流體力學第6章7-11節(jié)

1、第七節(jié) 理想流體的旋渦運動,如流體微團的旋轉角速度ω≠0，則是有旋運動，也稱為旋渦運動。 理想流體的流動可以是有勢的，也可以是有旋的。但粘性流體的流動一般是有旋的。 第七-十節(jié)講述理想不可壓縮流體的旋渦運動，涉及的基本概念及定理有：渦線、渦管和渦束；渦通量和速度環(huán)量；斯托克斯定理；湯姆遜定理；亥姆霍茲定理；畢奧-沙伐爾公式；卡門渦街。,一、渦線、渦管和渦束 1. 渦 線定義：渦線是旋渦場中一條曲線，曲線上各點處的旋轉角速度

2、矢量都與這一曲線相切。渦線的微分方程：,,,,2. 渦 管定義：在旋渦場中取一非渦線的閉曲線，通過這一閉曲線上每點作渦線，這些渦線形成了一封閉管狀曲面，稱為渦管。與渦管垂直的斷面稱為渦管斷面。微小斷面的渦管稱為微元渦管。,3. 渦 束,渦管內充滿著作旋轉運動的流體稱為渦束，微元渦管里的渦束稱為微元渦束。,表征速度場和旋渦場的常用概念,渦通量J (旋渦強度)微元渦管內的渦通量:,二、渦通量和速度環(huán)量,如果把旋轉角速度比擬

3、成速度，通過曲面的渦通量與通過一曲面的流量相類似。,,非渦管斷面,通過任一有限曲面的渦通量為：,2. 速度環(huán)量Γ 定義：某一瞬時在流場中取任意封閉曲線，在曲線上取一微元線段 ，速度 在 的切線上的分量沿閉曲線的線積分，即為沿該閉曲線的速度環(huán)量。,一、斯托克斯定理,第八節(jié) 理想流體旋渦運動 的基本定理,斯托克斯（Stokes）定理: 沿封閉曲線的速度環(huán)量等于該封閉曲線內所有渦通量的和。,該定理將速度場和旋渦場之

4、間聯系起來。,,,,,,證明：,先證明微元封閉曲線的斯托克斯定理。,證明了微元封閉曲線的斯托克斯定理，即沿微元封閉曲線的速度環(huán)量等于通過該曲線所包圍的面積的渦通量。,再證明此定理適用于有限大封閉曲線所包圍的單連通域。,,可將斯托克斯定理推廣至空間單連通區(qū)域。,對于復連通區(qū)域，需要做一些變換。,因為,得到,由斯托克斯定理，有,復連通區(qū)域的斯托克斯定理可以描述為：通過復連通域的渦通量等于沿這個區(qū)域的外周線的速度環(huán)量與所有內周線的速度環(huán)量總和

5、之差。,例 試證明均勻流的速度環(huán)量等于零。,證明：,流體以等速度v∞水平方向流動，首先求沿矩形封閉曲線的速度環(huán)量,其次求圓周線的速度環(huán)量,同樣可以證明均勻流沿任何其它形狀的封閉曲線的速度環(huán)量等于零。,二、湯姆遜定理和亥姆霍茲定理,流體線：在流場中任意指定的一段線，該線段在運動過程中始終是由同樣的流體質點所組成。,研究旋渦的隨體變化規(guī)律的途徑,,,直接研究渦通量的隨體變化規(guī)律,先直接研究速度環(huán)量的隨體變化規(guī)律，然后由斯托克斯定理求出

6、渦通量的隨體變化規(guī)律,,stokes,√,1、湯姆遜（Thomson）定理,正壓的理想流體在有勢質量力的作用下沿任何封閉流體線的速度環(huán)量不隨時間變化， 即 。,證明：,流線體,Ⅰ,Ⅱ,Ⅰ式積分為：,理想流體的運動微分方程為：,Ⅱ式積分：,,質量力有勢,因此,正壓流體，定義壓力函數,有,因為v、W、P均是時間空間坐標的單值連續(xù)函數,速度環(huán)量是常數，就證明了湯姆遜定理。,湯姆遜定理得出結論：對于理想的正壓

