數(shù)學(xué)金融學(xué)第八章連續(xù)時(shí)間市場(chǎng)1

1、長(zhǎng)沙理工大學(xué)備課紙長(zhǎng)沙理工大學(xué)備課紙數(shù)學(xué)金融學(xué)第八章連續(xù)時(shí)間市場(chǎng)第1頁共31頁第八章連續(xù)時(shí)間證券市場(chǎng)本章開始討論連續(xù)時(shí)間問題.我們假定讀者具有初步的隨機(jī)分析知識(shí)如果讀者還有一些控制理論方面的知識(shí)則更好.有關(guān)隨機(jī)分析的一些定義和結(jié)果讀者可以參閱本書的附錄口另外我們作如下說明:在隨機(jī)分析中人們遇到的等式或不等式往往是以概率1成立的(未必是對(duì)所有的均成立)在一般的文獻(xiàn)中常常用記號(hào)來表示(英文almostsurely的縮寫).???..sa為了

2、記號(hào)簡(jiǎn)便起見我們約定一般不用(除非有特別的強(qiáng)調(diào))但是所有遇到的等式或不等式..sa均理解為“以概率l成立”.8.1證券市場(chǎng)的描述假定在一個(gè)金融市場(chǎng)(記作)中有l(wèi)種資產(chǎn):1種是所謂的無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)(即其市場(chǎng)價(jià)Mn值始終是上升的)我們稱之為債券或投資者的銀行賬戶另外種是所謂的風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)(它們的n市場(chǎng)價(jià)值未必總是上升的)為了方便起見通常這些風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)可以認(rèn)為就是普通的股票.我們知道在真實(shí)的金融市場(chǎng)中所有涉及的量均是離散的:資產(chǎn)的市場(chǎng)價(jià)值是離散的(比如

3、精確到分)交易時(shí)刻是離散的(比如精確到秒)交易量是離散的(比如至少l手)等等.利用前面章節(jié)中的結(jié)果原則上我們可以解決許多問題(未定權(quán)益定價(jià)、最優(yōu)投資問題等等).但是如果我們面臨的是一個(gè)具有1000個(gè)狀態(tài)(它們可以代表1000個(gè)有影響的投資機(jī)構(gòu)或個(gè)人獨(dú)立地參與投資所帶來的不確定因素)、1000個(gè)時(shí)段(如果每10秒采一次樣則3小時(shí)就有1080個(gè)時(shí)段)和100種股票的市場(chǎng)則很難想象用前面章節(jié)中的方法能得到深刻而簡(jiǎn)潔的結(jié)果.另一方面不難想象將離

4、散的問題“連續(xù)化”比如允許交易時(shí)刻是任何實(shí)數(shù).交易量也允許是任何實(shí)數(shù)(盡管股股票聽起來有點(diǎn)滑稽)則許多諸如微積分、隨機(jī)分析等強(qiáng)有力的數(shù)學(xué)工具就能2夠在處理金融市場(chǎng)問題中發(fā)揮作用.事實(shí)上這種“連續(xù)化”的近似使得原來非常復(fù)雜的問題變得相對(duì)容易了我們將建立這種連續(xù)化市場(chǎng)模型下若干數(shù)學(xué)金融問題的一般理論.在學(xué)習(xí)這些理論之前首先介紹一些測(cè)度論及隨機(jī)過程方面的知識(shí).一、預(yù)備知識(shí)一、預(yù)備知識(shí)設(shè)為概率測(cè)度空間??P?F(一)隨機(jī)變量的概率測(cè)度積分定義1

5、.0.0(1)若簡(jiǎn)單隨機(jī)變量其中(或)為A1iniiXaI?????12AAAn?n??n??的一個(gè)剖分若存在則稱該值為在概率測(cè)度空間上的積分記???1AniiiaP??X??P?F.(1.0.1)??1AniiiXdPaP?????(2)若為非負(fù)可測(cè)隨機(jī)變量且非負(fù)簡(jiǎn)單隨機(jī)變量列滿足XA1|01kininkkniXXaIk???????????若存在則稱該極限為在概率測(cè)度空間上的積分記kXX?limkkXdP????X??P?F.(1.

6、0.2)limkkXdPXdP???????(3)若為可測(cè)隨機(jī)變量設(shè)若X????00XXXXIXXI??????XXX????存在則稱該值為在概率測(cè)度空間上的積分記XdPXdP???????X??P?F長(zhǎng)沙理工大學(xué)備課紙長(zhǎng)沙理工大學(xué)備課紙數(shù)學(xué)金融學(xué)第八章連續(xù)時(shí)間市場(chǎng)第3頁共31頁10增量具有平穩(wěn)性即與分布ttttwww?????ttttwww?????????00tttwwwwNt??????:相同記為.dtttttwwww??????

7、?20具有獨(dú)立增量即對(duì)相互獨(dú)tw??10012ktttk??????????1|1iiittwwwik??????立.事實(shí)上:對(duì)均有又與獨(dú)立則??10012ktttk??????????111kiiiktwx???????Fkw?1kt?F??????111kkiiiikkiiPwxPwxwx???????????????????????????????????11kiikkiPwxPwx??????????????.????????2

8、1111kkiikkkkiiiiPwxPwxPwxPwx???????????????????????30對(duì)均有0ts???(1.0.6)??????????????2222|0|.tsststsststststsEwwEwwEwwEwwEwDwEwts????????????????????????????????獨(dú)立性獨(dú)立性平穩(wěn)性FF從而得到??????????????222222222||2||2||0.tsstsstsstsss

9、tssstssstsstEwwwPEwtwtEwwwwwwtEwwwEwwwtEwwswttP?????????????????????????????????????????????????:????線性性是鞅是鞅FFFFF(這是因?yàn)?若關(guān)于域可測(cè)隨機(jī)變量與(是的子域)獨(dú)立則有?F?EEF?.事實(shí)上:①對(duì)??EE???????E??AAc???FF則故??A0A011.cbIbbb???????????????AIb??E??????

10、????AAPaIbPaPIb????????所以與獨(dú)立②對(duì)?AIA??F????????AAAAAEdPdPEIEEIEdP????????????????E所以)??EE???????E40若記則當(dāng)時(shí)??2()()0fgTR???FL??twwt?0tls???(1.0.7)()()0stlEfdw??????????F(1.0.8)()()()()()()sssttlllEgdwfdwEgfd???????????????????