05 第五節(jié) 函數(shù)的微分

1、第五節(jié)函數(shù)的微分在理論研究和實際應用中，常常會遇到這樣的問題：當自變量有微小變化時，求函x數(shù)的微小改變量)(xfy?.)()(xfxxfy?????這個問題初看起來似乎只要做減法運算就可以了，然而，對于較復雜的函數(shù)，差值)(xf卻是一個更復雜的表達式，不易求出其值.一個想法是：我們設法將表)()(xfxxf???y?示成的線性函數(shù)，即線性化線性化，從而把復雜問題化為簡單問題.微分就是實現(xiàn)這種線性化x?的一種數(shù)學模型.分布圖示分布圖示★引

2、言★問題的提出★微分的定義★可微的條件★例12★基本微分公式★微分運算法則★例3★例4★微分的幾何意義★復合函數(shù)的微分法★例5★例6★例7★例8★例9★例10★微分近似計算公式★例11★例12★常用近似計算公式★例13★誤差計算★例14★內(nèi)容小結★課堂練習★習題25★返回內(nèi)容要點內(nèi)容要點一、微分的定義一、微分的定義定義定義1設函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)有定義及在這區(qū)間內(nèi)如果函數(shù)的增)(xfy?0xxx??0量可表示為)()(00xfxxfy????

3、?(5.1))(xoxAy??????其中A是與無關的常數(shù)則稱函數(shù)在點可微可微并且稱為函數(shù)在x?)(xfy?0xxA??)(xfy?點處相應于自變量改變量的微分微分記作即0xx?dy(5.2)xAdy???二、函數(shù)可微的條件二、函數(shù)可微的條件(5.8)dxxfdy)(??(5.9))(xfdxdy??即，函數(shù)的導數(shù)等于函數(shù)的微分與自變量的微分的商.因此，導數(shù)又稱為“微商微商”.三、微分的幾何意義三、微分的幾何意義四、基本初等函數(shù)的微分公

4、式與微分運算法則四、基本初等函數(shù)的微分公式與微分運算法則五、微分形式不變性五、微分形式不變性無論是自變量還是復合函數(shù)的中間變量函數(shù)的微分形式總是可以按微分定u)(ufy?義的形式來寫，即有duufdy)(??這一性質(zhì)稱為微分形式的不變性微分形式的不變性.利用這一特性，可以簡化微分的有關運算.六、利用微分進行近似計算六、利用微分進行近似計算：近似值的計算誤差計算解)1ln(2xeddy??)1(1122xxede???)(11222xde

5、exx??xdxeexx2122??.1222dxexexx??例7(E06)設求)1ln(2???xxy.dy解)1ln(2???xxddy)1(1122?????xxdxxdxxxxx?????????????111122.112dxx??例8(E07)已知求.22xeyx?dy解222222)()()(xxdeedxdyxx??422222xxdxedxexxx????.)1(232dxxxex??例9(E08)在下列等式的括號中

6、填入適當?shù)暮瘮?shù)使等式成立.tdtd?cos)(?(1)(2)dtd?cos)(?).()()(sin2xdxd?解(1)?cos)(sintdttd?????)(sin1costdtdt????)sin1(td???一般地，有.cossin1tdtCtd???????????(2)cos421cos2)()(sin222xxxdxxdxxxxdxd???).()cos4()(sin22xdxxxxd??例10(E09)求由方程所確定的隱