作方差，用 來表示。,標(biāo)準(zhǔn)差,計(jì)算公式：,第三節(jié) 標(biāo)準(zhǔn)差和標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù),第六章 變異指標(biāo),【例A】某售貨小組5個(gè)人，某天的銷售額分別為440元、480元、520元、600元、750元，求該售貨小組銷售額的標(biāo)

11、準(zhǔn)差。,解：,第三節(jié) 標(biāo)準(zhǔn)差和標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù),第六章 變異指標(biāo),標(biāo)準(zhǔn)差,⑵ 加權(quán)標(biāo)準(zhǔn)差——適用于分組資料,第三節(jié) 標(biāo)準(zhǔn)差和標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù),第六章 變異指標(biāo),【例B】計(jì)算下表中某公司職工月工資的標(biāo)準(zhǔn)差。,第三節(jié) 標(biāo)準(zhǔn)差和標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù),第六章 變異指標(biāo),解：,（比較：其工資的平均差為138.95元）,即該公司職工月工資的標(biāo)準(zhǔn)差為167.9元。,第三節(jié) 標(biāo)準(zhǔn)差和標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù),第六章 變異指標(biāo),由同一資料計(jì)算的標(biāo)準(zhǔn)差的結(jié)果一般要略大于平均差。證

12、明：當(dāng)a,b,c≥0時(shí)，有,標(biāo)準(zhǔn)差的特點(diǎn),不易受極端數(shù)值的影響，能綜合反映全部單位標(biāo)志值的實(shí)際差異程度；用平方的方法消除各標(biāo)志值與算術(shù)平均數(shù)離差的正負(fù)值問題，可方便地用于數(shù)學(xué)處理和統(tǒng)計(jì)分析運(yùn)算.,第三節(jié) 標(biāo)準(zhǔn)差和標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù),第六章 變異指標(biāo),標(biāo)準(zhǔn)差的簡(jiǎn)捷計(jì)算,第三節(jié) 標(biāo)準(zhǔn)差和標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù),第六章 變異指標(biāo),標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù),第三節(jié) 標(biāo)準(zhǔn)差和標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù),第六章 變異指標(biāo),,,,可比,,,,第三節(jié) 標(biāo)準(zhǔn)差和標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù),第六章 變異指標(biāo),身

13、高的差異水平：cm,體重的差異水平：kg,可比,第三節(jié) 標(biāo)準(zhǔn)差和標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù),第六章 變異指標(biāo),【例】某年級(jí)一、二兩班某門課的平均成績分別為82分和76分，其成績的標(biāo)準(zhǔn)差分別為15.6分和14.8分，比較兩班平均成績代表性的大小。,解：,二班成績的標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)為：,因?yàn)?，所以一班平均成績的代表性比二班大。,第三節(jié) 標(biāo)準(zhǔn)差和標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù),第六章 變異指標(biāo),是非標(biāo)志總體,為研究是非標(biāo)志總體的數(shù)量特征，令,

14、第三節(jié) 標(biāo)準(zhǔn)差和標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù),第六章 變異指標(biāo),是非標(biāo)志總體的指標(biāo),具有某種標(biāo)志表現(xiàn)的單位數(shù)所占的成數(shù),不具有某種標(biāo)志表現(xiàn)的單位數(shù)所占的成數(shù),第三節(jié) 標(biāo)準(zhǔn)差和標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù),第六章 變異指標(biāo),是非標(biāo)志總體的指標(biāo),均值,標(biāo)準(zhǔn)差,第三節(jié) 標(biāo)準(zhǔn)差和標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù),第六章 變異指標(biāo),是非標(biāo)志總體的指標(biāo),方差,標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù),第三節(jié) 標(biāo)準(zhǔn)差和標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù),第六章 變異指標(biāo),是非標(biāo)志總體的指標(biāo),【例】某廠某月份生產(chǎn)了400件產(chǎn)品，其中合格品380

15、件，不合格品20件。求產(chǎn)品質(zhì)量分布的集中趨勢(shì)與離中趨勢(shì)。,解：,,常用的幾種標(biāo)志變異指標(biāo),概 念 計(jì) 算 特 點(diǎn),數(shù)列中最大值與最小值之差,1．極差 （R）,R=最大值-最小值,優(yōu)點(diǎn)：容易理解， 計(jì)算方便缺點(diǎn)：不能反映全部數(shù)據(jù)分布狀況,2．平均差 （A.D）,各標(biāo)志值與均值離差絕對(duì)值的算術(shù)平均,,,,簡(jiǎn)單：,加權(quán)：,優(yōu)點(diǎn)：反映全部數(shù)據(jù)分布狀況缺點(diǎn)

