高中含參不等式的恒成立問題整理版

1、1高中數(shù)學不等式的恒成立問題高中數(shù)學不等式的恒成立問題一、用一元二次方程根的判別式一、用一元二次方程根的判別式有關(guān)含有參數(shù)的一元二次不等式問題，若能把不等式轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)或二次方程，通過根的判別式或數(shù)形結(jié)有關(guān)含有參數(shù)的一元二次不等式問題，若能把不等式轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)或二次方程，通過根的判別式或數(shù)形結(jié)合思想，可使問題得到順利解決。合思想，可使問題得到順利解決?；窘Y(jié)論總結(jié)基本結(jié)論總結(jié)例1對于對于x∈Rx∈R，不等式，不等式恒成立，求實數(shù)恒成

2、立，求實數(shù)m的取值范圍。的取值范圍。例2：已知不等式已知不等式對于對于Ｒ恒成立，求參數(shù)Ｒ恒成立，求參數(shù)的取值范圍的取值范圍04)2(2)2(2?????xaxax?a解：要使解：要使對于對于Ｒ恒成立，則只須滿足：Ｒ恒成立，則只須滿足：04)2(2)2(2?????xaxax?（1）或（2）?????????0)2(16)2(4022aaa???????????040)2(202aa解（解（1）得）得，解（，解（2）＝２＝２???????

3、222aaa∴參數(shù)參數(shù)的取值范圍是－２＜的取值范圍是－２＜２２aa?練習練習1.1.已知函數(shù)已知函數(shù)的定義域為的定義域為R，求實數(shù)，求實數(shù)的取值范圍。的取值范圍。])1(lg[22axaxy????a2.2.若對于若對于x∈Rx∈R，不等式，不等式恒成立，求實數(shù)恒成立，求實數(shù)m的取值范圍。的取值范圍。3.3.若不等式若不等式的解集是的解集是R，求，求m的范圍。的范圍。4.4.取一切實數(shù)時，使取一切實數(shù)時，使恒有意義，求實數(shù)恒有意義，求實

4、數(shù)的取值范圍的取值范圍x3472???kxkxkxk3仿解法仿解法1：即???)21(x0)x(f25a0)2(f0)1(f??????得)25[:a??的范圍是讀者可仿解法讀者可仿解法2，解法，解法3類似完成，但應注意等號問題，即此處類似完成，但應注意等號問題，即此處也合題。也合題。25a?例5.5.已知：已知：求使求使恒成立的恒成立的a的取值范圍。的取值范圍。1axx)x(f2???]11[x0)x(f???對任意解法解法1：數(shù)形結(jié)

5、合結(jié)合：數(shù)形結(jié)合結(jié)合的草圖可得：的草圖可得：)x(f或得：得：。???????????????????0)1(f12a04a04a22或?????????????0)1(f12a04a2)22(:a2a2????的取值范圍是即解法解法2：轉(zhuǎn)化為最值研究：轉(zhuǎn)化為最值研究4a1)2ax()x(f22????1.1.，所以，所以。2a204a1)x(f2a212a12min????????????得時即2a2???2.2.若矛盾。矛盾。2a2

6、a0a2)1(f)x(f2a12amin?????????????與得時即3.3.若矛盾。綜上：矛盾。綜上：a的取值范圍是的取值范圍是。2a2a0a2)1(f)x(f2a12amin????????與得則時即)22(?解法解法3：分離參數(shù)：分離參數(shù)1.1.時，不等式顯然成立，即此時時，不等式顯然成立，即此時a可為任意實數(shù)；可為任意實數(shù)；0x?2.2.時，時，。因為。因為上單調(diào)遞減，所以上單調(diào)遞減，所以)01[x??x1xa01axx2?

7、?????)01[x1x)x(g???在；2)1(g)x(gamax?????3.3.時，時，。因為。因為在（在（0，1）上單調(diào)遞減，所以）上單調(diào)遞減，所以]10(x?x1xa01axx2??????x1x)x(g??。綜上：。綜上：a的范圍是：的范圍是：。2)1(g)x(gamin???)22(?注：本題中由于注：本題中由于x的取值可正可負，不便對參數(shù)的取值可正可負，不便對參數(shù)a直接分離，故采取了先對直接分離，故采取了先對x分類，再分

8、離參數(shù)分類，再分離參數(shù)a，最后對各類，最后對各類中求得中求得a的范圍求交集，這與例的范圍求交集，這與例1方法三中對各類中求得的方法三中對各類中求得的a的范圍求并集是不同的，應引起注意！的范圍求并集是不同的，應引起注意！例6.6.已知：已知：，求使，求使對任意對任意恒成立的恒成立的x的取值范圍。的取值范圍。1axx)x(f2???0)x(f?]33[a??解：解：習慣上視習慣上視x為主元而為主元而a為輔元，但本題中是為輔元，但本題中是a在

9、上任意變化時不等式恒成立，上任意變化時不等式恒成立，01axx0)x(f2????即]33[?故可將故可將a視為主元。視為主元。變更主元法：設變更主元法：設，則，則的圖像為一直線，則的圖像為一直線，則時恒成立時恒成立1xax)a(g2?????)a(g]33[a0)a(g????即x的范圍是：的范圍是：??????????????01x3x)3(g01x3x)3(g22)253()253(????????總之，處理不等式恒成立問題首先應

10、分清誰是主元（哪一個變量在給定區(qū)間上任意變化，則該變量即為主元總之，處理不等式恒成立問題首先應分清誰是主元（哪一個變量在給定區(qū)間上任意變化，則該變量即為主元相當于函數(shù)自變量）相當于函數(shù)自變量），然后可數(shù)形結(jié)合或轉(zhuǎn)化為最值研究。若易于將參變量分離的可先分離參變量再求最值，若需，然后可數(shù)形結(jié)合或轉(zhuǎn)化為最值研究。若易于將參變量分離的可先分離參變量再求最值，若需分類討論則應注意分類標準和最后的小結(jié)（分清是求交集，還是求并集）分類討論則應注意分類