不等式恒成立問題及能成立問題

1、例談不等式恒成立問題和能成立問題的解題策略例談不等式恒成立問題和能成立問題的解題策略——談20082008年江蘇高考數(shù)學試卷第年江蘇高考數(shù)學試卷第1414題摘要摘要：所有問題均可分成三類：恒成立問題、能成立問題和不成立問題。《例談不等式恒成立問題和能成立問題》介紹了解決不等式恒成立問題和不等式能成立問題常用的直接法、分離參數(shù)法、分類討論法、數(shù)形結(jié)合法等，采用了等價轉(zhuǎn)化的處理策略。關(guān)鍵詞關(guān)鍵詞：分離參數(shù)、分類討論、數(shù)形結(jié)合、等價轉(zhuǎn)化，換元

2、，求最值。2008年江蘇高考數(shù)學試卷第14題是一道很好的恒成立問題：設(shè)函數(shù)若對于任意都有成立，則實數(shù)的值3()31()fxaxxxR??????11x??()0fx?a為。解析如下：析：將中的分離，然后求函數(shù)的最值。()0fx?ax解：函數(shù)若對于任意都有成立，函數(shù)3()31()fxaxxxR??????11x??()0fx?對于任意有都成立。3()31()fxaxxxR????????10010xxx????及其()0fx?若，，設(shè)則?

3、?10x??33213()310fxaxxaxx????????1tx?1t??，令，則3232133(1)tttxx????????323(1)yttt?????2360ytt????單調(diào)遞減，，（1）323(1)yttt??????32min1(1)3(1)4tyy?????????4a??若，，設(shè)，則??01x?33213()310fxaxxaxx????????1tx?1t?，令，則，3232133(1)tttxx???????

4、323(1)yttt????2363(2)ytttt??????當時，單調(diào)遞增；當時，12t??0y?323(1)yttt????2t?0y?單調(diào)遞減，，（2）323(1)yttt????32max22324tyy???????4a??若則，成立（3）0x?aR?()0fx?由題意知（1）（2）（3）應同時成立4a??解題中采取了不等式恒成立問題的處理策略解題中采取了不等式恒成立問題的處理策略:1、若、若f(x)≥af(x)≥a對x∈D

5、x∈D恒成立，只須恒成立，只須f(x)f(x)minmin(x∈D)≥a(x∈D)≥a即可。即可。解：，而對2142(2)()4()8yxxyxyxyxy?????????222xymm???恒成立，則，解得00xy??228mm??42m???例2若不等式≥0在[1，2]上恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為142xxa???。析：本題可轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值解：令，則??14212xxyax?????????2211124xyax?????

6、??x而22所以，因不等式≥0在[1，2]上恒成立2min(21)1yaa??????142xxa???所以，即min0ya???0a?例3已知函數(shù)，2π()2sin3cos24fxxx?????????ππ42x???????（1）求的最大值和最小值；()fx（2）若不等式在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍()2fxm??ππ42x???????m析：，且()2()2()2fxmfxmfx???????max()2mfx??∴min()2m

7、fx??解：（1）π()1cos23cos21sin23cos22fxxxxx???????????????????∵π12sin23x?????????又，，即，ππ42x???????∵ππ2π2633x?∴≤≤π212sin233x????????≤≤maxmin()3()2fxfx??∴（2），，且()2()2()2fxmfxmfx???????∵ππ42x???????max()2mfx??∴，min()2mfx??，即的取值