數(shù)學金融學第二章遠期1

1、長沙理工大學備課紙長沙理工大學備課紙數(shù)學金融學第二章遠期第1頁共24頁第二章第二章遠期2.12.1遠期及其價格和價值遠期及其價格和價值一、基本概念一、基本概念(P13)1.遠期合約遠期合約定義1.1甲乙雙方在(目前)時刻簽訂一份合約:在將來給定時刻以(當前)設定價格成交t一種物品這樣一份合約稱為上的一個遠期(合約)(fward(contract)).合約中成交的物品??tT稱為標的資產(chǎn)(underlyingasset)或標的物品(und

2、erlyingcommodity)所設定的成交價格稱為交割價格(deliveryprice)也稱為遠期價格(fwardprice)記為(只依賴于和).時刻稱為到??qtTtTT期時刻(maturity).在到期時刻將成為標的資產(chǎn)的買方與賣方分別稱為多頭(longposition)與空T頭(shtposition).例1.2(P13)甲乙簽訂了一份在3個月以后以交割價格為8.23人民幣元美元(匯率為8.23:1)標的資產(chǎn)為美元其數(shù)量為10

3、萬元的買賣合約(遠期).其中甲方為買方(多頭)乙方為賣方(空頭).假如在到期日美元的價格漲到了8.30元則甲方獲利10000008.30－10000008.23=7000(人民幣元)乙方損失為7000(人民幣元)假如在到期日美元的價格跌到了8.30元則乙方獲利10000008.23－10000008.20=3000(人民幣元)甲方損失為3000(人民幣元).▲2.遠期合約的價值遠期合約的價值從例2.1看出當雙方敲定交割價格后標的資產(chǎn)到期

4、價格上漲對多頭有利而對空頭不利標的資產(chǎn)到期價格下跌對空頭有利對多頭不利.所以多空雙方如何敲定交割價格對雙方損益(payoff也稱為收益或回報)至關重要.假設簽約雙方均是理性的(不愿意吃虧)、對稱的(資產(chǎn)、能力等均對等)那么得到遠期價格確定原則為:在簽約時刻遠期本身的(期望)價值為0.設為標的資產(chǎn)在時刻處即期價格.由遠期價格確定原則可知??????PsstT?s(1.3)????qtTPT?由于確定遠期價格時雙方可利用的信息是到時刻為止的

5、所有市場信息但沒有時刻??qtTtt后的信息那么上述遠期價格確定原則對如何確定遠期價格不方便.于是我們需要從所??qtT謂“遠期的價值”來考慮如何確定遠期價格.定義1.1.1稱(1.4)??fstT??????????????????rTsrTsPTqtTPTqsTeqsTqtTe??????????????????????為當無風險利率為常數(shù)時時間上遠期合約在時刻的價值其中表r??tT??stT?????PsqsT?示遠期的多頭在時刻

6、的損益.??stT?當利率(常數(shù))時由第一章(1.17.1)知時間上遠期合約在時刻的價??rrtc????tT??stT?值為.(1.5)??fstT??????TsrdqsTqtTe??????????說明:長沙理工大學備課紙長沙理工大學備課紙數(shù)學金融學第二章遠期第3頁共24頁定理1.2假設市場無套利則時間上無收益證券的遠期合約在時刻的價值為??tT??stT?(1.9)??fstT??????rTsPsqtTe????證明??fst

7、T??????????????????1.8(1.4)rTsrTsrTtrTsqsTqtTePsePtee??????????????????.▲??????rTsPsqtTe????證券組合價值相等原則相等:如果在時間(為初始時刻)上的兩個證券組合在到時??tTt刻的價值相等那么在市場無套利條件下這兩個證券組合在時刻的價值也應該相T??stT?等.下面我們從這個角度出發(fā)來討論時間上遠期合約在時刻的價值.??tT??stT???fstT

8、假定在(初始)時刻有兩個重要證券組合:??0tT?組合1:多頭有一份在時間上遠期合約外加數(shù)額為的現(xiàn)??tT????0fttT?????rTtqtTe??金其中為該遠期的價格.??qtT組合2:價值為的一股標的證券.??Pt討論:在時刻假定組合1中現(xiàn)金以無風險利率投資則多頭將擁有資金恰好可以按遠Tr??qtT期合約購買一股標的證券(此時市價為)故此時組合1的價值(不是遠期合約的價值)為??PT.于是在時刻組合1價值等于組合2價值()??P

9、TT??PT在任何時刻組合1的價值為??stT?｛在時刻遠期合約的價值｝＋｛在時間上現(xiàn)金以無風險利率投資收益｝s??tsr???fstT????????????rTtrstrTsqtTeefstTqtTe?????????????組合2的價值為.在市場無套利條件下時刻這兩個組合的價值應該相等即??Pss.▲(1.10)??fstT??????rTsqtTePs????顯然(1.10)與(1.9)是等價的.當時由知(1.10)就可化為(1

10、.8).st???fttT0?例1.4(P17)假定一個還有9個月將到期的遠期合約標的資產(chǎn)是一年期的貼現(xiàn)債券遠期合約的交割價格為1000元.假設9個月期的無風險(連續(xù)復利)年利率為6%債券的現(xiàn)價為960元.求在市場無套利條件下在當前時刻遠期(多頭)的價值.s解=0.75.Ts?912???0.06960rPs????1000qtT?由(1.9)知當前時刻在市場無套利條件下遠期(多頭)的價值s元??fstT??????rTsPsqtTe?

11、???0.060.7596010004e?????從而在當前時刻空頭的價值為元.▲s4?三、己知現(xiàn)金收益的證券三、己知現(xiàn)金收益的證券(P17)設一份時間(為初始時刻)上遠期合約中標的資產(chǎn)是在時間內(nèi)在??tTt??tT??1nn????個時刻有已知收益的證券(例如在時間內(nèi)有附息的債券).又設無風險利率為常數(shù)且以連??tTr續(xù)復利計算投資所獲得資金或貼現(xiàn)值.又假定為遠期合約有效期內(nèi)的現(xiàn)金收益總額的現(xiàn)值??It(貼現(xiàn)率為無風險利率).在此假定