小學(xué)五年級(jí)奧數(shù)上第四講帶余除法

1、第四講,帶余數(shù)的除法,,,回顧整除的意義,回顧：整除 在除法15÷3=5中，沒(méi)有余數(shù)，（也可以說(shuō)余數(shù)是0）我們把這種除法叫做 ，15是3的 ，也是商5的 ，除數(shù)3和商5都是被除數(shù)15的 。他們之間有這樣的關(guān)系： 15÷3=5 、 15÷5=3、 15=3×5即 被除數(shù)÷除數(shù)=商 被除數(shù)÷商

2、=除數(shù) 被除數(shù)=除數(shù)×商,,,,整除,倍數(shù),倍數(shù),約數(shù),也就是說(shuō)：在被除數(shù)、商、余數(shù)中，知道其中任何兩個(gè)，就可以求出第三個(gè)。,帶余除法的意義,做除法16÷3你發(fā)現(xiàn)它與15÷3有什么不同： 16÷3=5……1 即16=3×5+1 ，此時(shí)被除數(shù)除以除數(shù)出現(xiàn)了余數(shù)，我們把這種除法叫做 。這里，仍然把5叫做商 ，把1叫做16除以3的余數(shù)。被除數(shù)、

3、除數(shù)、商、余數(shù)之間的關(guān)系被除數(shù)=除數(shù)×商+余數(shù),,,,,帶余除法,簡(jiǎn)單應(yīng)用（1）被除數(shù)=除數(shù)×商+余數(shù)的應(yīng)用,例1、一個(gè)數(shù)除以26，商為15，余數(shù)是12，求這個(gè)數(shù)解：∵被除數(shù)=除數(shù)×商+余數(shù) ∴被除數(shù)=26×15+12=例2、127除以一個(gè)數(shù)，商和余數(shù)分別是6和7，求這個(gè)數(shù)解： ∵被除數(shù)=除數(shù)×商+余數(shù)，即127=除數(shù)×6+7

4、∴ 127=除數(shù)× 6+7 除數(shù)× 6=127－7=120 除數(shù)=,,,,,390+12=402,綜合運(yùn)用（一）被除數(shù)=除數(shù)×商+余數(shù)的應(yīng)用,例1、一個(gè)兩位數(shù)去除251，得到的余數(shù)是41 ，求這個(gè)兩位數(shù)解：根據(jù)被除數(shù)=除數(shù)×商+余數(shù)可知 251=除數(shù)×商+41 即210=除數(shù)×商

5、且除數(shù)大于41 ∵210＝2×3×5×7 ＝2×105＝3×70＝5×42 ∴這個(gè)兩位數(shù)是42或者70。,,,綜合運(yùn)用（一）被除數(shù)=除數(shù)×商+余數(shù)的應(yīng)用,例2、用一個(gè)自然數(shù)去除另一個(gè)整數(shù)，商40，余數(shù)是16。被除數(shù)、除數(shù)、商與余數(shù)的和是933。求被除數(shù)和除數(shù)各是多少？解 根據(jù)被除數(shù)=除數(shù)×商+余數(shù)可知

6、 被除數(shù)=除數(shù)×40+16由 被除數(shù)＋除數(shù)＋商＋余數(shù)＝933可得 除數(shù)×40＋16＋除數(shù)＋40＋16＝933 ∴除數(shù)×40＋除數(shù)＝861 即 除數(shù)×41=861∴除數(shù)＝861÷41＝21 被除數(shù)＝21×40＋16＝856,,,,,被除數(shù)、除數(shù)、商、余數(shù)關(guān)系應(yīng)用的思路回眸,1、在 關(guān)系式 被除數(shù)=除數(shù)×商+余數(shù) 中，知道

7、其中任何三個(gè)，就可以求出第三個(gè)。如果不能迅速地列出算式，可以將所給的條件代入關(guān)系式中尋找。2、當(dāng)題目中所給的條件與被除數(shù)，除數(shù)，商及余數(shù)有關(guān)時(shí)，常?？梢钥紤]利用關(guān)系式被除數(shù)=除數(shù)×商+余數(shù)進(jìn)行分析和解答,簡(jiǎn)單應(yīng)用（2）利用余數(shù)解決排序問(wèn)題,例1、如上圖，含有紅藍(lán)兩種顏色的一串珠子按規(guī)律穿在一條細(xì)絲線上，你能告訴大家第2011個(gè)珠子的顏色嗎？分析：所穿珠子的規(guī)律解：這串珠子的規(guī)律是每九個(gè)為一個(gè)循環(huán)，其中的第1、3、6個(gè)是