16、：取絕對(duì)值 ,數(shù)字上 不盡合理,,,,,第六章 變異指標(biāo),概 念 計(jì) 算 特 點(diǎn),各標(biāo)志值與均值離差平方的平均。方差的平方根（取正根）,3．方差（σ2） 和 標(biāo)準(zhǔn)差(σ),優(yōu)點(diǎn)：反映全部數(shù)據(jù)分布狀況，數(shù)字上合理。缺點(diǎn)：受計(jì)量單位和平均水平影響，不便于比較,4．標(biāo)準(zhǔn)差系 數(shù) （Vσ）,標(biāo)準(zhǔn)差與均值之商，是無量綱的系數(shù),,,,簡(jiǎn)單：,加權(quán)：,優(yōu)點(diǎn)：適宜不同數(shù)據(jù)集的比

17、較缺點(diǎn)：對(duì)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)變化反應(yīng)不靈敏,,,,,第六章 變異指標(biāo),,分布的矩,1.矩的基本形式,,,第i個(gè)變量,,,常數(shù),,,權(quán)數(shù),,,第六章 變異指標(biāo),第六章 變異指標(biāo),第四節(jié) 偏度與峰度,,,原點(diǎn)矩,中心矩,,,未分組資料,分組資料,未分組資料,分組資料,第六章 變異指標(biāo),,,,,,,,,,,,(對(duì)稱分布),正偏態(tài)分布（右）,負(fù)偏態(tài)分布(左）,1.平均數(shù)與眾數(shù)比較法,第六章 變異指標(biāo),2.矩法,(m3——三階中心矩),定義M=∑(X

18、-A)k/n為變量X關(guān)于A的k階矩。,當(dāng)A=0，即以原點(diǎn)為中心，上式稱為““K階原點(diǎn)矩”。,K=1，2，3時(shí)，有：,一階原點(diǎn)矩μ1=∑(X-0)1/n=∑X/n二階原點(diǎn)矩μ2=∑(X-0)2/n=∑X2/n三階原點(diǎn)矩μ3=∑(X-0)3/n=∑X3/n,第六章 變異指標(biāo),2.矩法,當(dāng)A= ，即以 為中心，上式稱為“K階中心矩”。,K=1，2，3時(shí)，有：,一階中心矩二階中心矩三階中心矩,第六章 變異指標(biāo),K=1，2，3

19、時(shí)，有：,一階中心矩二階中心矩三階中心矩,,,,所以，ν3可以測(cè)定偏度。為消除量綱，轉(zhuǎn)變?yōu)橄禂?shù)，再除以σ3。,,0正偏態(tài), 0,第六章 變異指標(biāo),測(cè)定分布的偏度,,,,,,,,,,,,(對(duì)稱分布),正偏態(tài)分布（右）,負(fù)偏態(tài)分布(左）,3.分位數(shù)法,,不同分布情形下諸四分位數(shù)之間的關(guān)系,,,,,第六章 變異指標(biāo),3.分位數(shù)法,,由上頁圖可知，當(dāng)公布為對(duì)稱時(shí)，中位數(shù)與上、下四分位數(shù)的距離相等地；當(dāng)分布為正偏時(shí)，中位數(shù)與上四分位數(shù)的距離大

20、于它與下四分位數(shù)的距離；當(dāng)分布為負(fù)偏時(shí)，中位數(shù)與上四分位數(shù)的距離小于它與下四分位數(shù)的距離，因此，中位數(shù)與上、下四分位數(shù)的距離之差可以反映偏斜方向。,第六章 變異指標(biāo),測(cè)定分布的偏度,3.分位數(shù)法,,＞0 分布為正偏,＜0 分布為負(fù)偏,=0 分布為對(duì)稱,第六章 變異指標(biāo),1.矩法,,,測(cè)定分布的峰度,,＞0 分布為高峰度的,＜0 分布為低峰度的,=0

21、 分布為正態(tài)峰度的,第六章 變異指標(biāo),第六章 變異指標(biāo),2.分位數(shù)法,,,觀察表明，此式計(jì)算的結(jié)果數(shù)值越小，分布圖形越陡峭；反之，數(shù)值越大，分布圖形越平坦。且在理論上可證明，對(duì)于正態(tài)分布，這樣計(jì)算的結(jié)果總是0.526，故可定義相應(yīng)的峰度指標(biāo)為：,第五節(jié) 變異指標(biāo)的應(yīng)用,,,,,,,,2. 總方差與組方差相結(jié)合,3. 偏度、峰度與公差相結(jié)合,1. 平均指標(biāo)與變異指標(biāo)相結(jié)合,第六章 變異指標(biāo),本章小結(jié)：,（1）平均指標(biāo)描述的是總體的集中

