任意角的三角函數(shù)及其誘導公式

1、任意角的三角函數(shù)及其誘導公式,b 稱為角 的正弦函數(shù)；記作 b=sin ;,一般用x表示自變量，y表示函數(shù)；所以正弦函數(shù)表示：y＝sin x,相類似余弦函數(shù)是y＝cos x；正弦函數(shù)是y＝tan x,思考問題,1、用任意角的正弦值的定義判斷下列各對角的 正弦值的關系.,2、與角 x 終邊相同的角怎么表示？ 它們的正弦值有什么關系？,練習：600與4200，(-π/4)與(-9π/4)的三角函數(shù)

2、值相等嗎？為什么？,,,x,y,,,4200,600,,P(a,b),,,x,y,,,,-π/4,-9π/4,P(a,b),Sin(2kπ+α)= Sinα,小結：正弦函數(shù)是周期函數(shù)，周期是 其中最小正周期為,余弦函數(shù)是周期函數(shù)，周期是 其中最小正周期為,特殊角的三角函數(shù)值,你記住了嗎？,,,,,,2）同終邊角的同名三角函數(shù)值相等.,Sin(2kπ+α)= Sinαcos(2kπ+α)= cosαtan(2kπ+

3、α)= tanα,2kπ是三角函數(shù)的周期,誘導公式1,練習：確定下列函數(shù)值的符號 1）sin1900的符號是——？ 2）cos(-3920)的符號是——？ 3)tan(-16500)的符號是——？ 3)sin(-21π/5）的符號是——？,二、三角函數(shù)的誘導公式,1、若α是一個正銳角，怎樣用α表示第一、二、三、四象限角,并研究其終邊位置關系.,2、角2kπ+α π-α π+α 2π-α或-α與角α的正弦函數(shù)值的關

4、系,Sin(2kπ+α)__?____sin αSin(-α)___?__sin αSin(2π-α)_?____sin αSin(π-α)__?____sin αSin(π+α)__?____sin α,方法一、利用單位圓研究,,,,,α,,-α,,π-α,π+α,,,,,關于x軸對稱的角的正弦線互為相反數(shù),Sin(2kπ+α)=sin α Sin(-α)=- sin α Sin(2π-α)=-sin α Sin(π-α

5、)=sin α Sin(π+α)=sin α,函數(shù)名不變，符號看象限,關于y軸對稱的角的正弦線 相等,正弦誘導公式,cos(2kπ+α)=cosα cos(-α)=cos α cos(2π-α)=cos α cos(π-α)= - cosα cos(π+α)= - cosα,余弦函數(shù)的誘導公式,函數(shù)名不變，符號看象限

6、,2、研究角π/2+α與角α的正、余弦函數(shù)值的關系,在單位圓中，畫出角α和角 π/2+α的終邊，由終邊的位置關系可得,,,,α,,π/2+α,P1,,O,M,,,,,P2,N,Rt△OP1M≌Rt△P2ON∴ NP2=OM， ON=-MP1,Sinα=MP1,cosα=OM,Sin(π/2+α)=NP2;cos(π/2+α)=ON,Sin(π/2+α)=cosαcos(π/2+α)= -Sinα,函數(shù)名稱變，符號看象限,,思考：公

7、式 Sin(π/2-α)=cosα cos(π/2-α)= Sinα的證明方法,所有的誘導公式中的角α的取值范圍是使公式有意義的任意角，記憶公式時可將α看成銳角，從而確定符號.,,,,α,,π/2-α,P1,,O,M,,,,,P2,N,,-α,正弦、余弦誘導公式,,Sin(2kπ+α)=sin α cos(2kπ+α)=cosα Sin(-α)=- sin α cos(-α)=cos α S

8、in(2π-α)=-sin αcos(2π-α)=cos αSin(π-α)=sin α cos(π-α)= - cosαSin(π+α)=sin αcos(π+α)= - cosα,=>,tan(2kπ+α)=tan α,=>,tan(-α)= - tan α,=>,tan(2π-α)= - tan α,=>,tan(π-α)= - tan α,=>,t

9、an(π+α)= tan α,=>正切誘導公式,Sin(π/2+α)=cosαcos(π/2+α)= -Sinα,Sin(π/2-α)=cosαcos(π/2-α)= Sinα,=>,=>,tan(π/2+α)= -cotα,tan(π/2-α)=cotα,常用的正弦、余弦、正切誘導公式,1、同終邊誘導公式Sin(2kπ+α)=sin αcos(2kπ+α)=cosαtan(2kπ+α)=tan α,2、負

