函數(shù)恒成立問題——參變分離法

1、1學科數(shù)學課題名稱函數(shù)恒成立問題——參變分離法周次教學目標教學重難點函數(shù)恒成立問題——參變分離法一、基礎知識：1、參變分離：顧名思義，就是在不等式中含有兩個字母時（一個視為變量，另一個視為參數(shù)），可利用不等式的等價變形讓兩個字母分居不等號的兩側(cè)，即不等號的每一側(cè)都是只含有一個字母的表達式。然后可利用其中一個變量的范圍求出另一變量的范圍2、如何確定變量與參數(shù)：一般情況下，那個字母的范圍已知，就將其視為變量，構(gòu)造關于它的函數(shù)，另一個字母（一

2、般為所求）視為參數(shù)。3、參變分離法的適用范圍：判斷恒成立問題是否可以采用參變分離法，可遵循以下兩點原則：（1）已知不等式中兩個字母是否便于進行分離，如果僅通過幾步簡單變換即可達到分離目的，則參變分離法可行。但有些不等式中由于兩個字母的關系過于“緊密”，會出現(xiàn)無法分離的情形，此時要考慮其他方法。例如：，等??21logaxx??111axxex????（2）要看參變分離后，已知變量的函數(shù)解析式是否便于求出最值（或臨界值），若解析式過于復雜

3、而無法求出最值（或臨界值），則也無法用參變分離法解決問題。（可參見”恒成立問題——最值分析法“中的相關題目）4、參變分離后會出現(xiàn)的情況及處理方法：（假設為自變量，其范圍設為，為函數(shù)；xD??fx為參數(shù)，為其表達式）a??ga（1）若的值域為??fx??mM①，則只需要????xDgafx???????mingafxm??，則只需要????xDgxfx???????mingafxm??②，則只需要????xDgafx???????max=

4、gafxM?3思路：首先轉(zhuǎn)化不等式，，即恒成立，觀察不等式與便()xxfxeae???23xxaee??axe于分離，考慮利用參變分離法，使分居不等式兩側(cè)，，若不等式恒成ax??223xxaee???立，只需，令（解析式可（解析式可????2max23xxaee?????????222333xxxgxeee???????看做關于看做關于的二次函數(shù)，故配方求最值）的二次函數(shù)，故配方求最值），所以xe??max3gx?3a?答案：3a?例2

5、：已知函數(shù)，若在上恒成立，則的取值范圍是??lnafxxx????2fxx???1??a_________思路：恒成立的不等式為，便于參數(shù)分離，所以考慮嘗試參變分離法2lnaxxx??解：，其中233lnlnlnaxxxxaxaxxxx??????????1x???只需要，令???3maxlnaxxx????3lngxxxx??（導函數(shù)無法直接確定單調(diào)區(qū)間，但再求一次導即可將變?yōu)?，所以二階導2()1ln3gxxx???lnx1x函數(shù)的單

6、調(diào)性可分析，為了便于確定的符號，不妨先驗邊界值）??gx，，（判斷單調(diào)性時一定要先看定義域，有可能會簡??12g????211660xgxxxx?????化判斷的過程）在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞減??gx???1??????10()gxggx??????1??????11gxg????1a???答案：1a??注意：求導數(shù)的目的是利用導函數(shù)的符號得到原函數(shù)的單調(diào)性，當導函數(shù)無法直接判斷符號時，可根據(jù)導函數(shù)解析式的特點以及定義域嘗試在求一次導數(shù)，