工程數(shù)學(xué)第一章

1、1,工程數(shù)學(xué),2,教 材,高等數(shù)學(xué)（物理類專業(yè)用）（第二版）（第三冊(cè)），四川大學(xué)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)教研室，高等教育出版社。,3,成績比例,平時(shí)成績：10%； 期中考試：20%； 期末考試：70%。,4,第一篇 線性代數(shù),第一章 行列式 （√ ）第二章 矩陣代數(shù) （ √ ）第三章 線性方程組 （ √ ）第五章 線性變換 （ ? ）

2、第七章 n元實(shí)二次型 （ ?? ）,5,第三篇 概率論,第十四章 基本概念 （√ ）第十五章 隨機(jī)變量及分布函數(shù) （ √）第十六章 多維隨機(jī)向量及其分布 （ ? ）第十七章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征 （√）第十八章 極限定理 （ ? ）,6,第一

3、篇 線性代數(shù),第一章 行列式 √第二章 矩陣代數(shù)第三章 線性方程組第五章 線性變換第七章 n元實(shí)二次型,7,第一章 行列式,行列式是研究線性代數(shù)的一個(gè)重要工具，同時(shí)它在數(shù)學(xué)的其他分支及物理、力學(xué)等許多科學(xué)領(lǐng)域中也有廣泛的應(yīng)用。,主要介紹行列式的定義、性質(zhì)及其計(jì)算方法,8,§1.1 n階行列式§1.2 行列式的主要性質(zhì)§1.3 行列式按行（列）展開

4、,9,§1.1.1 二、三階行列式的定義 　　 引入符號(hào) 稱為二階行列式，也記為 ；其中數(shù)

5、 稱為行列式 的第 行、第 列的元素．,§1.1 n階行列式的定義,對(duì)角線法則,行標(biāo),列標(biāo),二階行列式的本質(zhì)是數(shù),10,三階行列式,,,,,三階行列式的本質(zhì)還是---數(shù),11,三階行列式的特點(diǎn)：,（1）三階行列式是3！個(gè)項(xiàng)的代數(shù)和；,（2）它的每項(xiàng)是行列式中三個(gè)元素的乘積，這三個(gè)元恰好是每行每列各一個(gè)；,如何確定每項(xiàng)的符號(hào)？,（3）每項(xiàng)都帶有確定的符號(hào)。把每項(xiàng)的三個(gè)因子按行標(biāo)順序排列

6、 ，六個(gè)項(xiàng)的列標(biāo)排列：123;231; 312和321;213; 132 —1,2,3構(gòu)成的一切排列(3!個(gè)),12,,,,,,,,,如何確定每項(xiàng)的符號(hào)？,符號(hào)由列標(biāo)的反序數(shù)決定：,13,定義1：反序,對(duì)n個(gè)不同的自然數(shù) 進(jìn)行排列，共有n!種排列，其中升序排列(由小到大)稱為標(biāo)準(zhǔn)排列；,對(duì)于非標(biāo)準(zhǔn)排列，若某個(gè)數(shù)字 j 的右邊有 r 個(gè)比它小的數(shù)字，則稱該數(shù)字在此排列中有 r 個(gè)

7、反序，可記為t( j )=r。,例1) 對(duì)于排列: 31245, t(3)=2; t(1)=0; t(4)=0例2) 標(biāo)準(zhǔn)排列中，某個(gè)數(shù)字的反序=？,一個(gè)排列中所有數(shù)字的反序之和稱為該排列的反序數(shù)，記為：,=t(j1)+t(j2)+…+t(jn),14,排列j1j2…jn的反序數(shù)τ(j1j2…jn)=t(j1)+t(j2)+…+t(jn),τ(31254)=,τ(315)=1+0+0=1;,τ(n(n-1)…21)=,標(biāo)準(zhǔn)排列的反序

8、數(shù)等于?,2+0+0+1+0=3;,(n-1)+(n-2)+…+1+0=n(n-1)/2,12345； 13678；,15,定義2 反序數(shù)等于奇數(shù)的排列稱為奇排列, 反序數(shù)等于偶數(shù)的排列稱為偶排列。標(biāo)準(zhǔn)排列是偶排列,確定一個(gè)排序的奇偶性的方法：,1、直接計(jì)算反序數(shù)；,2、經(jīng)過互換方法確定——把一個(gè)排序中某兩個(gè)不同數(shù)字的位置互換, 其余的數(shù)字不動(dòng), 就得到另一個(gè)排列, 稱為一次互換。,16,引理：排序經(jīng)一次互換改變其奇偶性(?

