曲線積分1

1、10.1對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分一、一、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的概念與性質(zhì)對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的概念與性質(zhì)曲線形構(gòu)件的質(zhì)量?設(shè)一曲線形構(gòu)件所占的位置在xOy面內(nèi)的一段曲線弧L上?已知曲線形構(gòu)件在點(diǎn)(x?y)處的線密度為?(x?y)?求曲線形構(gòu)件的質(zhì)量?把曲線分成n小段??s1??s2??????sn(?si也表示弧長(zhǎng))?任取(?i??i)??si?得第i小段質(zhì)量的近似值?(?i??i)?si?整個(gè)物質(zhì)曲線的質(zhì)量近似為?iiinisM???

2、?)(1???令??max?s1??s2??????sn?0?則整個(gè)物質(zhì)曲線的質(zhì)量為?iiinisM?????)(lim10????這種和的極限在研究其它問題時(shí)也會(huì)遇到?定義設(shè)L為xOy面內(nèi)的一條光滑曲線弧?函數(shù)f(x?y)在L上有界?在L上任意插入一點(diǎn)列M1?M2?????Mn?1把L分在n個(gè)小段.設(shè)第i個(gè)小段的長(zhǎng)度為?si?又(?i??i)為第i個(gè)小段上任意取定的一點(diǎn)?作乘積f(?i??i)?si?(i?1?2?????n)?并作和

3、?如果當(dāng)各小弧iiinisf???)(1??段的長(zhǎng)度的最大值??0?這和的極限總存在?則稱此極限為函數(shù)f(x?y)在曲線弧L上對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分或第一類曲線積分?記作?即?dsyxfL)(?iiiniLsfdsyxf??????)(lim)(10???其中f(x?y)叫做被積函數(shù)?L叫做積分弧段?設(shè)函數(shù)f(x?y)定義在可求長(zhǎng)度的曲線L上?并且有界?將L任意分成n個(gè)弧段??s1??s2??????sn?并用?si表示第i段的弧長(zhǎng)?在每一弧

4、段?si上任取一點(diǎn)(?i??i)?作和?iiinisf???)(1??令??max?s1??s2??????sn?如果當(dāng)??0時(shí)?這和的極限總存在?則稱此極限為函數(shù)f(x?y)在曲線弧L上對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分或第一類曲線積分?記作?即dsyxfL)(??iiiniLsfdsyxf??????)(lim)(10???其中f(x?y)叫做被積函數(shù)?L叫做積分弧段?曲線積分的存在性?當(dāng)f(x?y)在光滑曲線弧L上連續(xù)時(shí)?對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分是存在的?

5、以后我們總假定f(x?y)在L上是連續(xù)的?dsyxfL)(?定理設(shè)f(x?y)在曲線弧L上有定義且連續(xù)?L的參數(shù)方程為x??(t)?y??(t)(??t??)?其中?(t)、?(t)在[???]上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)?且??2(t)???2(t)?0?則曲線積分存dsyxfL)(?在?且(??)?dtttttfdsyxfL)()()]()([)(22????????????證明（略）應(yīng)注意的問題?定積分的下限?一定要小于上限??討論?(1)

6、若曲線L的方程為y??(x)(a?x?b)?則?dsyxfL)(?提示?L的參數(shù)方程為x?x?y??(x)(a?x?b)??dxxxxfdsyxfbaL?????)(1)]([)(2??(2)若曲線L的方程為x??(y)(c?y?d)?則?dsyxfL)(?提示?L的參數(shù)方程為x??(y)?y?y(c?y?d)??dyyyyfdsyxfdcL?????1)(])([)(2??(3)若曲?的方程為x??(t)?y??(t)?z??(t)(

7、??t??)?則?dszyxf)(??提示??dtttttttfdszyxf)()()()]()()([)(222?????????????????例1計(jì)算?其中L是拋物線y?x2上點(diǎn)O(0?0)與點(diǎn)B(1?1)之間的一段弧?dsyL?解曲線的方程為y?x2(0?x?1)?因此??????10222)(1dxxxdsyL???10241dxxx)155(121??例2計(jì)算半徑為R、中心角為2?的圓弧L對(duì)于它的對(duì)稱軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I(設(shè)線密度