第五章 導數(shù)與微分

1、第五章導數(shù)與微分導數(shù)與微分11導數(shù)導數(shù)在第一章我們研究了函數(shù)，，函數(shù)的概念刻畫了因變量隨自變量變化的依賴關(guān)系，但是，對研究運動過程來說，僅知道變量之間的依賴關(guān)系是不夠的，還需要進一步知道因變量隨自變量變化的快慢程度，比如我國的衛(wèi)星發(fā)射技術(shù)已進入世界先進行列，并且即將發(fā)射載人宇宙飛船，火箭升空過程中飛行速度的變化非?？?，我們對它每時每刻的飛行速度都必須準確的把握，才能確?；鸺郎蕰r進入預(yù)定的軌道，可見研究物體每時每刻的速度是很重要的，掌握速

2、度變化規(guī)律是科學技術(shù)中的一個重要課題。一、實例一、實例1、變速運動物體的速度問題變速運動物體的速度問題在中學里我們學過平均速度，平均速度只能使我們對物ts??體在一段時間內(nèi)的運動大致情況有個了解，這不但對于火箭發(fā)射控制不夠，就是對于比火箭速度慢的多的火車、汽車運行情況也是不夠的，火車上坡、下坡、轉(zhuǎn)彎、穿隧道時速度都有一定的要求，至于火箭升空那就不僅要掌握火箭的度，而且要掌握火箭飛行速度的變化規(guī)律。不過瞬時速度的概念并不神秘，它可以通過平

3、均速度的概念來把握。根據(jù)牛頓第一運動定理，物體運動具有慣性，不管它的速度變化多么快，在一段充分短的時間內(nèi)，它的速度變化總是不大的，可以近似看成勻速運動。通常把這種近似代替稱為“以勻代不勻”。設(shè)物體運動的路程是時間的函數(shù)，則在到這段時間內(nèi)的平均速度為)(tS0tt00tt)S(tS(t)v???可以看出與越接近，平均速度與時刻的瞬時速度越接近，當無限接t0tv0tt近時，平均速度就發(fā)生了一個質(zhì)的飛躍，平均速度轉(zhuǎn)化為物體在時刻的瞬時速度，0

4、tv0t即物體在時刻的瞬時速度為0t（1）00tt0tt)S(tS(t)lim)v(t0????按照這種思想和方法計算自由落體的瞬時度如下：因為自由落體運動的運動方程為：（11）等.000xxxxxx0|dxdf|dxdy|y)(xf?????若上述極限不存在，則稱在點不可導。f0x注：令，，則（3）式可改寫為xxx???0)()(00xfxxfy????（4）)(xfΔx)f(xΔx)f(xlimΔxΔylim0000Δx0Δx???

5、????所以，導數(shù)是函數(shù)增量△y與自變量增量△x之比的極限，這個增量比稱為函數(shù)關(guān)xy??于自變量的平均變化率（又稱差商），而導數(shù)則為在處關(guān)于的變化率，它能)(0xf?f0xx夠近似描繪函數(shù)在點附近的變化性態(tài)。)(xfy?0x三、例題三、例題例1求函數(shù)在點x=1處的導數(shù)，并求曲線在點（1，1）處的切線方程。2)(xxf?解：由定義求得Δx1Δx)(1limΔxf(1)Δx)f(1lim(1)f20Δx0Δx?????????2Δx)(2l

6、imΔxΔx2Δxlim0Δx20Δx???????由此知道拋物線在點（1，1）處2xy?的切線斜率為2(1)fk???所以切線方程為1)2(x1y???即.12??xy例2求函數(shù)在處xy1?00?x的導數(shù)解根據(jù)導數(shù)的定義20000Δx00000Δx000Δx0x1Δx)(xx1limΔx)(xΔxxΔxxxlimΔxx1Δxx1lim)(xf????????????????例3證明函數(shù)在點處不可導.|x|f(x)?0x0?證:因為??