版權(quán)說明:本文檔由用戶提供并上傳,收益歸屬內(nèi)容提供方,若內(nèi)容存在侵權(quán),請進(jìn)行舉報(bào)或認(rèn)領(lǐng)
文檔簡介
1、數(shù)論與或然數(shù)學(xué)的發(fā)展,7.1數(shù)論,7.1.1素?cái)?shù)分布,費(fèi)馬數(shù)Fn = +1, n = 0,1,2,…n = 0,1,2,3,4時(shí),F(xiàn)n是素?cái)?shù)。人們進(jìn)而希望解決的問題是:是否存在著無限多個(gè)費(fèi)馬素?cái)?shù)。這也是一個(gè)至今未解決的難題,梅森數(shù)Mp = 2p-1,其中p為素?cái)?shù)已知道的梅森素?cái)?shù)共34個(gè),其中從p =521開始的素?cái)?shù)Mp是1952年以后用計(jì)算機(jī)陸續(xù)發(fā)現(xiàn)的檢驗(yàn)梅森數(shù)是否為素?cái)?shù)的方法稱為盧卡斯—萊默檢驗(yàn),例如, 用盧卡斯—萊默檢驗(yàn)判斷
2、M5是否為素?cái)?shù),因M5=25-1=31,于是可作下述計(jì)算:U(0)=4,U(1)=(42-2)(mod31)=14(mod31)=14,U(2)=(142-2)(mod31)=194(mod31)=8,U(3)=(82-2)(mod31)=62(mod31)=0由于U(3)= 0,M5必為素?cái)?shù)。,利用因數(shù)表研究素?cái)?shù),拉恩于(1659年)發(fā)表了2.4萬以內(nèi)的因數(shù)表;佩爾(1668年)擴(kuò)大至10萬;費(fèi)爾克爾(1776年)給出了
3、40.8萬以內(nèi)的一切數(shù)的因數(shù)表, 19世紀(jì)不少學(xué)者算出了1000萬以內(nèi)的所有數(shù)的因數(shù)表,其中布拉格大學(xué)的庫利克為此花費(fèi)了20年的業(yè)余時(shí)間,素?cái)?shù)定理,若用π(n)表示不超過n的素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)。當(dāng)n→+時(shí),= +。人們可以發(fā)現(xiàn):順著自然數(shù)的序列,越往后素?cái)?shù)的“密度” π(n)/ n就變得越小,7.1.2 陳氏定理—數(shù)學(xué)皇冠上的明珠,哥德巴赫猜想(1742年) 每個(gè)偶數(shù)都是兩個(gè)素?cái)?shù)之和;每個(gè)奇數(shù)都是三個(gè)素?cái)?shù)之和,哥德巴赫猜想的研究進(jìn)展
4、,數(shù)學(xué)家哈代和李特爾伍德(英國,1923年)在廣義黎曼猜想正確的前提下,有條件地證明了每個(gè)充分大的奇數(shù)都是三個(gè)奇素?cái)?shù)之和以及幾乎所有偶數(shù)都是兩個(gè)奇素?cái)?shù)之和。維諾格拉多夫(1937年),無條件地證明了奇數(shù)哥德巴赫猜想,即每個(gè)充分大的奇數(shù)都是三個(gè)奇素?cái)?shù)之和布朗(挪威1919年)證明了:每個(gè)大偶數(shù)都是兩個(gè)素因子個(gè)數(shù)均不超過9的整數(shù)之和(記為9 + 9,記號(hào)k + l表示大偶數(shù)分解為不超過k個(gè)奇素?cái)?shù)的積與不超過l個(gè)奇素?cái)?shù)的積之和,下同)布
5、赫夕塔布的4 + 4(1940)、瑞尼的l+c (c為一不確定大數(shù))(1948)和庫恩的a+b (a+b≤6)(1954);王元的2+3(1957)和潘承洞的1+5(1962),到1965年,歐洲數(shù)學(xué)家邦別里等三人差不多同時(shí)證明了1 + 3;1966年,中國數(shù)學(xué)家陳景潤宣布證明了1+2(1973年發(fā)表詳細(xì)證明),陳景潤(1933~1996)簡介,圖7.1華羅庚(右)與陳景潤(左),7.1.3費(fèi)馬最后定理,費(fèi)馬猜想:對每個(gè)正整數(shù)n≥3,