8、紅色的， 2011÷9=223…4所以，第2011個(gè)珠子是藍(lán)色的。,,,,,簡(jiǎn)單應(yīng)用（2）利用余數(shù)解決排序問(wèn)題,例2、今天是2011年11月12日，星期六，明年的11月12日是星期幾？（沒(méi)寫(xiě)答案）例3、某年十月里有五個(gè)星期六，四個(gè)星期天日，想一想，這年的10月1日是星期幾？解：因?yàn)?0月份有31天，每周有7天 31÷7＝4………3。根據(jù)題意可知有5天的一定是星期四、星期五、星期六。所以，1

9、0月1日是星期四。,,,,,例4、3月18日是星期日，從3月17日作為第一天往回?cái)?shù)，[即3月16日（第二天），15日（第三天），……]的第1993天是星期幾？分析：每周有7天， 19937=284（周）……5（天）從星期日往回?cái)?shù)5天是星期二，所以第1993天是星期二。,簡(jiǎn)單應(yīng)用（2）利用余數(shù)解決排序問(wèn)題,有關(guān)排序的小結(jié),在循環(huán)排序問(wèn)題中，應(yīng)當(dāng)首先找到排序的規(guī)律，再利用除法求出排了多少輪，余數(shù)是多少。進(jìn)而得出結(jié)論。,小結(jié)與作業(yè)

10、,今天學(xué)習(xí)了什么：1、帶余除法中的數(shù)量關(guān)系： 被除數(shù)=除數(shù)×商+余數(shù)當(dāng)題目中所給的條件與被除數(shù)，除數(shù)，商及余數(shù)有關(guān)時(shí)，常?？梢钥紤]利用關(guān)系式被除數(shù)=除數(shù)×商+余數(shù)進(jìn)行分析和解答2、排序問(wèn)題：在循環(huán)排序問(wèn)題中，應(yīng)當(dāng)首先找到排序的規(guī)律，再利用除法求出排了多少輪，余數(shù)是多少。進(jìn)而得出結(jié)論。第一次作業(yè)：課本習(xí)題四1、,補(bǔ)充作業(yè),1、某年的十月份有5個(gè)星期二，4個(gè)星期三，這年的十月一日是星期幾？2、某年的二月份有5

11、個(gè)星期一，4個(gè)星期二，二月一是星期幾？ 3、兩個(gè)自然數(shù)相除, 商是22, 余數(shù)是8, 被除數(shù)、除數(shù)、商、余數(shù)之和為866, 那么被除數(shù)和除數(shù)分別等于多少?4、王老師準(zhǔn)備將872個(gè)筆記本分給六年級(jí)二班的學(xué)生，她簡(jiǎn)單計(jì)算之后，又補(bǔ)上21個(gè)筆記本，這樣就可以將筆記本平均分給班里每個(gè)學(xué)生. 問(wèn)：六年級(jí)二班有多少名學(xué)生？（47人）,補(bǔ)充作業(yè),1、某年的十月份有5個(gè)星期二，4個(gè)星期三，這年的十月一日是星期幾？解：十月份有31天，31÷

12、;7＝4……3，由題意知，這一月的31日是星期二，有五天的是星期日、星期一，星期二，所以這一年的十月一日是星期日。,,2、某年的二月份有5個(gè)星期一，4個(gè)星期二，二月一是星期幾？分析：如果是平年，二月份有28天，28÷7＝4。都是4天，由題意知，這一年是閏年，有29天，29÷7＝4……1，因此，二月一是星期一。,3、兩個(gè)自然數(shù)相除, 商是22, 余數(shù)是8, 被除數(shù)、除數(shù)、商、余數(shù)之和為866, 那么被除數(shù)和除數(shù)分別等

13、于多少?解 根據(jù)被除數(shù)=除數(shù)×商+余數(shù)可知 被除數(shù)=除數(shù)×22+8由 被除數(shù)＋除數(shù)＋商＋余數(shù)＝866可得 除數(shù)×22＋8＋除數(shù)＋22＋8＝866 ∴除數(shù)×22＋除數(shù)＝828 即 除數(shù)×23=828∴除數(shù)＝828÷23＝36 被除數(shù)＝36×22＋8＝800,,,,,,4、王老師準(zhǔn)備將872個(gè)筆記本分給六年級(jí)