7、流體，在有勢質量力作用下，旋渦不生不滅。,湯姆遜定理的應用——平面翼型起動渦的問題。,1） 亥姆霍茲第一定理 在同一時刻，通過渦管任意斷面的渦通量相同。,,,,2、亥姆霍茲（Helmholtz）定理,包括了三個基本定理，說明了旋渦的基本性質。,證明：,,在渦管表面形成一空間封閉曲線ABB’A’A,因為,所以,說明沿包圍渦管任一斷面封閉曲線的速度環(huán)量等于零。再由斯托克斯定理，這些速度環(huán)量都等于穿過這些封閉曲線所包圍的斷面的渦通量，因

8、此，渦管各斷面上的渦通量都相同，即,亥姆霍茲第一定理說明渦管在流體中既不能開始，也不能終止。,,渦管在流體中存在的形式：,a. 首尾相連，形成封閉的渦環(huán)或渦圈；,b. 兩端可以終止于邊壁上（固體壁面或自由面）,2）亥姆霍茲第二定理 正壓的理想流體在有勢質量力作用下，組成渦管的流體質點將始終組成渦管（渦管永遠保持為由相同流體質點所組成）。,,沿這一閉曲線為邊界的曲面的渦通量也將為0，表明這一曲面仍然是渦管表面的一部分，即構成渦管表面

9、的流體質點始終構成渦管表面。,證明：,在圖中的渦管表面取一閉曲線K，沿曲線K的速度環(huán)量為0。,由湯姆遜定理，相同流體質點構成的封閉曲線的環(huán)量不變化，仍然是0。,3）亥姆霍茲第三定理：,正壓的理想流體在有勢質量力作用下，渦管強度不隨時間而變化。,,證明：,作任意封閉曲線L包圍渦管，根據斯托克斯定理，沿曲線L的速度環(huán)量等于通過該曲線所圍面積的渦通量。,根據湯姆遜定理，速度環(huán)量不隨時間變化，因此，渦管的旋渦強度不隨時間變化。,結論：,湯姆遜

10、定理和亥姆霍茲三個定理完整地描述了旋渦運動規(guī)律：正壓理想流體在有勢質量力作用下，組成渦線和渦管的流體始終組成渦線和渦管，在運動過程中，渦管強度保持不變。,應注意：上述運動規(guī)律的適應性以及實際流體的運動情況。,第九節(jié) 旋渦的誘導速度,背景：旋渦集中于一條曲線附近的區(qū)域，該區(qū)域以外流場是無旋的，可認為旋渦集中分布在斷面積為A的渦管內，渦管外形成誘導速度場。,計算誘導速度借用電磁場的比奧-沙伐爾公式：,,,磁場強度,電流強度,強度為Γ的任意形

11、狀渦束對于任意點P的誘導速度為：,速度方向由右手法則確定。,長度為l的任意形狀渦束對于任意點P的誘導速度為：,,點P到dl的距離,一、直線渦束的誘導速度,直線渦束AB在P點產生的誘導速度為：,半無限長渦束：,無限長渦束：,二、平面渦層的誘導速度,在無限流場中布置一渦列，這一渦列由多個無限長渦束無間隔地直線排列而成，稱為渦層。,設單位長度的旋渦密度為γ(x’)，則dx’上的渦通量為：,微段dx’上的渦通量dΓ對P點的誘導速度為：,在整個

12、渦層AB上積分可得點P的誘導速度為：,若γ(x’)為定值，且渦層沿x軸伸展到±∞，則P的誘導速度為：,實際流體繞流一靜止圓柱時，流體在圓柱體表面分離后，將形成旋轉方向相反的排列規(guī)則的兩列旋渦流向下游，形成卡門渦街。,第十節(jié) 卡門渦街,,,,,,駐點,,分離點,,第十一節(jié) 空間勢流,一、空間勢流的勢函數,二、軸對稱流動的流函數,四、圓球繞流,五、軸對稱體繞流,三、幾個基本軸對稱流動的流函數,一、空間勢流的勢函數,勢函數Φ與速度之