6、方程xn + yn = zn均沒有正整數(shù)解(x, y, z)。費(fèi)馬本人利用無限下降法證明了n=4時(shí),費(fèi)馬猜想成立。1825年年僅20歲的德國數(shù)學(xué)家狄利克雷和年過七旬的法國數(shù)學(xué)家勒讓德各自獨(dú)立地證明了n = 5的情形,1839年法國數(shù)學(xué)家拉梅證明了n = 7的情形。,歐拉的整數(shù)分解的”定理”:,由a + b形式的數(shù)所形成的數(shù)系(記為,a,b為任意整數(shù))中,有唯一因子分解定理成立,即每一個(gè)整數(shù)都可唯一地分解為這個(gè)數(shù)系中數(shù)的乘積。后來才
7、知道,對形如的數(shù)系,唯一因子分解定理并不總是成立的,例如在數(shù)系中,6 = 3×2 =(1+)(1-),就有兩種分解方式。事實(shí)上,能保證唯一因子分解定理成立的數(shù)系只有9種,德國的數(shù)學(xué)家?guī)炷瑺枺?810~1893)利用理想數(shù)的概念,證明了對于 100以內(nèi)的所有素?cái)?shù),都能使費(fèi)馬猜想成立。志村-韋伊—谷山猜想——費(fèi)馬猜想的等價(jià)命題懷爾斯的論文“模曲線和費(fèi)馬最后定理” (1994年)——費(fèi)馬猜想終于成為定理,被稱為費(fèi)馬大定理或費(fèi)馬最
8、后定理,7.1.4 讓我們教猜想吧,費(fèi)馬猜想是只“會(huì)下金蛋的鵝”,1966年菲爾茲獎(jiǎng)獲得者、英國數(shù)學(xué)家阿蒂亞(1929~)認(rèn)為:“與其它自然科學(xué)的情況一樣,數(shù)學(xué)中的一些發(fā)現(xiàn)也要經(jīng)過幾個(gè)階段才能實(shí)現(xiàn),而形式證明只是最后一步。最初階段在于鑒別出一些重要的事實(shí),將它們排列成具體含義的模式,并由此提煉出看起來很有道理的定律或公式。接著,人們用新的經(jīng)驗(yàn)事實(shí)來檢驗(yàn)這種公式。只是到了此時(shí),數(shù)學(xué)家們才開始考慮證明問題?!?958年菲爾茲獎(jiǎng)獲得者、突變理
9、論的創(chuàng)立者、法國數(shù)學(xué)家托姆用半開玩笑的態(tài)度說:“嚴(yán)格性是一個(gè)拉丁名詞。我們會(huì)想起僵死(rigormorits),即僵化的尸體。我要把數(shù)學(xué)分為以下的三類:第一,以嬰兒搖籃為標(biāo)記。這是‘活的數(shù)學(xué)’允許改變、澄清、完成證明、反對、反駁。第二,以十字架為標(biāo)記。這是墳?zāi)股系氖旨?。作者聲明它已完全?yán)格,具有不朽的正確性。這類工作將構(gòu)成‘墳?zāi)箶?shù)學(xué)’。第三,以教堂為標(biāo)記。這是外部的權(quán)威,由高級(jí)教士組成,判斷哪些工作已成為‘墳?zāi)箶?shù)學(xué)’。”,推測數(shù)學(xué)家的
10、成功范例之一是印度數(shù)學(xué)家拉馬努金(1887~1920)波利亞認(rèn)為,在數(shù)學(xué)教育中,“證明與猜想,這兩類推理即論證的與合情的”都必須教給學(xué)生,“在有些情況下教猜想比教證明更為重要?!币虼耍ɡ麃啅?qiáng)烈的呼吁:“讓我們教猜想吧!”,7.2 概率論,7.2.1 點(diǎn)的問題及數(shù)學(xué)期望概率論源于15世紀(jì)下半葉的博奕問題的研究。點(diǎn)的問題(1654年),在兩個(gè)技巧相當(dāng)?shù)馁€徒A和B之間進(jìn)行賭博,A獲得2點(diǎn)或2點(diǎn)以上時(shí)為獲勝者,B則需獲得3點(diǎn)或3點(diǎn)
11、以上時(shí)為獲勝者。如果通過四次投骰子后就停止賭博,問此時(shí)如何分配賭金。,帕斯卡的解法,帕斯卡利用自己對楊輝三角(見第二章)的研究這樣解決這個(gè)問題:如果用表示0出現(xiàn)四次的情況數(shù),表示0出現(xiàn)三次的情況數(shù)等等。于是上述點(diǎn)問題的解是: (++):(+)=(1+4+6):(4+1)=11:5。在一般情況下,若A需要至少m點(diǎn)取勝,B需要至少n點(diǎn)取勝,則可選擇揚(yáng)輝三角的第m+n行,求出該行中的前n個(gè)元素和α與后m個(gè)元素和β,并按α:β之比來分配
12、賭金。,費(fèi)馬的解法,分別用0、1代表A、B在一次投骰子時(shí)成為獲勝者,然后計(jì)算0、1兩種字母在每次取4個(gè)的16種排列:0000 0001 0110 11011000 1100 0101 10110100 1010 0011 01110010 1001 1110 1111在這16種排列中,0至少出現(xiàn)2次的情況有11種,而1至少出現(xiàn)3次的情況有5種。由此費(fèi)馬認(rèn)為,賭金應(yīng)按11:5來分配
