一類不等式恒成立問題的解法

1、1一類不等式恒成立問題的解法【教學(xué)目標(biāo)】1.對于可導(dǎo)函數(shù)，掌握“當(dāng)時，恒成立”問題的一種解法.()fxxa?()()fxfa?2.對于超越函數(shù)的恒成立問題，引導(dǎo)學(xué)生如何確立分類討論的標(biāo)準(zhǔn)，靈活的運(yùn)用導(dǎo)數(shù)解決恒成立與不恒成立的問題.3.體會分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想和函數(shù)與方程思想在解決復(fù)雜問題中的應(yīng)用.【教學(xué)重難點(diǎn)】重點(diǎn)：通過觀察不等式恒成立問題的特征，尋找使得結(jié)論成立的必要條件，縮小討論的范圍.難點(diǎn)：對于參數(shù)的不同取值范圍，如何證明不

2、等式恒成立與不恒成立.【教學(xué)過程】例1.（2016年四川卷）設(shè)函數(shù)，其中2()lnfxaxax???aR?（Ⅰ）討論的單調(diào)性；()fx（Ⅱ）確定的所有可能取值，使得在區(qū)間內(nèi)恒成立（其中a11()xfxex???(1)??為自然對數(shù)的底數(shù)）.2.718e????分析：第（II）問可以借助第（I）問的結(jié)論，由的極值點(diǎn)與所在區(qū)間端點(diǎn)的大()fx小比較確立分類討論的依據(jù)；也可以通過觀察，構(gòu)造新函數(shù)，發(fā)現(xiàn)原問題可以轉(zhuǎn)換為“當(dāng)時，恒成立”問題，利用

3、得到的取值范圍，再分類討論.xa?()()fxfa?()0fa??a解：（Ⅰ）2121()2(0)axfxaxxxx?????當(dāng)時，，在內(nèi)單調(diào)遞減.0a?()0fx?()fx(0)??當(dāng)時，由，有0a?()0fx?12xa?此時，當(dāng)時，，單調(diào)遞減；1(0)2xa?()0fx?()fx當(dāng)時，，單調(diào)遞增.1()2xa???()0fx?()fx（Ⅱ）方法一：3綜上，的取值范圍為.a1)2?[，例2.（2010年新課標(biāo)卷）設(shè)函數(shù).2()1xfx

4、exax????（Ⅰ）若求的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若當(dāng)時求的取值范圍.0a?()fx0x?()0fx?a分析：第（II）問中，當(dāng)時，即，注意到(0)0f?0x?()0fx?()(0)fxf?(0)0f??再考慮，可得，此時易證在上單調(diào)遞增，故成(0)0f???12a?()fx[0)??()0fx?立；再證時，不成立.12a?()0fx?解:（Ⅰ）時.0a?()1xfxex???()1xfxe??當(dāng)時；當(dāng)時.(0)x???()0fx?(0)x?

5、??()0fx?故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.()fx(0)??(0)??（Ⅱ），由（Ⅰ）知當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.()12xfxeax???1xex??0x?當(dāng)時，所以在上單調(diào)遞增，故12a?()10xfxex????()fx[0)??成立.()(0)0fxf??當(dāng)時令，則12a?()()12xgxfxeax????()2xgxea??當(dāng)時，，所以單調(diào)遞減，(0ln2)xa?()20xgxea???()gx()(0)0gxg??即，所以單調(diào)遞