一個新的數(shù)論函數(shù)及其它的均值性質(zhì)

1、西北大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)網(wǎng)絡(luò)版)2004年8月，第2卷，第8期ScienceJournalofNthwestUniversityOnlineOct.2004，Vol.2，No.8________________________收稿日期：20031024基金項目：陜西省自然科學(xué)基金資助項目（2002A11）審稿人：張文鵬，男，西北大學(xué)數(shù)學(xué)系教授，博土生導(dǎo)師一個新的數(shù)論函數(shù)及其均值性質(zhì)張?。ㄎ靼藏斀?jīng)學(xué)院數(shù)學(xué)系，陜西西安710061）摘要：引入

2、了一個新的數(shù)論函數(shù)，并利用解析方法及可乘性質(zhì)研究了這個數(shù)論函數(shù)的均值性質(zhì)，給出了這個數(shù)論函數(shù)的幾個漸近公式。關(guān)鍵詞：數(shù)論函數(shù)；均值；漸近公式中圖分類號：O156.4文獻標(biāo)識碼：A文章編號：1000274X(2004)0085041引言及結(jié)論眾所周知，數(shù)論函數(shù)的均值性質(zhì)在解析數(shù)論研究中占有十分重要的位置，許多著名的數(shù)論難題都與之密切相關(guān)，因而其研究工作具有十分重要的理論意義。本文的主要目的是引入一個新的數(shù)論函數(shù)，)(nR其定義如下1)1(

3、?R對任意素數(shù)及正整數(shù)，定義，當(dāng)正整數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)分解式為時，定義p????)(pRnkkppn???11?。kkkpRpRnR??????11)()()(1??這樣定義的數(shù)論函數(shù)顯然是可乘的，但不是完全可乘函數(shù)，本文的主要目的是研究的均值性質(zhì)，)(nR并利用解析方法證明下面兩個有趣的定理。定理1對任意實數(shù)，有漸進公式1?x????????????????????????pxnxOppxnR?21211)(其中：為任意給定的正實數(shù)；表示對所有

4、素數(shù)求積。??pp定理2對任意實數(shù)，有1?x。??????????????????????xnpxOpppxnR)(11)11ln(16)(1212?π2定理的證明首先證明定理1，對任意復(fù)數(shù)，引入函數(shù))1(Re?ss3＝???????????????????????????????????pspnssspnpppsg11ln112111)(2??＝?????????????????????????????????????????????

5、????pppsssssssppppppp111)11ln(1111111ln1?????????????????pssspppss11)11ln(1)2()(??由于，于是，所以)()1ln(2xOxx????sssppp21111ln????????????????????????????????????????????????ppsssspOppp211111)11ln(1從而當(dāng)時，是絕對收斂的非零常數(shù)，然后由Perron公式以及

6、證明定理1的1?s?????????????????pppp111)11ln(1方法，并注意到，容易得到6π)2(2??。??????????????????????xnpxOpppxnR)(11)11ln(1π6)(1212?于是完成了定理2的證明。參考文獻：[1]APSTOLTM.IntroductiontoAnalyticNumberThey[M].NewYk:SpringerVerlag1976.[2]PANChengdongP

7、ANChengbiao.FoundationofAnalyticNumberThey[M].Beijing:SciencePress1997.(編輯曹大剛)AnewarithmeticalfunctionitsmeanvaluepropertiesZHANGJian(DepartmentofAppliedMathematicsXi’anEconomicCollegeXi’an710061China)Abstract:Anewarithm