14、二班的學(xué)生，她簡(jiǎn)單計(jì)算之后，又補(bǔ)上21個(gè)筆記本，這樣就可以將筆記本平均分給班里每個(gè)學(xué)生. 問(wèn)：六年級(jí)二班有多少名學(xué)生？（47人）分析：872加上21后是學(xué)生人數(shù)的倍數(shù) 872+21=893=19×47,,,第二課時(shí),今天我們探究的問(wèn)題是：1、帶余除法中余數(shù)不變的規(guī)律。2、帶余除法余數(shù)不變規(guī)律的應(yīng)用——逐步滿足條件法,帶余除法的一些簡(jiǎn)單規(guī)律（1）,1、我們看下面的算式： 15

15、7;6=2… …3 （15+6）÷6=（15+6×2）÷6=（15+6×3）÷6=（15+6×7）÷6=我們發(fā)現(xiàn)這樣的規(guī)律：規(guī)律（一）被除數(shù)加上除數(shù)的倍數(shù)后，結(jié)果的余數(shù)不變 .,,,也可以說(shuō)：要想保持余數(shù)不變，被除數(shù)要加上除數(shù)的倍數(shù),3… …3,4… …3,5… …3,9… …3,“被除數(shù)加上除數(shù)的倍數(shù)后，結(jié)果的余數(shù)不變 ”的簡(jiǎn)單應(yīng)用

16、,例、143除以7余3，除以8余7，除以12余11，1000以?xún)?nèi)還有這樣的數(shù)嗎？如果有，請(qǐng)寫(xiě)出來(lái)。分析：要想使余數(shù)不變，143加的必須是7、8、12的倍數(shù)，即7、8、12的最小公倍數(shù)[7,8,12]的倍數(shù)。,,“被除數(shù)加上除數(shù)的倍數(shù)后，結(jié)果的余數(shù)不變 ”的簡(jiǎn)單應(yīng)用,例、143除以7余3，除以8余7，除以12余11，1000以?xún)?nèi)還有這樣的數(shù)嗎？如果有，請(qǐng)寫(xiě)出來(lái)。解：∵[7，8，12]=168 ∴ 143+168=311

17、 143+168×2=479 143+168×3=647 143+168×4=815 143+168×5=983所以還有311、479、647、845、983.,,帶余除法的一些簡(jiǎn)單規(guī)律（2）同余規(guī)律,,,,,例、一個(gè)自然數(shù)，被4、5、6、9去除，余數(shù)都是1，試求符合條件的最小自然數(shù)。分析：減去1后就能被4、5、6、9整除，說(shuō)明它比[4,5,6,9]大1

18、（為什么說(shuō)求最小的？）,例、一個(gè)自然數(shù)，被4除余2，被5除余3，被6除余4，被9除余7，試求符合條件的最小自然數(shù)。,如果自然數(shù)n分別除以幾個(gè)除數(shù)所得的余數(shù)都是a，那么n比這幾個(gè)除數(shù)的公倍數(shù)大b； 如果余數(shù)比這幾個(gè)除數(shù)都小b，那么n比這幾個(gè)除數(shù)的公倍數(shù)小b。,綜合運(yùn)用（二）同余規(guī)律的應(yīng)用,例5、一個(gè)數(shù)除以3余2，除以5余3 ，除以7余2，求符合條件的最小數(shù)解：符合條件除以3 余2，除以7余2的最小數(shù)是[3,7]+2=23，

19、而且23÷5=4……3所以，符合條件的數(shù)是23,,,,綜合運(yùn)用（二）同余規(guī)律的應(yīng)用,例6、（課本例9）69、90和125被某個(gè)正整數(shù)N整除時(shí)，余數(shù)相同，試求N的最大值解：∵三個(gè)數(shù)被N除余數(shù)相同，∴N︱(90－69），即N︱21； N︱(125－90)，即N︱35?！?N是21和35 的約數(shù)，∵要求N的最大值，∴ N是21和35的最大公約數(shù) 即N=7,,,,,綜合運(yùn)用（三）逐步滿足條件法,例7、（課本例6）

20、一個(gè)數(shù)除以5余3，除以6余4，除以7余1.求適合條件的最小的自然數(shù)分析:“除以5余3”，即“加上2后能被5整除”，同樣，“除以6余4 ”即“加2后能被6整數(shù)”解：[5，6] －2=28,即28適合前兩個(gè)條件，通過(guò)嘗試，28+[5,6] ×4=148 148÷7=21…1并且148＜[5,6,7]=210所以，適合條件的最小的自然數(shù)是148,,,,,課后小結(jié),一、帶余除法的意