13、。,數(shù)學(xué)期望”概念的的產(chǎn)生(荷蘭數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家惠更斯,1657年),賭局開始之前,對每一個(gè)賭徒來說就已有了關(guān)于結(jié)局的一種“期望”,如果共有N種等可能的結(jié)果,其中,n種結(jié)果使他獲得賭金為a,其余結(jié)果使他獲賭金為b,則他的期望為,7.2.2 概率理論的發(fā)展,,隨機(jī)現(xiàn)象隨機(jī)現(xiàn)象從個(gè)體上看,似乎并沒有什么規(guī)律可言,但當(dāng)它們大量出現(xiàn)的時(shí)候,在總體上就會(huì)呈現(xiàn)出某種規(guī)律,即大數(shù)規(guī)律。,伯努利大數(shù)定理(1713年):若p是出現(xiàn)單獨(dú)一次事件的概率
14、,q是不出現(xiàn)該事件的概率,則在n次試驗(yàn)中該事件至少出現(xiàn)m次的概率,等于二項(xiàng)式(p+q)n的展開式中從pn項(xiàng)到包括pmqn-m為止的各項(xiàng)之和,棣莫弗—拉普拉斯定理。又稱為“中心極限定理”拉普拉斯(1812)明確表述了概率論的基本定義和定理。給出了概率的古典定義,廣泛應(yīng)用了分析工具處理概率的問題,將以往零散的研究成果系統(tǒng)化,并將概率論的研究方法從組合技巧發(fā)展到分析方法,使概率論研究進(jìn)入了一個(gè)新的發(fā)展階段。,19世紀(jì)下半葉,俄國數(shù)學(xué)家切
15、比雪夫(1821~1894)與他的學(xué)生馬爾可夫(1856~1922)利用極限理論研究概率論,取得了突出的成就。建立了關(guān)于獨(dú)立隨機(jī)變量序列的大數(shù)定律,使貝努利和泊松的大數(shù)定律成為其特例。切比雪夫還將棣莫弗—拉普拉斯極限定理推廣為更一般的中心極限定理?!榜R爾可夫鏈”則是概率論中的重要理論概率論在整個(gè)18與19世紀(jì)成了熱門學(xué)科,,7.2.3 概率論的公理化,貝特朗(法國,1899年)提出的概率論悖論,將矛頭直指概率論基本概念,20 世紀(jì)初
16、,由勒貝格創(chuàng)立的測度論和積分論為概率的研究提供了新的手段 柯爾莫戈洛夫(前蘇聯(lián),1933年)建立概率論的公理化體系,7.3 數(shù)理統(tǒng)計(jì),,數(shù)理統(tǒng)計(jì)是通過樣本數(shù)據(jù)的分析預(yù)測整體狀態(tài)的數(shù)學(xué)理論與方法。該分支研究的數(shù)據(jù)帶有隨機(jī)性,因此,它與概率研究有著密切的聯(lián)系數(shù)理統(tǒng)計(jì)則起源于17至18世紀(jì)地質(zhì)與生物進(jìn)化統(tǒng)計(jì)的研究,在20世紀(jì)形成了用數(shù)學(xué)方法研究統(tǒng)計(jì)規(guī)律的專業(yè)分支,是形成較晚的數(shù)學(xué)分支,英國數(shù)學(xué)家、生物學(xué)家皮爾遜(1857~1936),是使
17、用數(shù)學(xué)方法系統(tǒng)研究生物統(tǒng)計(jì)的第一人。他潛心研究數(shù)據(jù)的分布理論,并先后提出標(biāo)準(zhǔn)差、正態(tài)曲線、概率、相關(guān)等一系列數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)名詞和概念。致力于大樣本的研究,在第一次世界大戰(zhàn)期間,皮爾遜還用統(tǒng)計(jì)方法處理過大量的與戰(zhàn)爭有關(guān)的特殊計(jì)算。,英國數(shù)學(xué)家、化學(xué)家戈塞特(1876~1937),他在釀酒公司擔(dān)任釀造化學(xué)技師期間,開創(chuàng)小樣本統(tǒng)計(jì)理論, 1908年,提出了t分布函數(shù)、t檢驗(yàn),此舉成為統(tǒng)計(jì)推斷理論發(fā)展史上的里程碑。,美國數(shù)學(xué)家弗歇(1890~196