22、趨勢(shì)，而標(biāo)志變異指標(biāo)描述的是總體的離中趨勢(shì)。它們從兩方面來反映總體的分布特征。其作用首先是衡量平均指標(biāo)代表性大小的一種尺度，其次還可以反映社會(huì)經(jīng)濟(jì)活動(dòng)過程的均衡性與協(xié)調(diào)性。 （2）全距、四分位差、平均差與標(biāo)準(zhǔn)差在反映標(biāo)志變異程度方面各有優(yōu)缺點(diǎn)。方差()和標(biāo)準(zhǔn)差()是應(yīng)用最廣的標(biāo)志變異指標(biāo)。標(biāo)準(zhǔn)差與標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)是反映標(biāo)志差異程度的主要指標(biāo)。它比前面介紹的其它指標(biāo)都科學(xué)。標(biāo)準(zhǔn)差就是標(biāo)志值與其算術(shù)平均數(shù)離差的平方的算術(shù)平均數(shù)的平方根。,第六章

23、 變異指標(biāo),本章小結(jié)：,（3）為了對(duì)比和分析不同平均水平總體的標(biāo)志差異程度，就需要使用標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)。標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)是標(biāo)準(zhǔn)差與其算術(shù)平均數(shù)之比，它既消除了變量數(shù)列水平的影響，是反映標(biāo)志差異程度方面目前最科學(xué)的統(tǒng)計(jì)指標(biāo)之一。（4）要掌握是非標(biāo)志的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算。是非標(biāo)志的最大值是0.25。,第六章 變異指標(biāo),復(fù)習(xí)思考題,1. 如何理解標(biāo)志變異指標(biāo)是衡量平均數(shù)代表性大小的尺度？2. 全距、平均差和標(biāo)準(zhǔn)差各有什么特點(diǎn)？3. 為什么說標(biāo)準(zhǔn)

24、差是各種標(biāo)志變異指標(biāo)中最常用的指標(biāo)？4. 什么是標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)，計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)有何意義？5. 標(biāo)志變異指標(biāo)與平均數(shù)有何關(guān)系？6. 在何種情況下，只需計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差而不必計(jì)算標(biāo)志變異系數(shù)，就可以比較出不同資料的平均數(shù)代表性的大小，為什么？ 7. 某售貨小組5人某天的銷售額分別為440元、480元、520元、600元、750元。試計(jì)算全距。,,第六章 變異指標(biāo),復(fù)習(xí)思考題,,第六章 變異指標(biāo),8. 已知某售貨小組5個(gè)人，某天的銷售額分別為4

25、40元、480元、520元、600元、750元，求該售貨小組銷售額的平均差。9. 某車間有兩個(gè)小組，每組都是6個(gè)工人，各人日產(chǎn)量件數(shù)如下：第一組：20，40，60，80，100，120第二組：67，68，69，71，72，73試計(jì)算其平均差。,復(fù)習(xí)思考題,,第六章 變異指標(biāo),10. 某校統(tǒng)計(jì)學(xué)專業(yè)統(tǒng)計(jì)學(xué)成績?nèi)缦卤?，?jì)算其平均差。,復(fù)習(xí)思考題,,第六章 變異指標(biāo),11. 某售貨小組5個(gè)人，某天的銷售額分別為440元、480元、5

26、20元、600元、750元，求該售貨小組銷售額的標(biāo)準(zhǔn)差。計(jì)算下表中某公司職工月工資的標(biāo)準(zhǔn)差。,復(fù)習(xí)思考題,,第六章 變異指標(biāo),12. 甲、乙兩單位人數(shù)及月工資資料如下：,根據(jù)上表資料：（1）比較甲乙兩單位哪個(gè)單位工資水平高；（2）說明哪個(gè)單位工資更具有代表性。,復(fù)習(xí)思考題,,第六章 變異指標(biāo),13. 根據(jù)平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差的關(guān)系。,，則標(biāo)準(zhǔn)差為多少？,，則標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)為多少？,，則平均數(shù)為多少？,，則平均數(shù)為多少？,1. 設(shè),2. 設(shè),3.