千題百煉高考數(shù)學100個熱點問題(一)第22煉恒成立問題參變分離法含解析

1、- 1 -第 22 煉 恒成立問題——參變分離法一、基礎(chǔ)知識：1、參變分離：顧名思義，就是在不等式中含有兩個字母時（一個視為變量，另一個視為參數(shù)） ，可利用不等式的等價變形讓兩個字母分居不等號的兩側(cè)，即不等號的每一側(cè)都是只含有一個字母的表達式。然后可利用其中一個變量的范圍求出另一變量的范圍2、如何確定變量與參數(shù)：一般情況下，那個字母的范圍已知，就將其視為變量，構(gòu)造關(guān)于它的函數(shù)，另一個字母（一般為所求）視為參數(shù)。3、參變分離法的適用范圍：

2、判斷恒成立問題是否可以采用參變分離法，可遵循以下兩點原則：（1）已知不等式中兩個字母是否便于進行分離，如果僅通過幾步簡單變換即可達到分離目的，則參變分離法可行。但有些不等式中由于兩個字母的關(guān)系過于“緊密” ，會出現(xiàn)無法分離的情形，此時要考慮其他方法。例如： ， 等 ? ?2 1 loga x x ? ? 1 1 1ax x e x? ? ? ?（2）要看參變分離后，已知變量的函數(shù)解析式是否便于求出最值（或臨界值） ，若解析式過于復(fù)雜而無

3、法求出最值（或臨界值） ，則也無法用參變分離法解決問題。 （可參見”恒成立問題——最值分析法“中的相關(guān)題目）4、參變分離后會出現(xiàn)的情況及處理方法：（假設(shè) 為自變量，其范圍設(shè)為 ， 為函 x D ? ? f x數(shù)； 為參數(shù)， 為其表達式） a ? ? g a（1）若 的值域為? ? f x ? ? , m M① ，則只需要 ? ? ? ? , x D g a f x ? ? ? ? ? ? ?min g a f x m ? ?，則只需要

4、? ? ? ? , x D g x f x ? ? ? ? ? ? ?min g a f x m ? ?② ，則只需要 ? ? ? ? , x D g a f x ? ? ? ? ? ? ?max = g a f x M ?，則只需要 ? ? ? ? , x D g a f x ? ? ? ? ? ? ?max = g a f x M ?③ ，則只需要 ? ? ? ? , x D g a f x ? ? ? ? ? ? ?max g a

5、 f x M ? ?，則只需要 ? ? ? ? , x D g a f x ? ? ? ? ? ? ?max g a f x M ? ?④ ，則只需要 ? ? ? ? , x D g a f x ? ? ? ? ? ? ?min g a f x m ? ?- 3 -_________思路：恒成立的不等式為 ，便于參數(shù)分離，所以考慮嘗試參變分離法 2 ln a x x x ? ?解： ，其中 2 3 3 ln ln ln a x x x

6、x a x a x x x x ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1, x ? ??只需要 ，令 ? ? ?3max ln a x x x ? ? ? ?3 ln g x x x x ? ?（導(dǎo)函數(shù)無法直接確定單調(diào)區(qū)間，但再求一次導(dǎo)即可將 變?yōu)?，所以二階導(dǎo) ' 2 ( ) 1 ln 3 g x x x ? ? ? ln x 1x函數(shù)的單調(diào)性可分析，為了便于確定 的符號，不妨先驗邊界值） ? ?' g x， ， （

7、判斷單調(diào)性時一定要先看定義域，有可能會簡 ? ?' 1 2 g ? ? ? ?2'' 1 1 6 6 0 x g x x x x? ? ? ? ?化判斷的過程）在 單調(diào)遞減， 在 單調(diào)遞減 ? ?' g x ? ? ? 1,?? ? ? ? ?' ' 1 0 ( ) g x g g x ? ? ? ? ? ? 1,??? ? ? ? 1 1 g x g ? ? ? ? 1 a ? ? ?答

8、案： 1 a ? ?小煉有話說：求導(dǎo)數(shù)的目的是利用導(dǎo)函數(shù)的符號得到原函數(shù)的單調(diào)性，當導(dǎo)函數(shù)無法直接判斷符號時，可根據(jù)導(dǎo)函數(shù)解析式的特點以及定義域嘗試在求一次導(dǎo)數(shù)，進而通過單調(diào)性和關(guān)鍵點（邊界點，零點）等確定符號。例 3：若對任意 ，不等式 恒成立，則實數(shù) 的范圍 x R ? 2 3 3 2 4 x ax x ? ? ? a是 ．思路：在本題中關(guān)于 的項僅有 一項，便于進行參變分離，但由于 ,則分離參數(shù) , a x 2

9、ax x R ?時要對 的符號進行討論，并且利用 的符號的討論也可把絕對值去掉，進而得到 的范 x x a圍， ，當 時， ，而 2 2 3 3 3 2 2 3 4 4 x ax x ax x x ? ? ? ? ? ? ? 0 x ?min3 2 3 1 4 a x x? ? ? ? ? ? ? ? ?；當 時，不等式恒 3 3 3 3 1 3 1 2 3 1 2 4 4 4 x x x x x x ? ? ? ? ? ? ? ? ?