第十章曲線積分與曲面積分

1、第十章 曲線積分與曲面積分,,返回,1.曲線積分與曲面積分,2.各種積分之間的聯(lián)系,3.場論初步,一、主要內(nèi)容,,,,,,,,,,曲線積分,曲面積分,,,,,,,對面積的曲面積分,對坐標(biāo)的曲面積分,對弧長的曲線積分,對坐標(biāo)的曲線積分,定義,計算,定義,計算,,,1. 曲線積分與曲面積分,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,定積分,,,,,,,曲線積分,重積分,曲面積分,計算,計算,計算,Green公式,Stokes公式

2、,Guass公式,,2. 各種積分之間的聯(lián)系,,,,,,積分概念的聯(lián)系,,定積分,二重積分,,,,,,,曲面積分,曲線積分,三重積分,曲線積分,,,,,,,計算上的聯(lián)系,,,,,,,,其中,,,,,,,理論上的聯(lián)系,,1.定積分與不定積分的聯(lián)系,牛頓--萊布尼茨公式,2.二重積分與曲線積分的聯(lián)系,格林公式,,,,,,,三重積分與曲面積分的聯(lián)系,高斯公式,曲面積分與曲線積分的聯(lián)系,斯托克斯公式,,,,,,,,,,,Green公式,Guas

3、s公式,Stokes公式之間的關(guān)系,,,,,推廣,推廣,,,,,,,梯度,通量,旋度,環(huán)流量,散度,,3. 場論初步,,,,,,二、典型例題,,,,,,二、對弧長的曲線積分,對弧長的曲線積分的計算方法練習(xí),解法：化為參變量的定積分計算,解題步驟：,（1）畫出積分路徑的圖形；,（2）把路徑L的參數(shù)式子寫出來：,（3）將ds寫成參變量的微分式，代入并計算：,,注意：參數(shù)大的作為上限β，小的作為下限α,,,,,,,解,,,,,二、對弧長的曲線

4、積分-例1,a/2,,,,,,二、對弧長的曲線積分-例2-1,解：,,,,,B,O,A(a,0),X,Y,,,,,,二、對弧長的曲線積分-例2-2,,,,,,解,oA：,過點 o (0, 0, 0) ，平行于 y 軸，,方程：,AB：,過點 A (0, 2, 0) ，平行于 x 軸，,二、對弧長的曲線積分-例3-1,,,,,,AB：,過點 A (0, 2, 0) ，平行于 x 軸，,方程：,BC：,過點 B (3, 2, 0) ，

5、平行于 z 軸，,方程：,二、對弧長的曲線積分-例3-2,,,,,,BC：,過點 B (3, 2, 0) ，平行于 z 軸，,方程：,于是，,二、對弧長的曲線積分-例3-3,,,,,,三、對坐標(biāo)的曲線積分-解法1,對坐標(biāo)的曲線積分的計算方法：四種,解法1：化為參數(shù)的定積分求解,（1）,（2）,（3）,,,,,,,三、對坐標(biāo)的曲線積分-解法2,解法2：利用格林公式求解,注意：（1）P（x，y）、Q（x，y）在閉域D上一階偏導(dǎo)數(shù)的連

6、續(xù)性；（2）曲線L是封閉的，并且是取正向。,,,,,,三、對坐標(biāo)的曲線積分-解法3,解法3：L不閉合，則補充邊L’使L+L’閉合，在再用格林公式,,,,,,三、對坐標(biāo)的曲線積分-解法4,解法4：利用與路徑無關(guān)條件求解,,,,,,解,三、對坐標(biāo)的曲線積分-例1,,,,,,解,P，Q 在 D 上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)。,由格林公式，有,三、對坐標(biāo)的曲線積分-例2,,,,,,三、對坐標(biāo)的曲線積分-例3,解,,,,Y,X,O,2,,,1,1,,

7、A,B,,選擇路徑OBA，則,,,,,,解,P，Q 在全平面一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)。,且全平面是單連通域。,因此，曲線積分與路徑無關(guān)。,三、對坐標(biāo)的曲線積分-例4-1,,,,,,取一簡單路徑：AB + Bo .,,,三、對坐標(biāo)的曲線積分-例4-2,,,,,,,P，Q 在全平面一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)。,解,補上直線段 AB，L 與AB 所圍為 D。,,在 D 域上應(yīng)用格林公式。,三、對坐標(biāo)的曲線積分-例5-1,,,,,,三、對坐標(biāo)的曲線積分-例5-2,,

