2023年全國碩士研究生考試考研英語一試題真題(含答案詳解+作文范文)_第1頁
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文檔簡介

1、1數(shù)學(xué)中的恒成立問題數(shù)學(xué)中的恒成立問題1.已知函數(shù)已知函數(shù),1ln()mxfxx???m?R(Ⅰ)求)求的極值;的極值;()fx(Ⅱ)若)若在上恒成立,求上恒成立,求的取值范圍的取值范圍ln0xax??(0)??a解:(Ⅰ)由導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則知,令,得當(dāng)2ln()mxfxx???()0fx??emx?時(shí),,單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞(0e)mx?()0fx??()fx(e)mx???()0fx??()fx減故當(dāng)時(shí),有極大值,且極大值為emx?

2、()fx(e)emmf??(Ⅱ)欲使在上恒成立,只需在上恒成立,K]等價(jià)于ln0xax??(0)??lnxax?(0)??只需在上的最大值小于設(shè)(),由(Ⅰ)知,在處lnxx(0)??aln()xgxx?0x?()gxex?取得最大值所以,即的取值范圍為1e1ea?a1()e??2.已知函數(shù)已知函數(shù)()11.fxxx????(1)求函數(shù))求函數(shù)()fx的單調(diào)區(qū)間;的單調(diào)區(qū)間;(2)是否存在正常數(shù))是否存在正常數(shù)211201xxxx???

3、??????使不等式在恒成立?如果存在,恒成立?如果存在,求出最小正數(shù)求出最小正數(shù)?,否則請說明理由。,否則請說明理由。解:解:(1)由()11:11fxxxx???????知其定義域?yàn)?,求?dǎo)數(shù)得到11()2121fxxx?????,令,∴x=0因此()[01][10]fx?在上為減函數(shù)在上為增()0fx??函數(shù)(2)令2221111(2)4xxtt???????則x,只需2211(2)(2)224ttt???????在上恒成立當(dāng)t=2

4、時(shí),顯然成立,當(dāng)22211(2)1422(2)24ttttt?????????時(shí)只需恒成立,又2211(2)2(22)444tt?????,4???[即?最小值為4。3.已知二次函數(shù)已知二次函數(shù)g(x)對任意實(shí)數(shù))對任意實(shí)數(shù)x都滿足都滿足????21121gxgxxx??????,且,且??11g??令令??19()ln(0)28fxgxmxmx??????R(1)求)求g(x)的表達(dá)式;的表達(dá)式;(2)設(shè))設(shè)1em??,()()(1)

5、Hxfxmx???,證明,證明:對任意對任意x1x2??m1?,恒有,恒有3(3)試比較)222222ln2ln3ln(1)(21)232(1)nnnnn???????與的大小,(2)nNn??且,并證明你的結(jié)論。解:解:(1)1()1lnafxxx????,111()1ln()10.xxfxxxfxxx??????????當(dāng)時(shí)??()1.fx???在區(qū)間上是遞增的101()1ln()10xfxxxfxx??????????當(dāng)()(01

6、).fx?在區(qū)間上是遞減的故a=1時(shí),()fx的增區(qū)間為[1)??,減區(qū)間為(0,1),min()(1)0.fxf??(2)若111()ln()10.xaxafxxaxfxxx???????????當(dāng)時(shí),則()fx在區(qū)間[]a??上是遞增的;當(dāng)10()ln()10xafxaxxfxx??????????時(shí)()fx?在區(qū)間(0)a上是遞減的,若01()lnaxafxxax??????當(dāng)時(shí)11()11()01()0xfxxfxaxfxxx?

7、???????????,則()fx在區(qū)間[1)??上是遞增的,()fx在區(qū)間[1)a上是遞減的;當(dāng)10()ln()10xafxaxxfxx??????????時(shí)()fx在區(qū)間(0,a)上是遞減的,而()fx在xa?處連續(xù);則()fx在區(qū)間[1)??上是遞增的,在區(qū)間(0,1)上是遞減的,綜上:當(dāng)1()afx?時(shí)的遞增區(qū)間是[)a??,遞減區(qū)間是(0,a);當(dāng)01a??時(shí),()fx的遞增區(qū)間是[1)??,遞減區(qū)間是(0,1)(3)由(1)

8、可知,當(dāng)1a?,1x?時(shí),有1ln0xx???,即ln11xxx??222222ln2ln3ln23nn?????22211111123n????????2221111()23nn???????1111()2334(1)nnn??????????1111111()23341nnn???????????11(1)(21)1()212(1)nnnnn?????????6.設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)2()ln(1)fxxbx???(1)若對于定義域的任意)

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