2通過(guò)對(duì)三垂線(xiàn)定理的探求過(guò)程,進(jìn)一步滲透立體幾何證明

1、§1．11　 三垂線(xiàn)定理     教學(xué)目標(biāo)1．使學(xué)生理解并掌握三垂線(xiàn)定理及其三垂線(xiàn)定理的逆定理；2．通過(guò)對(duì)三垂線(xiàn)定理的探求過(guò)程，進(jìn)一步滲透立體幾何證明中的轉(zhuǎn)化思想．具體體現(xiàn)在線(xiàn)線(xiàn)與線(xiàn)面垂直的辯證關(guān)系上；3．能初步掌握三垂線(xiàn)定理與三垂線(xiàn)定理逆定理的應(yīng)用．注意培養(yǎng)學(xué)生對(duì)變異形式下三垂線(xiàn)定理的應(yīng)用能力．進(jìn)一步提高學(xué)生的空間想象能力．,,教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn) 1．三垂線(xiàn)定理的引入與證明，在

2、教學(xué)過(guò)程中發(fā)展學(xué)生的探索能力； 2．變異位置下三垂線(xiàn)定理的應(yīng)用．教學(xué)設(shè)計(jì)過(guò)程 師：請(qǐng)同學(xué)回憶空間中的兩條直線(xiàn)具有什么樣的位置關(guān)系？ （思維從問(wèn)題開(kāi)始，點(diǎn)明這節(jié)課是研究空間兩直線(xiàn)位置關(guān)系的繼續(xù)） 生：相交、平行或異面． 師：對(duì)．我們可把上述三種情況表述為,,其中空間兩條直線(xiàn)平行，這種特殊位置關(guān)系我們已經(jīng)研究過(guò)了．兩條直線(xiàn)相交與異面的另一特殊位置關(guān)系——空間兩直線(xiàn)互相垂直

3、，值得作深入的研究．而相交兩直線(xiàn)的垂直問(wèn)題，我們已經(jīng)在平面幾何中作過(guò)系統(tǒng)的研究，現(xiàn)在我們重點(diǎn)研究異面直線(xiàn)互相垂直的情況．（進(jìn)一步點(diǎn)明研究空間直線(xiàn)和直線(xiàn)的垂直問(wèn)題） 我們的問(wèn)題是：如何判定兩條異面直線(xiàn)的垂直位置關(guān)系呢？ 生：根據(jù)兩條異面直線(xiàn)互相垂直的定義來(lái)判定．即如果兩條異面直線(xiàn)所成的角為90°，則稱(chēng)這兩條異面直線(xiàn)互相垂直． 師：回答得很好．實(shí)際上是根據(jù)兩條異面直線(xiàn)所成的角為直角來(lái)判定的．這是由兩條異面直線(xiàn)垂直的定

4、義來(lái)判定，即定義法．但這樣歸結(jié)為定義判定往往在操作上不是很簡(jiǎn)便，在今后的證明中運(yùn)用也不太方便，能不能換一個(gè)角度考慮呢？有沒(méi)有判定兩條異面直線(xiàn)垂直的比較簡(jiǎn)便的方法呢？（進(jìn)一步調(diào)動(dòng)學(xué)生思維，拋開(kāi)定義去探求新的判定方法） 生：可利用直線(xiàn)和平面垂直的性質(zhì)定理來(lái)判定．即如果一條直線(xiàn)垂直于一個(gè)平面，那么它就和這個(gè)平面內(nèi)的任何一條直線(xiàn)垂直，而平面內(nèi)存在無(wú)數(shù)多條直線(xiàn)與該垂線(xiàn)異面，這樣就可以判定了． 師：很好！同學(xué)們已經(jīng)掌握了證明線(xiàn)線(xiàn)垂直的