10、角誘導公式Sin(-α)=- sin α cos(-α)=cos αtan(-α)= - tan α,3、四象限誘導公式Sin(2π-α)=-sin αcos(2π-α)=cos αtan(2π-α)= - tan α,4、二象限誘導公式Sin(π-α)=sin α cos(π-α)= - cosαtan(π-α)= - tan α,5、三象限誘導公式Sin(π+α)=sin

11、 αcos(π+α)= - cosαtan(π+α)= tan α,視α為銳角，函數(shù)名不變，符號看象限,7、鈍角互余誘導公式Sin(π/2+α)=cosαcos(π/2+α)= -Sinαtan(π/2+α)= -cotα,6、銳角互余誘導公式Sin(π/2-α)=cosαcos(π/2-α)= Sinαtan(π/2-α)=cotα,視α為銳角，函數(shù)名稱變互余，符號看象限,1、熟記誘導公式的規(guī)律；2、注意符號,例：

12、求值 1）sin(-16500) 2) sin(-150015/) 3) sin(-7π/4）,方法步驟：負角化為正角，正角化為銳角.,例：化簡,課外練習,； http://m.daojun.org/ 道君小說 stz08qus 是在‘割虎皮被子’啊，盡是說一些沒有可能的事情！你們耿伯伯要是知道自己的老家在哪里，還會把你們兄妹三個認成了他自己的娃兒

13、們，還會一直住在咱們家嗎？”聽爹這么一說，尚武反而顯得萬分不舍了，有些難過地說：“我可不想讓耿伯伯走，我要他永遠住在咱們家里！”李妻卻幽憂地說：“唉，也不知道他除了已經(jīng)沒了的三個娃兒之外，家里可還有些什么人。倘若家里還有妻子兒女，這天各一方不得團圓，可憐了??！”李長善重重地嘆了一口氣，說：“唉，這是沒有法子的事情??！看來，這個耿大哥也只能認命了！”李妻探頭望望依然還在院子南面認真做拐杖的耿老爹，說：“你們看，他盡管忘記了那么多既往的事情

14、，但眼下在咱們家里過得還滿安逸呢！我只是當心，他哪一天忽然提出來要帶‘他的三個娃兒’再出去創(chuàng)業(yè)可怎么辦啊？”李長善卻說：“這倒好辦，就說‘他們父子四人’在咱們家白住了這么多年，他們不能一走了之不就得了！”尚文也說：“爹說得對！我相信，只要爹和娘這么說了，耿伯伯他自然就不會再堅持帶我們走的。他是一個很知道感恩的人呢！”尚武心疼地輕輕說：“唉，我那可憐的‘爹’??！”李長善看看該吩咐的都吩咐完了，就對三個娃兒說：“你們都去打個盹兒吧，起晌了還

15、得下地干活兒呢！唉，我這腰腿啊，什么時候才能好呢！”又憐愛地摸摸小兒子的頭，說：“武兒，你去告訴“爹”一聲，叫他也去歇息一會兒。拐杖不著急，以后慢慢做吧！”71第七十一回 辛苦經(jīng)營喜成功|（兄妹三人忙不轉(zhuǎn)，雇傭鄰人做幫工；沒日沒夜苦經(jīng)營，“南北小飯莊”利潤豐。）隨著來“南北小飯莊”吃飯買飯的人越來越多，盡管凈收入也在翻著倍兒增長，但耿正兄妹三人卻實在是有些忙不過來了。他們已經(jīng)把所有的閑暇時間幾乎全都用在了包餃子上，并且每日里都是起早睡晚

16、的，但濃香四溢的大水餃還是每每供不應求。此外，推貓耳朵也成了一個很大的負擔。于是，兄妹三人商議，必須得聘請幾個會干活兒，也能夠幫得上忙的人了。聘請誰呢？兄妹三人有點兒犯難了。那日中午送走最后一名來吃飯的客人后，兄妹三人開始自己拾掇著吃午飯了。當他們有些疲憊地各自端起飯碗時，耿正又提起雇傭幫工的事情來。耿直對姐姐說：“姐，咱哥說得對，必須得雇幾個人了。再這么下去，咱們就是累死了，也沒有用?。　惫⒄f：“不光是累死了也沒有用！更重要的是，如