8、,,,,,,,解,三、對坐標(biāo)的曲線積分-例6-1,,,Y,X,O,-a,a,b,-b,,,L,在L包圍的橢圓區(qū)域內(nèi)作順時針方向的小圓周L1：,L1,,,,,,,,所以，,三、對坐標(biāo)的曲線積分-例6-1,,,Y,X,O,-a,a,b,-b,,,D1,L,在 D1 域上應(yīng)用格林公式，有,L1,,,,,,二、對面積的曲面積分的計算法,對面積的曲面積分的計算法,解題步驟：,1、畫出曲面∑的草圖；,2、由曲面∑的方程，寫出其去曲面微分ds,3、計

9、算在投影面上的二重積分；,解法：化為投影域上的二重積分的計算,,,,,,,例1-1,解：,∑在xOy面上的投影域為：,投影域在極坐標(biāo)下可表示為：,,,,,,例1-2,所以，,,,,,,例2-1,解：,,,,,,,,z,x,y,O,,a,∑2,∑1,,,如圖所示，記上半球面為∑1,記下半球面為∑2,則 ∑=∑1+∑2,∑1的方程為：,,,,,,例2-2,∑1在xOy面上的投影域為：,投影域在極坐標(biāo)下可表示為：,,,,,,,,z,x,y,O

10、,,a,∑2,∑1,,,同理，可得,故,,,,,,例3-1,解：,,,,,,,,z,x,y,O,,半球殼的方程為：,,,,,,例3-2,,,,,,,,z,x,y,O,,此半球殼在xOy面上的投影域為：,在極坐標(biāo)系下可表示為：,故，所求轉(zhuǎn)動慣量為：,,,,,,二、對面積的曲面積分的計算法1,對坐標(biāo)的曲面積分的計算法,解法有三種：,1、通過投影化為二重積分,,,,,,,二、對面積的曲面積分的計算法2,2、利用兩類曲面積分之間的聯(lián)系,,,,,

11、,二、對面積的曲面積分的計算法3,3、利用高斯公式,（1）曲面∑閉合，且P、Q、R在閉曲面∑所圍成的空間區(qū)域Ω中有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，則,（2）若曲面∑不閉合，且P、Q、R比較復(fù)雜，P、Q、R在∑+ ∑*（ ∑+ ∑*閉合）所構(gòu)成的空間區(qū)域Ω中有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，則,,,,,,例1 計算,其中 ? 是圓柱面,在第一卦限中,解,的部分的前側(cè).,,例1-1,,,,,,,例1-2,,,,,,于是，,例1-3,,,,,,例2 計算,其中 ?

12、是平面,在第一卦限內(nèi)的上側(cè) 。,解,例2-1,方法一，化為投影域上的二重積分,因為取∑的上側(cè)，所以,,,,,,例2-2,從而,,,,,,例2-3,方法二，利用兩類面積分的聯(lián)系,因為取∑的上側(cè)，所以,,,,,,例2-4,方法三，利用高斯公式,補充∑1：x=0 取后側(cè)∑2:y=0 取左側(cè)∑3:z=0 取下側(cè)，使其與∑構(gòu)成封閉外向曲面。,∑1,∑3,∑2,,如圖所示， ∑1：x=0 ∴,又 ∑1和zOx面垂直 ∴,從而,,,,,,例2-

13、5,∑1,∑3,∑2,,如圖所示， ∑1：x=0 ∴,又 ∑1和zOx面垂直 ∴,從而,同理可得,所以，,,,,,,例3 計算曲面積分,其中 ? 是由曲面,解,例3-1,所圍立體的表面外側(cè)。,,,,,,,,,,z,x,y,1,,,,,,,解,(如圖所示),例4-1,補充∑*：y=3 取右側(cè),則∑*與∑構(gòu)成封閉外向閉曲面,,,,,,例4-2,又 ∵∑*：y=3和面yOz、xOy都垂直 ∴,,,,,,三、鞏固練習(xí),,,,,,,,,,,,,