13、間的關系式為：,將上述等式代入不可壓縮流體的連續(xù)性方程：,得到勢函數的拉普拉斯方程：,邊界條件：物面上無窮遠處,1、空間均勻流,建立直角坐標系(x, y, z)，設無窮遠來流速度v∞與z軸平行，則速度分量為：,勢函數為：,如換成柱坐標系（r, θ, z）和球坐標系(R,θ,β) ，則,x=rcosφ 　 y=rsinφ z=z,柱坐標系(r,θ,z)與直角坐標系(x,y,z)的轉換關系：,球坐標系(R,θ,β)與

14、直角坐標系(x,y,z)的轉換關系：　 　x=Rsinθcosβ y=Rsinθsinβ z=Rcosθ,2、空間點源（點匯）,建立球坐標系(R,θ,β) ，在坐標原點處放置一個空間點源（點匯），流量為q，則速度分量為：,由于球坐標系下勢函數Φ的梯度公式為：,,,,對應方向的單位矢量,得到,因此,,3、空間偶極子,依據勢流疊加原理，P點處的勢函數為,滿足下面關系式才能構成偶極子流，即,M為常數，稱為偶極子的強度或偶極

15、矩,偶極子的勢函數為：,二、軸對稱流動的流函數,軸對稱流動：指流體在過某空間固定軸的所有平面上的運動情況完全相同的流動。因此，只需要研究其中一個平面上的流動就可以知道整個空間內流體的運動情況。常見的軸對稱流動有：圓管流動、沿軸向流經回轉體的流動、水輪機葉輪內的流動。,1、柱坐標系(r, θ, z)的流函數Ψ (r, z),柱坐標系中，不可壓縮流體軸對稱流動的連續(xù)性方程為：,定義流函數Ψ (r, z)，滿足,,2、球坐標系(R,θ,β

16、)的流函數Ψ (R,θ),球坐標系中，不可壓縮流體軸對稱流動的連續(xù)性方程為：,定義流函數Ψ (r, z)，滿足,,3、流函數的性質,1）等流函數線就是流線；,2）在通過包含對稱軸線的流動平面上，任意兩點的流函數值之差的2π倍，等于通過這兩點間的任意連線的回轉面的流量。,證明：,通過回轉面的流量為,因為,所以,三、幾個基本軸對稱流動的流函數,1、均勻流,有一速度為v∞的空間均勻流，取z軸為流動方向，在球坐標系(R,θ,β)中為一軸對稱流動

17、，流動參數與β無關。,式對R積分，得到,將上式對θ求導，得到,與②式比較，得到 ，即,①,②,①,令 ，最終空間均勻流的勢函數為,2、空間點源（點匯）,設在坐標原點有一點源，強度為q?？臻g點P (R,θ,β)的速度矢量為,積分得到,3、空間偶極子,空間偶極子的勢函數為,積分得到,四、圓球繞流,奇點法：將簡單勢流如均勻流、點源（匯）、偶極子等進行疊加，對較復雜的勢流問題進行求解的方法。,零流線方程為：,,球面

18、方程,球面的半徑,偶極子的強度,因此，流函數為,勢函數為,流場中速度分布為,球面上（R=a）的速度分布為,當θ=0，π時，vR=0, vθ=0，即A、B兩點為駐點。,圓球繞流的表面速度的最大值,圓柱繞流的表面速度的最大值,球面壓強分布，由伯努利方程求出,壓強系數,壓強對稱分布，因此球面所受的合力為零。,五、軸對稱體（回轉體）繞流,依然采用奇點法分析，需要尋找適當的基本勢流，使之與均勻流疊加后的勢函數和流函數能滿足物面和無窮遠處的邊界條件

19、。,建立柱坐標系(r,θ,z)，流動參數與無關。在對稱軸的OA段上連續(xù)布置源（匯），設單位長度上的源（匯）強度為q(ζ)，則微元段dζ的強度為,,q>0，表示源q<0，表示匯,微元段dζ的源（匯）在P點處的勢函數和流函數分別為,整個OA段的源（匯）在P點處的勢函數和流函數分別為,均勻流在P點處的勢函數和流函數分別為,勢流疊加后的流場的勢函數和流函數分別為,現需要確定q(ζ)使得上述函數滿足物面和無窮遠處的兩個邊界條件。其