5、基本思維方法．要證線(xiàn)線(xiàn)垂直，只需證線(xiàn)面垂直．,（為三垂線(xiàn)定理的證明埋下伏筆?。?如圖1，若l⊥α，a α，則l⊥a． 但這里l⊥α，情況太特殊了，如果l與a斜交呢？即l為平面α的斜線(xiàn)，能不能判定平面內(nèi)的直線(xiàn)a與直線(xiàn)l垂直呢？ 畫(huà)出圖2，a α，l∩α＝O，（l α）．這時(shí)你又如何判定a與l是否垂直呢？（提出問(wèn)題，請(qǐng)學(xué)生思考） 師：進(jìn)一步啟發(fā)（分析圖2）根據(jù)線(xiàn)面垂直的定義，我們知道 如果直線(xiàn)a能垂直于

6、過(guò)直線(xiàn)l的一個(gè)平面，那么a⊥l． 于是，新問(wèn)題是：如何找出這樣一個(gè)平面——過(guò)l且與a垂直的平面呢？我們知道，滿(mǎn)足條件的這樣一個(gè)平面必須有兩條相交直線(xiàn)（l當(dāng)然不在其內(nèi)）都與直線(xiàn)a垂直，能不能先解決一部分，即先作出一條與l相交的直線(xiàn)又與a垂直呢？,,（啟而不發(fā)，由學(xué)生思考） 生：過(guò)l上一點(diǎn)P（異于點(diǎn)O），作PA⊥α于A(yíng)，則由線(xiàn)面垂直的性質(zhì)有a⊥PA． 師：很好！在圖3中，作出PA⊥α于A(yíng)（此時(shí)不連結(jié)AO），并板書(shū)

7、 由PA∩PO＝P，確定平面PAO，要使a⊥l，只需a⊥平面PAO．故只要有平面PAO內(nèi)的另一條直線(xiàn)與a垂直就行了！而平面PAO內(nèi)的哪一條線(xiàn)用起來(lái)最方便呢？,,,,生：一條直線(xiàn)如果和這個(gè)平面的一條斜線(xiàn)在平面內(nèi)的射影垂直，那么它也和這條斜線(xiàn)垂直． 師：對(duì)嗎？請(qǐng)同學(xué)看是否正確？ 生：不對(duì)，首先應(yīng)刻畫(huà)“在平面內(nèi)”的一條直線(xiàn)． 師：對(duì)！這非常重要（板書(shū)三垂線(xiàn)定理）．試分析定理中的關(guān)鍵

8、詞語(yǔ)，并用符號(hào)語(yǔ)言表述． 如圖4，PA⊥α于A(yíng)，PO∩α＝O，AO是PO在平面α上的射影．a(chǎn) α，若a⊥AO，則a⊥PO．請(qǐng)寫(xiě)出條件和結(jié)論．（板書(shū)）已知：PA⊥α于A(yíng)，PO∩α＝O，（這里已隱含AO為斜線(xiàn)PO在平面α上的射影）a α，a⊥AO．求證：a⊥PO．（請(qǐng)學(xué)生完成證明過(guò)程．事實(shí)上通過(guò)前面的探求過(guò)程等于已把這條定理證明了．只要請(qǐng)學(xué)生到黑板板演，并訂正即可）,兩位同學(xué)總結(jié)了這三個(gè)垂直，哪個(gè)垂直是關(guān)鍵呢？顯然平

9、面α的垂線(xiàn)PA是關(guān)鍵！我們?nèi)绾斡洃涍@條定理呢？生甲：平面內(nèi)一直線(xiàn)只要與射影垂直，則與斜線(xiàn)垂直．生乙：我記憶為先有平面內(nèi)垂直，再轉(zhuǎn)化到空間的垂直關(guān)系．師：很好！兩位同學(xué)的記憶方法各有千秋，可按自己的習(xí)慣給予記憶．實(shí)際上兩位同學(xué)的本質(zhì)是一樣的，還應(yīng)強(qiáng)調(diào)PA⊥α于A(yíng)的前提條件和a α內(nèi)的關(guān)鍵詞語(yǔ)．要深刻理解該定理的證明思路，證明中主要體現(xiàn)了什么數(shù)學(xué)思想？生：轉(zhuǎn)化的思想，即要證線(xiàn)線(xiàn)垂直，只要轉(zhuǎn)化為證線(xiàn)面垂直，就可以了．師：請(qǐng)同學(xué)探求

