人大版微積分第一章函數(shù)

1、歡迎新同學(xué)！,歡迎學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)！,《高等數(shù)學(xué)B》,任課教師：xx,辦公室：xx,Telphone: xx Email: xx,為什么要學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)？ 高等數(shù)學(xué)是高等院校許多專業(yè)學(xué)生必修的重要基礎(chǔ)理論課程。正如馬克思：一種科學(xué)，只有當(dāng)它成功地運(yùn)用數(shù)學(xué)時(shí)，才能達(dá)到真正完善的地步。詳見(jiàn)張恭慶《數(shù)學(xué)與國(guó)家實(shí)力》(上下冊(cè))。另見(jiàn)第七屆世界華人數(shù)學(xué)家大會(huì)（16年）主席丘成桐的對(duì)數(shù)學(xué)無(wú)用論的批判。,拉奧（C.N.R.Rao）：一個(gè)

2、國(guó)家的科學(xué)進(jìn)步可以用它消耗的數(shù)學(xué)來(lái)衡量。,數(shù)學(xué)對(duì)許多工程技術(shù)的重要性就像望遠(yuǎn)鏡之于天文學(xué)，顯微鏡之于生物學(xué)一樣，同時(shí)也是學(xué)好其它理工課程的基礎(chǔ)。（理工科的同學(xué)曾說(shuō)“到后來(lái)大家拼的是數(shù)學(xué)”）另外，后續(xù)課程、考研（150分）…,教材：微積分 -趙樹嫄 編作業(yè)要求：學(xué)號(hào)后兩位為奇數(shù)的為A，偶數(shù)為B。下周上新課之前交作業(yè) （作業(yè)本）答疑時(shí)間和地點(diǎn)：等待通知學(xué)期成績(jī)構(gòu)成：期末成績(jī)+平時(shí)成績(jī)（作業(yè)及考勤） ：70%+30% 課堂秩序

3、問(wèn)題：遲到；曠課；請(qǐng)假,,,,,,,第一章 函數(shù),§1.3 函數(shù)關(guān)系,§1.4 分段函數(shù),§8.6 復(fù)合函數(shù)的微分法,§1.8 初等函數(shù),§1.9 函數(shù)圖形的簡(jiǎn)單組合,,,,,,,,,,,,,,§1.7 反函數(shù),復(fù)合函數(shù),§1.6 函數(shù)的幾種簡(jiǎn)單性質(zhì),,,,§1.5 建立函數(shù)關(guān)系的例題,§1.2 實(shí)數(shù)集,

4、§1.1 集合,§1.1集合,集合的概念集合的表示法全集與空集子集集合的運(yùn)算集合的運(yùn)算律集合的笛卡爾乘積,§1.2 實(shí) 數(shù) 集,區(qū)間與鄰域,(1) 實(shí)數(shù)與數(shù)軸.(2) 區(qū)間有: 開區(qū)間、閉區(qū)間和半開半閉區(qū)間.,區(qū)間也可以按其長(zhǎng)度分為: 有限區(qū)間和無(wú)限區(qū)間.,無(wú)限區(qū)間有,,,1.3. 函數(shù)的定義,定義1.2: 設(shè) 和 分別為兩個(gè)實(shí)數(shù)集合, 為一對(duì)應(yīng)關(guān)系, 如

5、果對(duì)于 中的每一個(gè)元素 按照對(duì)應(yīng)關(guān)系 在集合 中均有唯一的一個(gè)實(shí)數(shù) 與之對(duì)應(yīng),即 則稱變量 為變量 的函數(shù),記作 其中 稱為因變量, 稱為自變量, 稱為對(duì)應(yīng)法則, 稱為該函數(shù)的定義域.,關(guān)于該定義應(yīng)注意 當(dāng)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)法則確定了以后,該函數(shù)便被唯一的確定了,因此稱函數(shù)的定義域和

6、對(duì)應(yīng)法則為確定函數(shù)關(guān)系的兩大要素.,例1 判斷下列各組函數(shù)是否相同,,(2) 相同. 因?yàn)樗鼈兊亩x域均為全體實(shí)數(shù)相同, 且對(duì)應(yīng)法則也相同,,3. 函數(shù)的定義域,,函數(shù)的定義域, 是使函數(shù)有意義的自變量的取值的范圍.,求函數(shù)的定義域時(shí)應(yīng)注意: (1) 考慮自變量與因變量有無(wú)實(shí)際意義; (2) 如果一個(gè)函數(shù)是若干項(xiàng)的代數(shù)和, 則分別求出每一項(xiàng)的取值范圍后, 取其交集即可得定義域; (3) 對(duì)于分