18、2),他是另一個(gè)數(shù)理統(tǒng)計(jì)的奠基人。他從事數(shù)理統(tǒng)計(jì)在農(nóng)業(yè)科學(xué)和遺傳學(xué)中應(yīng)用的研究。開創(chuàng)了試驗(yàn)設(shè)計(jì)、方差分析,并確立了統(tǒng)計(jì)推斷的基本方法。20世紀(jì)30—50年代,弗歇成為數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)研究的中心人物并建立了自己的學(xué)派。他所研究的成果,實(shí)用價(jià)值卻很大。在他的手里,數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)脫離生物計(jì)量學(xué)的范圍獲得獨(dú)立。他所提出的z分布由他的學(xué)生改進(jìn)后被稱為F分布(用他的名字Fisher的第一個(gè)字母命名),現(xiàn)在廣泛使用的方差分析、實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)、參數(shù)估計(jì),1928年原籍
19、波蘭的美國數(shù)學(xué)家奈曼(1894~1981)和K·皮爾遜之子E·皮爾遜建立了嚴(yán)格的假設(shè)檢驗(yàn)理論。1946年瑞典數(shù)學(xué)家克拉梅爾出版了《統(tǒng)計(jì)數(shù)學(xué)方法》,這部書收集了半個(gè)多世紀(jì)以來的數(shù)理統(tǒng)計(jì)研究成果,它標(biāo)志著數(shù)理統(tǒng)計(jì)作為一門獨(dú)立的數(shù)學(xué)分支正式確立。第二次世界大戰(zhàn)中,由于軍事的需要,數(shù)學(xué)家沃爾德(1902~1950)創(chuàng)立了“序貫分析法”,許多數(shù)理分支,如參數(shù)估計(jì),都受到這種理論的影響而得到發(fā)展。1940年代之后,數(shù)理統(tǒng)計(jì)
溫馨提示
- 1. 本站所有資源如無特殊說明,都需要本地電腦安裝OFFICE2007和PDF閱讀器。圖紙軟件為CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.壓縮文件請下載最新的WinRAR軟件解壓。
- 2. 本站的文檔不包含任何第三方提供的附件圖紙等,如果需要附件,請聯(lián)系上傳者。文件的所有權(quán)益歸上傳用戶所有。
- 3. 本站RAR壓縮包中若帶圖紙,網(wǎng)頁內(nèi)容里面會(huì)有圖紙預(yù)覽,若沒有圖紙預(yù)覽就沒有圖紙。
- 4. 未經(jīng)權(quán)益所有人同意不得將文件中的內(nèi)容挪作商業(yè)或盈利用途。
- 5. 眾賞文庫僅提供信息存儲(chǔ)空間,僅對用戶上傳內(nèi)容的表現(xiàn)方式做保護(hù)處理,對用戶上傳分享的文檔內(nèi)容本身不做任何修改或編輯,并不能對任何下載內(nèi)容負(fù)責(zé)。
- 6. 下載文件中如有侵權(quán)或不適當(dāng)內(nèi)容,請與我們聯(lián)系,我們立即糾正。
- 7. 本站不保證下載資源的準(zhǔn)確性、安全性和完整性, 同時(shí)也不承擔(dān)用戶因使用這些下載資源對自己和他人造成任何形式的傷害或損失。
最新文檔
- 一個(gè)新的數(shù)論函數(shù)及其它的均值性質(zhì)
- 試論信息技術(shù)學(xué)科的未來發(fā)展趨勢及與其它學(xué)科的關(guān)系
- 樓梯及其它鋼筋計(jì)算
- 貨物技術(shù)要求及其它
- 貨物技術(shù)要求及其它
- 貨物技術(shù)要求及其它
- 博客10年及其它
- 采購內(nèi)容及其它要求
- 采購內(nèi)容及其它要求
- 學(xué)科創(chuàng)新能力及其發(fā)展策略研究.pdf
- 63599.中學(xué)美術(shù)與其它學(xué)科知識(shí)的交融性研究
- 會(huì)議紀(jì)要及其它表格
- 消費(fèi)文化的建筑美景——麥當(dāng)勞及其它.pdf
- 消聲器技術(shù)要求及其它
- iptv全屏顯示設(shè)置及其它故障
- 鳳凰大講堂-數(shù)學(xué)對其它學(xué)科和高科技的影響
- 母親節(jié)原諒、感恩及其它
- 一個(gè)數(shù)論函數(shù)及其均值
- 淺談管理信息系統(tǒng)及其學(xué)科發(fā)展
- 盤點(diǎn)流程以及其它相關(guān)流程
評(píng)論
0/150
提交評(píng)論