9、)。,證明: (1)相鄰情形 反序數(shù)增加或減少1，都改變奇偶性;,(2)一般情形 可經(jīng)過相鄰兩數(shù)對(duì)換2s-1次獲得，故改變奇偶性。（s為兩數(shù)距離）,例： abcde→ebcda?,1、把a(bǔ)經(jīng)過相鄰互換到最后bcdea；4次,2、在bcdea基礎(chǔ)上把e經(jīng)過相鄰互換到最前ebcda；3次,17,定理：n(n≥2)個(gè)不同自然數(shù)的任一排序必可經(jīng)若干次互換變成標(biāo)準(zhǔn)排列，并且互換次數(shù)的奇偶性與該排列的奇偶性一致。即奇排

10、列必須經(jīng)奇數(shù)次互換才能變成標(biāo)準(zhǔn)排列；偶排列必須經(jīng)偶數(shù)次互換才能變成標(biāo)準(zhǔn)排列；,32154(1,3)→12354(5,4)→12345.(互換次數(shù)不唯一),結(jié)論：n個(gè)不同自然數(shù)的一切排列中奇排列、偶排列各占一半。,18,帶正號(hào)的三項(xiàng),其列標(biāo)排列的反序數(shù):τ(123)=0,τ(231)=2,τ(312)=2,,行列式展開式的構(gòu)成規(guī)律：三階行列式是所有不同行不同列的三個(gè)元的乘積(項(xiàng))的代數(shù)和。若把每項(xiàng)寫成式(2)的形狀---按行標(biāo)順序排列，

11、則當(dāng)列標(biāo)j1j2j3為偶排列時(shí)該項(xiàng)帶正號(hào)，為奇排列時(shí)帶負(fù)號(hào)，即符號(hào)可記為,帶負(fù)號(hào)的三項(xiàng),其列標(biāo)排列的反序數(shù):τ(321)=3,τ(213)=1,τ(132)=1,19,三階行列式的展開式(2)改寫成：,20,§ 1.1.2 n階行列式的定義,定義1 由n2個(gè)數(shù)排成一個(gè)n行n列的表，并在兩邊畫一條豎線的記號(hào)(aij表示位于第i行、第j列處的數(shù)，稱為n階行列式的元)所表示的數(shù)稱為n階行列式。,,21,n階行列式是所有這種項(xiàng)(

12、n!項(xiàng))的代數(shù)和：每項(xiàng)都是n階行列式中n個(gè)元的乘積，這n個(gè)元恰為每行每列各取一個(gè)元；當(dāng)每項(xiàng)中的n個(gè)元按行的自然數(shù)順序排列成所帶的符號(hào)由列標(biāo)排列的奇偶性確定：,這里 表示對(duì)所有1、2、… 、 n的n級(jí)排列求和．用符號(hào)det(aij)或者|A|，|B|等表示n階行列式。,22,階行列式可表示為,,23,一些特殊n階行列式的計(jì)算,對(duì)于n階行列式按照對(duì)角線法則需要對(duì)n！項(xiàng)的求代數(shù)和。,24,25,類似于上三角行列式，可

13、以得到下三角行列式的值：,,,26,計(jì)算n階行列式,,,27,28,,,29,行列式的元的行標(biāo)與列標(biāo)不一定用前n個(gè)自然數(shù)表示：,30,把n階行列式的計(jì)算化為n-1階行列式的計(jì)算,31,,,32,33,34,§1.2 行列式的主要性質(zhì),按照定義，n階行列式是n！項(xiàng)的代數(shù)和(每項(xiàng)是每行每列各一個(gè)元的乘積)，而在n較大時(shí)n！就變成一個(gè)很龐大的數(shù)據(jù)。從定義出發(fā)計(jì)算上、下三角等一些特殊的行列式有公式，而對(duì)一般行列式的計(jì)算則可以借助于