7、段函數(shù)來(lái)說(shuō), 其定義域就是各區(qū)間的并集合.,解 (1) 要使該函數(shù)有意義, 須有,解之得,故該函數(shù)的定義域?yàn)?.,故該函數(shù)的定義域?yàn)?.,(2)要使該函數(shù)有意義, 須有,解之得,例3.確定函數(shù) 的,的定義域 .,五、多值函數(shù),六、隱函數(shù),(2) 圖象法(圖形法). 如函數(shù),的圖

8、象為:,(3) 列表法(表格法).,1.4. 分段函數(shù)一、函數(shù)的表示方法 (1) 解析法(公式法). 如函數(shù),二、分段函數(shù)有些函數(shù)是多個(gè)(兩個(gè) 或兩個(gè)以上)解析式表示一個(gè)函數(shù), 數(shù)學(xué)上稱這種函數(shù)為分段函數(shù).,1.5. 建立函數(shù)關(guān)系的例題,解決應(yīng)用問(wèn)題,首先要建立數(shù)學(xué)模型,也就是建立函數(shù)關(guān)系.在建立過(guò)程中,要確定自變量和因變量,還要考慮函數(shù)的定義域.例子:某工廠生產(chǎn)某型號(hào)車床,年產(chǎn)量為a臺(tái),分批生產(chǎn),每批生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)為b元

9、.該產(chǎn)品均勻投入市場(chǎng),且上一批用完后即生產(chǎn)下一批,即平均庫(kù)存量為批量的一半.設(shè)每年每臺(tái)庫(kù)存費(fèi)為c元.為了選擇最優(yōu)庫(kù)存,試求出一年中庫(kù)存費(fèi)與生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)的和與批量的函數(shù)關(guān)系.,解: 設(shè)批量為x, 庫(kù)存費(fèi)與生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)的和為P(x). 那么我們有:,函數(shù)自變量x的定義域?yàn)?0,a],并且x是正整數(shù).,1.6.函數(shù)的幾種特性,1 奇偶性: 設(shè)函數(shù) 在區(qū)間 上有定義, 如果對(duì)于任意

10、 , 都有 ,則稱該函數(shù)為奇函數(shù) ; 若對(duì)于任意 ,都有,則稱該函數(shù)為偶函數(shù).,例1 判斷下列函數(shù)的奇偶性,解(1) 因?yàn)?所以函數(shù) 是奇函數(shù).,所以,是偶函數(shù).,(2) 因?yàn)?注: 奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱; 偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱.,(4) 因?yàn)?

11、 所以函數(shù) 是偶函數(shù).,2. 單調(diào)性,注: 單調(diào)遞增的函數(shù)其圖象從左到右是上升的,,,,而單調(diào)遞減的函數(shù)其圖象從左到右是下降的.見(jiàn)下圖,,,,,,,y,y,x,x,o,o,,,例如 函數(shù) 在區(qū)間 上單調(diào)遞增,在區(qū)間 上單調(diào)遞減; 而函數(shù)在定義域 上均單

12、調(diào)遞增. 其圖象如下:,單調(diào)遞增,單調(diào)遞減,,單調(diào)性遞增開始演示!,,,,,,,,,,,,,演示,,,,,,,,,,,,單調(diào)性遞減開始演示,3.周期性,注意: (1) 說(shuō)函數(shù)遞增還是遞減時(shí), 應(yīng)明確指出在哪一個(gè)區(qū)間上. 因同一個(gè)函數(shù)在不同的區(qū)間上單調(diào)性可能不同.如函數(shù) (2) 當(dāng)一個(gè)函數(shù)在其定義域 上 均單調(diào)遞增(或遞減)時(shí), 才稱該函數(shù)為單調(diào)函數(shù).如 是單調(diào)函數(shù).,

