橢圓經典解題思路

1、1橢圓標準方程典型例題橢圓標準方程典型例題例1已知橢圓已知橢圓的一個焦點為（的一個焦點為（0，2）求）求的值的值06322???mymxm分析：分析：把橢圓的方程化為標準方程，由，根據(jù)關系可求出的值2?c222cba??m解：解：方程變形為因為焦點在軸上，所以，解得12622??myxy62?m3?m又，所以，適合故2?c2262??m5?m5?m例2已知橢圓的中心在原點，且經過點已知橢圓的中心在原點，且經過點，，求橢圓的標準方程，求橢

2、圓的標準方程??03，Pba3?分析：分析：因橢圓的中心在原點，故其標準方程有兩種情況根據(jù)題設條件，運用待定系數(shù)法，求出參數(shù)和（或和）的值，即可求得橢圓的標準方程ab2a2b解：解：當焦點在軸上時，設其方程為x??012222????babyax由橢圓過點，知又，代入得，，故橢圓的方程為??03，P10922??baba3?12?b92?a1922??yx當焦點在軸上時，設其方程為y??012222????babxay由橢圓過點，知又，

3、聯(lián)立解得，，故橢圓的方程為??03，P10922??baba3?812?a92?b198122??xy例3的底邊的底邊，和兩邊上中線長之和為兩邊上中線長之和為30，求此三角形重心，求此三角形重心的軌跡和頂點的軌跡和頂點的軌的軌ABC?16?BCACABGA跡跡分析：分析：（1）由已知可得，再利用橢圓定義求解20??GBGC（2）由的軌跡方程、坐標的關系，利用代入法求的軌跡方程GGAA解：解：（1）以所在的直線為軸，中點為原點建立直角坐標

4、系設點坐標為，由BCxBCG??yx，，知點的軌跡是以、為焦點的橢圓，且除去軸上兩點因，，有，20??GBGCGBC10?a8?c6?b故其方程為??013610022???yyx（2）設，，則①??yxA，??yxG??，??013610022??????yyx3解：解：如圖所示，設動圓和定圓內切于點動點到兩定點，PBMP即定點和定圓圓心距離之和恰好等于定圓半徑，??03，?A??03，B即∴點的軌跡是以，為兩焦點，8?????BMP

5、BPMPBPAPAB半長軸為4，半短軸長為的橢圓的方程：73422???b171622??yx說明：說明：本題是先根據(jù)橢圓的定義，判定軌跡是橢圓，然后根據(jù)橢圓的標準方程，求軌跡的方程這是求軌跡方程的一種重要思想方法例7已知橢圓已知橢圓，（1）求過點）求過點且被且被平分的弦所在直線的方程；平分的弦所在直線的方程；1222??yx??????2121，PP（2）求斜率為）求斜率為2的平行弦的中點軌跡方程；的平行弦的中點軌跡方程；（3）過）過

6、引橢圓的割線，求截得的弦的中點的軌跡方程；引橢圓的割線，求截得的弦的中點的軌跡方程；??12，A（4）橢圓上有兩點）橢圓上有兩點、，為原點，且有直線為原點，且有直線、斜率滿足斜率滿足，PQOOPOQ21???OQOPkk求線段求線段中點中點的軌跡方程的軌跡方程PQM分析：分析：此題中四問都跟弦中點有關，因此可考慮設弦端坐標的方法解：解：設弦兩端點分別為，，線段的中點，則??11yxM，??22yxN，MN??yxR，??????????

7、?????④，③，②，①，yyyxxxyxyx222222212122222121①－②得????????0221212121??????yyyyxxxx由題意知，則上式兩端同除以，有21xx?21xx?，????0221212121?????xxyyyyxx將③④代入得⑤022121????xxyyyx（1）將，代入⑤，得，故所求直線方程為：⑥21?x21?y212121????xxyy0342???yx將⑥代入橢圓方程得，符合題意，