數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽講座 12覆蓋

1、競(jìng)賽講座12－覆蓋一個(gè)半徑為1的單位圓顯然是可以蓋住一個(gè)半徑為的圓的反過來則不然，一個(gè)半徑為的圓無法蓋住單位圓那么兩個(gè)半徑為的圓能否蓋住呢？不妨動(dòng)手實(shí)驗(yàn)一下，不行為什么不行？需幾個(gè)這樣的小圓方能蓋住大圓？……，這里我們討論的就是覆蓋問題，它是我們經(jīng)常遇到的一類有趣而又困難的問題定義設(shè)Ｇ和Ｆ是兩個(gè)平面圖形如果圖形Ｆ或由圖形Ｆ經(jīng)過有限次的平移、旋轉(zhuǎn)、對(duì)稱等變換扣得到的大小形狀不變的圖形Ｆ′上的每一點(diǎn)都在圖形Ｇ上我們就說圖形Ｇ覆蓋圖形Ｆ；反之

2、，如果圖形Ｆ或Ｆ′上至少存在一點(diǎn)不在Ｇ上，我們就說圖形Ｇ不能覆蓋圖形Ｆ關(guān)于圖形覆蓋，下述性質(zhì)是十分明顯的：（１）圖形Ｇ覆蓋自身；（２）圖形Ｇ覆蓋圖形Ｅ，圖形Ｅ覆蓋圖形Ｆ，則圖形Ｇ覆蓋圖形Ｆ１最簡(jiǎn)單情形――用一個(gè)圓覆蓋一個(gè)圖形首先根據(jù)覆蓋和圓的定義及性質(zhì)即可得到：定理１如果能在圖形Ｆ所在平面上找到一點(diǎn)Ｏ，使得圖形Ｆ中的每一點(diǎn)與Ｏ的距離都不大于定長(zhǎng)ｒ，則Ｆ可被一半徑為ｒ的圓所覆蓋定理２對(duì)于二定點(diǎn)Ａ、Ｂ及定角α若圖形Ｆ中的每點(diǎn)都在ＡＢ同側(cè)，且

3、對(duì)Ａ、Ｂ視角不小于α，則圖形Ｆ被以ＡＢ為弦，對(duì)ＡＢ視角等于α的弓形Ｇ所覆蓋在用圓去覆蓋圖形的有關(guān)問題的研究中，上述二定理應(yīng)用十分廣泛例１求證：（１）周長(zhǎng)為２ｌ的平行四邊形能夠被半徑為的圓面所覆蓋（２）桌面上放有一絲線做成的線圈，它的周長(zhǎng)是２ｌ，不管線圈形狀如何，都可以被個(gè)半徑為的圓紙片所覆蓋分析（１）關(guān)鍵在于圓心位置，考慮到平行四邊形是中心對(duì)稱圖形，可讓覆蓋圓圓心與平行四邊形對(duì)角線交點(diǎn)疊合（２）＂曲＂化＂直＂對(duì)比（１），應(yīng)取均分線圈的二

4、點(diǎn)連線段中點(diǎn)作為覆蓋圓圓心證明（１）如圖４５－１，設(shè)ＡＢＣＤ的周長(zhǎng)為２ｌ，ＢＤ≤ＡＣ，ＡＣ、ＢＤ交于Ｏ，Ｐ為周界上任意一點(diǎn)，不妨設(shè)在ＡＢ上，則∠１≤∠２≤∠３，有ＯＰ≤ＯＡ又ＡＣ＜ＡＢ＋ＢＣ＝ｌ，故ＯＡ＜因此周長(zhǎng)為２ｌ的平行四邊形ＡＢＣＤ可被以Ｏ為圓心；半徑為的圓所覆蓋，命題得證圖形Ｇ１，Ｇ２，…，Ｇｎ為ｎ個(gè)圓是一特殊情形例４以ＡＢＣＤ的邊為直徑向平行四邊形內(nèi)作四個(gè)半圓，證明這四個(gè)半圓一定覆蓋整個(gè)平行四邊形分析１ＡＢＣＤ的每一點(diǎn)至少被某

5、個(gè)半圓所蓋住證明１用反證法如圖４５－４設(shè)存在一點(diǎn)Ｐ在以ＡＢ、ＢＣ、ＣＤ、ＤＡ為直徑的圓外，根據(jù)定理二，∠ＡＰＢ，∠ＢＰＣ，∠ＣＰＤ∠ＤＰＡ均小于９０，從而∠ＡＰＢ＋∠ＢＰＣ＋∠ＣＰＤ＋∠ＤＰＡ＜３６０與四角和應(yīng)為周角相矛盾故Ｐ應(yīng)被其中一半圓蓋住，即所作四個(gè)半圓覆蓋ＡＢＣＤ分析２劃片包干，如圖４５－５，將ＡＢＣＤ分為若干部分，使每一部分分別都被上述四個(gè)半圓所覆蓋證明２在ＡＢＣＤ中，如圖４５－５，設(shè)ＡＣ≥ＢＤ分別過Ｂ、Ｄ引垂線ＢＥ、ＤＦ垂直

6、ＡＣ，交ＡＣ于Ｅ、Ｆ，將ＡＢＣＤ分成四個(gè)直角三角形，△ＡＢＥ、△ＢＣＥ、△ＣＤＦ、△ＤＡＦ每一個(gè)直角三角形恰好被一半圓所覆蓋，從而整個(gè)四邊形被四個(gè)半圓所覆蓋上述結(jié)論可推廣到任意四邊形，留給讀者考慮例５求證：一個(gè)直徑為１的圓不能被兩個(gè)直徑小于１的圓所覆蓋證明如圖４５－６，先考慮其中一個(gè)小圓即⊙Ｏ１去覆蓋大圓Ｏ，連Ｏ１、Ｏ過Ｏ作ＡＢ⊥Ｏ１Ｏ，ＡＢ為⊙Ｏ的直徑（若Ｏ１、Ｏ重合，那么ＡＢ為任意直徑）此時(shí)故Ａ、Ｂ兩點(diǎn)都不能被⊙Ｏ１蓋住至于另一小圓