第二型曲線(xiàn)曲面積分的計(jì)算方法

1、第二型曲線(xiàn)曲面積分的計(jì)算方法PB07210153劉羽第二型曲線(xiàn)曲面積分與第一型曲線(xiàn)曲面積分相比有明顯不同的幾何意義和物理意義，第一型曲線(xiàn)曲面積分分別可以看成是定積分與二重積分的更一般情況，其意義較易理解，計(jì)算也相對(duì)比較簡(jiǎn)單。而第二型曲線(xiàn)曲面積分又稱(chēng)為對(duì)坐標(biāo)的積分，具有第一型不具有的方向性，計(jì)算較為復(fù)雜，物理意義十分明顯，分別是變力沿曲線(xiàn)做功和向量場(chǎng)過(guò)曲面的通量，這在物理學(xué)上有重要的應(yīng)用，與格林定理，斯托克斯定理，高斯定理緊密相關(guān)，是微積

2、分中的重點(diǎn)和難點(diǎn)，以下簡(jiǎn)單介紹第二型曲線(xiàn)曲面積分的常用計(jì)算方法。1第二型曲線(xiàn)積分計(jì)算方法向量場(chǎng)，是曲線(xiàn)L上指向指定方向的單位切向量，F(xiàn)PiQjRk??????????則稱(chēng)形式積分為第二型曲線(xiàn)積分，右端是LLPdxQdyRdzFdl?????????AF????A在L上第一型曲線(xiàn)積分。這里要理解的方向性，是有向曲線(xiàn)微??dxidl????A元在Ox軸方向投影，可正可負(fù)（與定積分不同），這正是第二型曲dl??dx線(xiàn)積分具有方向性的原因。計(jì)算

3、第二型曲線(xiàn)積分的方法主要有定義法，參數(shù)法，利用性質(zhì)以及利用Green公式和Stokes公式。（1）定義法當(dāng)已知或易于表達(dá)時(shí)，可考慮用定義法，一般用得較少。（2）參數(shù)法參數(shù)法是計(jì)算第二型曲線(xiàn)積分最常用的方法，將其轉(zhuǎn)化為定積分，應(yīng)用時(shí)要特別注意上下限的確定（根據(jù)所給的方向而不是大小）。設(shè)有向曲線(xiàn)L的參數(shù)方程為x=x(t)y=y(t)z=z(t)其起點(diǎn)對(duì)應(yīng)t=a，終點(diǎn)對(duì)應(yīng)t=b，則LPdxQdyRdz????[(()()())()(()()(

4、))()(()()())()]baPxtytztxtQxtytztytPxtytztztdt???計(jì)算時(shí)只要將所有量（包括微分量）用參數(shù)變量表示出來(lái)即可，不需記憶此式。例1求曲線(xiàn)積分，其中L是與Lydxzdyxdz???2xy??的交線(xiàn)，從原點(diǎn)看去是逆時(shí)針?lè)较颉?222()xyzxy????解：在曲線(xiàn)L滿(mǎn)足的方程組中消去y并化簡(jiǎn)得，可知L在Ozx222(1)2xz???平面上的投影曲線(xiàn)是橢圓，注意到坐標(biāo)原點(diǎn)在平面的222(1)2xz??

5、?2xy??（1）定義法當(dāng)單位法向量容易求得，易于表達(dá)時(shí)可考慮用定義法。（2）參數(shù)法常用球面參數(shù)和柱面參數(shù)：球面參數(shù)：，可推廣到橢球sincossinsincosxRyRzR????????面。柱面參數(shù)；cossinxayazz?????其他參數(shù)由于計(jì)算復(fù)雜使用不多。（3）單一坐標(biāo)平面投影法（參數(shù)法特例）設(shè)以O(shè)xy平面為投影面SPdydzQdzdxRdxdy????()xyDzPzQRdxdy???????以O(shè)yzOzx平面為投影面情況

6、類(lèi)似。（4）分項(xiàng)投影法分項(xiàng)投影法是利用第二型曲面積分的線(xiàn)性性：SPdydzQdzdxRdxdy?????SSSPdydzQdzdxRdxdy????????分別將右式三項(xiàng)投影到OyzOzxOxy平面上，由于，，1SDPdydzPdydz?????1SDPdydzPdydz?????1SDPdydzPdydz?????分別投影直接計(jì)算二重積分，避免投影到一面上求偏導(dǎo)的計(jì)算，此法非常實(shí)用，看似復(fù)雜，實(shí)則簡(jiǎn)單，非常實(shí)用。計(jì)算中要注意原曲面與投

7、影曲面一一對(duì)應(yīng)，若不一一對(duì)應(yīng)要分片投影，如一個(gè)完整的球投影到Oxy平面上，上下半球曲面要分別投影計(jì)算。計(jì)算中注意利用方向性等性質(zhì)以簡(jiǎn)化計(jì)算。例2計(jì)算，其中S是橢球面，外側(cè)。2Sydzdxzdxdy???222144xyz???此題可利用參數(shù)法，單一坐標(biāo)平面投影法，分項(xiàng)投影法等多種方法計(jì)算，難度不大，答案是。163?（5）利用高斯公式Gauss公式：()SVPQRPdydzQdzdxRdxdydxdydzxyx??????????????