14、行列式的一些性質(zhì)，以簡化行列式的計(jì)算。,35,性質(zhì)1.行列式的行與列順序互換，其值不變,,,,,,,,,,轉(zhuǎn)置：行列互換,36,證：用定義證明，設(shè),注：性質(zhì)表明，行列式的行與列有相同地位。,則,從而,37,,性質(zhì)2.兩行（列）互換值變號(hào)。,,,,,,,= -,38,證：用定義證明,|A|=-|B|,,39,性質(zhì)3.某行（列）的公因子可外提.,,,40,41,性質(zhì)4.拆分性質(zhì)：若某行(列)的元素為兩數(shù)之和,則可拆成兩個(gè)行列式之和。,,,,

15、42,43,推論,44,性質(zhì)5. (i)某行（列）為零； (ii)兩行（列）完全相同； (iii)兩行（列）成比例； 上述條件之一成立，則行列式的值為零,證明：(ii)互換相同的兩行：A→B，,則有 A=-B,又 A=B,故 A=-A， A=0,45,性質(zhì)6.乘加法則：某行(列)的k倍加到另一行(列)的對(duì)應(yīng)元上，則行列式的值不變。,,,,,,,,46,=0,47,利用行列式的性

16、質(zhì)可以簡化行列式的計(jì)算：,利用性質(zhì)2和性質(zhì)6可將n階行列式化成上三角行列式，而它與原來的行列式至多差一個(gè)負(fù)號(hào)。,48,49,50,51,52,53,解法二,54,,,55,,,．,56,為敘述方便，引進(jìn)以下記號(hào)：（1）交換行列式的 兩行（列），記為 ；（2）第 行（列）乘以 ，記作 ， 第 行（列）提出公因子

17、 ，記作 ；（3）將行列式的第 行（列）乘 加到第 行（列）上，記為 ．,57,例1 計(jì)算解,,,．,,58,例2 計(jì)算解,,,,59,例3　計(jì)算 解　從第1列開始，前列減后列：,,,,,,60,,,,,,,,,,然后再在前3列中，前列減后列．,61,例4　計(jì)算 階行列式,解　從第1行開始前行乘-1

18、加到后行上，得,62,．,,,其中記號(hào)“∏”表示全體同類因子的乘積．,63,,,64,§1.3 行列式按行(列)展開,介紹把高階行列式轉(zhuǎn)化成低階行列式的計(jì)算方法：按一行或列展開行列式，將n階轉(zhuǎn)化成n-1階…,65,1.3.1按一行(列)展開行列式,M11恰好是|A|中元a11所在的行列劃去之后所得的n-1階行列式；,M11稱為元a11在行列式|A|中的余子式。,66,Mij是把行列式中元aij所在的行列劃去之后所得的n-1

19、階行列式；Mij稱為元aij在的余子式,Aij=(-1)i+jMij 稱為元素aij的代數(shù)余子式.,67,68,69,70,71,1.3.2 拉普拉斯定理,定義：在n階行列式中，任意指定r個(gè)行與r個(gè)列(1≤r≤n)。位于行列式交點(diǎn)處的r2個(gè)元構(gòu)成的r階行列式M稱為原行列式的一個(gè)r階子式。在n階行列式中，劃去某個(gè)r階子式M所在的行與列后，剩下的n-r個(gè)行與n-r個(gè)列上的元也構(gòu)成一個(gè)n-r階子式N。M與N互為余子式——aij與Mij互為

20、余子式設(shè)r階子式M是由行列式中第i1,i2,…,ir行和第j1,j2,…,jr列交叉處的元構(gòu)成的，且N是M的余子式；,72,73,74,75,76,77,78,79,80,九類可直接求出的行列式,,,,,1.,2.,3.,4.,81,,,,5.,,,,6.,82,,,,7.,,,,8.,83,9.,n階范德蒙德行列式,84,兩種計(jì)算行列式的方法,計(jì)算行列式可歸結(jié)為兩個(gè)字：,化簡,化簡為前面九類基本行列式,降階,最常用最基本的就是把行