10、一下平面內(nèi)的直線(xiàn)a就這一條嗎？生：不止一條，因?yàn)樵谄矫姒羶?nèi)，只要與a平行的直線(xiàn)，就一定和射影垂直，則它必定和斜線(xiàn)垂直，這樣的直線(xiàn)是一組平行直線(xiàn)．,師：演示一組抽拉投影片．如圖5，只需將動(dòng)片（含直線(xiàn)a的抽拉片）左、右抽動(dòng)，即可顯示這一組平行直線(xiàn)．當(dāng)且僅當(dāng)a通過(guò)O點(diǎn)時(shí)a與PO是共面垂直，而其余的都是異面垂直關(guān)系．（圖中框片1為固定不動(dòng)，片2可以抽拉，a畫(huà)在2上，左、右抽拉可顯示a的運(yùn)動(dòng)過(guò)程為一組平行直線(xiàn)） 師：你能構(gòu)造三

11、垂線(xiàn)定理的逆命題嗎？判斷它是真命題嗎？并證明．（前面在三垂線(xiàn)定理的探求過(guò)程中，已把它的大前提、小前提及結(jié)論分析清楚，故在這里學(xué)生可比較順利地構(gòu)造出它的逆命題）生：只要把三垂線(xiàn)定理中的小前提a⊥AO，與結(jié)論中的a⊥PO互換一下就可以了．,,（師把板書(shū)中的條件a⊥AO與結(jié)論a⊥OP互換）是真命題嗎？ 生：是！與三垂線(xiàn)定理的證明思路一樣．,,例1  如圖6，PA垂直于以AB為直徑的圓O平面，C為圓O上任一點(diǎn)（異于A(yíng)，

12、B）．試判斷圖中共有幾個(gè)直角三角形，并說(shuō)明理由．（這是立體幾何中一個(gè)重要圖形．既有線(xiàn)面垂直問(wèn)題，又有線(xiàn)線(xiàn)垂直，既有三垂線(xiàn)定理的應(yīng)用，又有平面幾何知識(shí)的運(yùn)用）生甲：兩個(gè)．分別是Rt△PAC，Rt△PAB．生乙：三個(gè)．還應(yīng)有Rt△PCB． 師：誰(shuí)是直角？理由是什么,,生乙：∠PCB，由三垂線(xiàn)定理可證．師：你能敘述一下嗎？根據(jù)三垂線(xiàn)定理的操作程序敘述清楚．生乙：因?yàn)镻A⊥⊙O平面，PC∩⊙O面＝C，因?yàn)椤螦CB

13、＝90°，即BC⊥AC，所以BC⊥PC．師：生乙證明中，什么地方還應(yīng)再?gòu)?qiáng)調(diào)一下．生丙：BC 平面⊙O．師：除這三個(gè)直角三角形外，還有嗎？生：還應(yīng)有一個(gè)Rt△ABC，因?yàn)橹睆缴系膱A周角為直角．師：好！這樣才全面認(rèn)識(shí)了這個(gè)空間圖形．事實(shí)上圖形P-ABC是一個(gè)三棱錐．原來(lái)三棱錐的四個(gè)面可以都是直角三角形，請(qǐng)同學(xué)思考：你能再構(gòu)造一個(gè)三棱錐，使它的四個(gè)面全是直角三角形嗎？（課下繼續(xù)思考）師：通過(guò)例1，作出判斷的關(guān)鍵是什么？

14、 生：平面的垂線(xiàn)PA是關(guān)鍵，有它就能保證前三個(gè)Rt△．,課堂教學(xué)小結(jié) 這節(jié)課我們通過(guò)對(duì)“平面內(nèi)是否存在與平面的斜線(xiàn)垂直的直線(xiàn)”問(wèn)題的探討．具體方法是把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“平面內(nèi)的直線(xiàn)與平面的斜線(xiàn)在平面上唯一的直線(xiàn)——射影”的位置關(guān)系的研究，而得出三垂線(xiàn)定理．這充分體現(xiàn)了研究立體幾何的基本思想方法——降維轉(zhuǎn)化的思想方法，將空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題來(lái)解決． 對(duì)三垂線(xiàn)定理本質(zhì)的理解有如下四點(diǎn)：（1）從證明思路看 a⊥AO