13、設(shè)函數(shù) 在 上有定義, 如果存在正常數(shù) 使得對(duì)于 中的任意 , 都有 則稱該函數(shù)為周期函數(shù), 且稱最小的 為該函數(shù)的周期.,如函數(shù),,也是周期函數(shù), 其周,是周期函數(shù), 其周,期為,而,期為,,證明：,Eg：,,4.有界性 設(shè)函數(shù) 在 上有定義, 如果存在正數(shù) ,使得對(duì)于任意

14、 ,都有 恒成立. 則稱該函數(shù)在區(qū)間 上有界. 否則, 稱該函數(shù) 在區(qū)間 上無(wú)界.,,如函數(shù) 在區(qū)間 上有界, 因在該區(qū)間上恒有 成立; 在區(qū)間 上無(wú)界.正弦函數(shù) 在其定義域 R有界.,,因?yàn)榭傆?注意: (1)說(shuō)一個(gè)函數(shù)是否

15、有界, 一般要指出區(qū)間.因同一個(gè)函數(shù),在某區(qū)間上可能有界,而在另一個(gè)區(qū)間上可能會(huì)無(wú)界. (2) 若一個(gè)函數(shù)在其定義域上有界時(shí),可以不說(shuō)區(qū)間, 這時(shí)稱函數(shù)是有界函數(shù).,Eg:,例題1.,例題2.,1.7. 反函數(shù)與復(fù)合函數(shù),1.反函數(shù)的定義,注1: 易見(jiàn)反函數(shù) 的定義域B即是原來(lái)函數(shù) 的值域, 而其值域即是原來(lái)函數(shù)的定義域.,注2: 為了合呼我們的習(xí)慣, 常把

16、中的 換為 , 把 換為 , 從而的得 . 由于并不改變其定義域和對(duì)應(yīng)法則, 所以它們是相同的函數(shù).,注3: 函數(shù) 與 互為反函數(shù),2.反函數(shù)的性質(zhì),,(1) 單調(diào)函數(shù)必有反函數(shù), 且其反函數(shù)的單調(diào)性與原來(lái)函數(shù)的單調(diào)性一致.,3.反函數(shù)的求法,反函數(shù)的求法分三步: ①?gòu)?中解出 ;②判斷 中的

17、 與 是否一一對(duì)應(yīng); ③若一個(gè) 對(duì)應(yīng)唯一一個(gè) , 則將其 換為 , 換為 ,即得函數(shù) 的反函數(shù).,注1: 條件 非常重要, 只有滿足了該條件后,兩個(gè)函數(shù)才可復(fù)合, 否則就不是復(fù)合函數(shù).,2.復(fù)合函數(shù),一、基本初等函數(shù),,1.常量函數(shù),2.冪函數(shù),3.指數(shù)函數(shù),4.對(duì)數(shù)函數(shù),5.三角函數(shù),6.反三角函數(shù),1.8 初等函數(shù),1.常函數(shù),,,y

18、,x,o,x,o,,,,,,y,3.指數(shù)函數(shù) 4.對(duì)數(shù)函數(shù),,o,,,,y,x,o,,,,,y,x,基本初等函數(shù)圖象如下,2.冪函數(shù),5.三角函數(shù),,,,,,,,,,,,,,x,,,,,,,,,y,x,6.反三角函數(shù),正弦函數(shù),,,,,反正弦函數(shù),,,,,定義,正弦函數(shù),在,上的反函數(shù)，稱為,反正弦函數(shù)，記為,（1）反正弦函數(shù),（2）反余弦函數(shù),余弦函數(shù),,,,,反余弦函數(shù),,,,定義,余弦函數(shù),在,

19、上的反函數(shù)，稱為,反余弦函數(shù)，記為,（3）反正切函數(shù),,,,,定義,正切函數(shù),在,內(nèi)的反函數(shù)，,稱為反正切函數(shù)，記為,定義域：,值域：,其圖形：,,,,,,（4）反余切函數(shù),2.初等函數(shù) 由基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次四則運(yùn)算,以及復(fù)合以后, 且能夠用一個(gè)式子表達(dá)的函數(shù)統(tǒng)稱為初等函數(shù).,如函數(shù):,,等等均是初等函數(shù).,而,均不是初等函數(shù).,作業(yè)本,作業(yè)( Page32-44),27(5,7,9),2850,57(2,4,6),