不等式中恒成立問題的解法研究

1、不等式中恒成立問題的解法研究興義八中李明生在不等式的綜合題中，經(jīng)常會(huì)遇到當(dāng)一個(gè)結(jié)論對(duì)于某一個(gè)字母的某一個(gè)取值范圍內(nèi)所有值都成立的恒成立問題。恒成立問題的基本類型：類型1：設(shè)，（1）上恒成立)0()(2????acbxaxxfRxxf??在0)(；（2）上恒成立。00????且aRxxf??在0)(00????且a類型2：設(shè))0()(2????acbxaxxf（1）當(dāng)時(shí)，上恒成立0?a][0)(????xxf在，?????????????

2、??????????????0)(2020)(2??????fababfab或或上恒成立][0)(????xxf在??????0)(0)(??ff（2）當(dāng)時(shí)，上恒成立0?a][0)(????xxf在??????0)(0)(??ff上恒成立][0)(????xxf在???????????????????????????0)(2020)(2??????fababfab或或類型3：??????min)()(xfIxxf恒成立對(duì)一切。?????

3、?max)()(xfIxxf恒成立對(duì)一切類型4：)()()()()()()(maxminIxxgxfxgxfIxxgxf?????的圖象的上方或的圖象在恒成立對(duì)一切恒成立問題的解題的基本思路是：根據(jù)已知條件將恒成立問題向基本類型轉(zhuǎn)化，正確選用函數(shù)法、最小值法、數(shù)形結(jié)合等解題方法求解。一、用一次函數(shù)的性質(zhì)對(duì)于一次函數(shù)有：][)(nmxbkxxf?????????????????0)(0)(0)(0)(0)(0)(nfmfxfnfmfxf恒

4、成立恒成立例1：若不等式對(duì)滿足的所有都成立，求x的范圍。)1(122???xmx22???mm解析：我們可以用改變主元的辦法，將m視為主變?cè)?，即將元不等式化為：，；令，則時(shí)，0)12()1(2????xxm)12()1()(2????xxmmf22???m所以，我們對(duì)這類題要注意看看函數(shù)能否取得最值，因?yàn)檫@直接關(guān)系到最后所求參數(shù)a的取值。利用這種方法時(shí)，一般要求把參數(shù)單獨(dú)放在一側(cè)，所以也叫分離參數(shù)法。四：數(shù)形結(jié)合法對(duì)一些不能把數(shù)放在一側(cè)

5、的，可以利用對(duì)應(yīng)函數(shù)的圖象法求解。例5：已知，求實(shí)數(shù)恒成立有時(shí)當(dāng)21)()11()(102???????xfxaxxfaaxa的取值范圍。解析：由，在同一直角坐標(biāo)系中做出兩個(gè)函數(shù)xxaxaxxf?????2121)(22，得的圖象，如果兩個(gè)函數(shù)分別在x=1和x=1處相交，則由12221)1(211??????aa及得到a分別等于2和0.5，并作出函數(shù)的圖象，所以，要想使函數(shù)xxyy)21(2??及在區(qū)間中恒成立，只須在區(qū)間對(duì)應(yīng)的圖象在x

6、ax??212)11(??xxy2?)11(??x在區(qū)間對(duì)應(yīng)圖象的上面即可。當(dāng)才能保證，212??xy)11(??x21??aa只有時(shí)而才可以，所以。2110???aa時(shí)，只有]21()121[??a由此可以看出，對(duì)于參數(shù)不能單獨(dú)放在一側(cè)的，可以利用函數(shù)圖象來解。利用函數(shù)圖象解題時(shí)，思路是從邊界處（從相等處）開始形成的。例6：若當(dāng)P(mn)為圓上任意一點(diǎn)時(shí)，不等式恒成立，1)1(22???yx0???cnm則c的取值范圍是（）A、B、1

7、221?????c1212????cC、D、12???c12??c解析：由，可以看作是點(diǎn)P(mn)在直線的右側(cè)，而點(diǎn)P(mn)0???cnm0???cyx在圓上，實(shí)質(zhì)相當(dāng)于是在直線的右側(cè)并與它相離或1)1(22???yx1)1(22???yx相切。，故選D。12111|10|01022????????????????ccc其實(shí)在習(xí)題中，我們也給出了一種解恒成立問題的方法，即求出不等式的解集后再進(jìn)行處理。以上介紹了常用的五種解決恒成立問題