21、義及簡(jiǎn)單應(yīng)用二、帶余除法的一些簡(jiǎn)單規(guī)律三、綜合運(yùn)用的一些例子和方法,,,一、帶余除法的意義及簡(jiǎn)單應(yīng)用,簡(jiǎn)單應(yīng)用（1）被除數(shù)=除數(shù)×商+余數(shù)簡(jiǎn)單應(yīng)用（2）利用余數(shù)解決排序問(wèn)題,,二、帶余除法的一些簡(jiǎn)單規(guī)律,（1）被除數(shù)加上除數(shù)的倍數(shù)后，結(jié)果的余數(shù)不變（2）如果自然數(shù)n分別除以幾個(gè)除數(shù)所得的余數(shù)都是a，那么n比這幾個(gè)除數(shù)的公倍數(shù)大a； 如果余數(shù)比這幾個(gè)除數(shù)都小b，那么n比這幾個(gè)除數(shù)的公倍數(shù)小b。（3）如果兩個(gè)整

22、數(shù)a和b被自然數(shù)n除余數(shù)相同，那么這兩個(gè)整數(shù)的差（大減小）一定能把n整除。反過(guò)來(lái)：如果兩個(gè)整數(shù)之差恰好能把n整除，那么這兩個(gè)整數(shù)除以n所得的余數(shù)一定相同。,,三、綜合運(yùn)用的一些例子和方法,綜合運(yùn)用（一） 被除數(shù)=除數(shù)×商+余數(shù)的應(yīng)用綜合運(yùn)用（二） 同余規(guī)律的應(yīng)用綜合運(yùn)用（三） 逐步滿足條件法,,拓展練習(xí),1、用某個(gè)自然數(shù)除300、262和205，得到相同的余數(shù)，問(wèn)這

23、個(gè)自然數(shù)是幾？2、在1-400的自然數(shù)中，被3，5，7除的余數(shù)都是2的數(shù)共有多少個(gè)?,拓展練習(xí)參考答案,1、用某個(gè)自然數(shù)除300、262和205，得到相同的余數(shù)，問(wèn)這個(gè)自然數(shù)是幾？解：設(shè)這個(gè)自然數(shù)為N， ∵“某個(gè)自然數(shù)除300、262和205，得到相同的余數(shù)，” ∴N∣(300－262)，即N∣38 N∣(262－205)，即N∣57 ∴ N是3

24、8和57的公約數(shù)。 ∵ (38,57)=19 ∴這個(gè)自然數(shù)是19,3、在1-400的自然數(shù)中，被3、5、7除的余數(shù)都是2的數(shù)共有多少個(gè)?解：被3、5、7除余數(shù)都是2的數(shù)，是比3、5、7的公倍數(shù)大2的數(shù) ∵ [3，5，7] ＝105 ∴105×1＋2＝107 105×2＋2＝212 105×3＋2＝317答：符合條件

25、的自然數(shù)共有三個(gè)， 它們是107、212和317。.,4、一個(gè)自然數(shù)分別去除83, 213, 二個(gè)余數(shù)的和是9,問(wèn)：這二個(gè)余數(shù)中最小的一個(gè)是多少？,分析：因?yàn)閮蓚€(gè)余數(shù)的和是9，去掉9后，兩個(gè)數(shù)的和一定是除數(shù)的倍數(shù)。解：（83＋213）－9＝287＝7×41 83÷7＝11………6 213÷7＝30………3 83÷4

26、1＝2………1 213÷41＝5………8答：這二個(gè)余數(shù)中最小的一個(gè)是1。,5、王老師準(zhǔn)備將872個(gè)筆記本分給六年級(jí)二班的學(xué)生，她簡(jiǎn)單計(jì)算之后，又補(bǔ)上21個(gè)筆記本，這樣就可以將筆記本平均分給班里每個(gè)學(xué)生. 問(wèn)：六年級(jí)二班有多少名學(xué)生？分析：由題意知，872加上21后是顯示人數(shù)的倍數(shù)，即班級(jí)人數(shù)是893的約數(shù) 解：∵ 893＝19×47 又∵六年級(jí)二班的人數(shù)不可能是19，∴六年級(jí)二班的

27、人數(shù)是47人。,逐步滿足條件法,3、一個(gè)數(shù)被5除余4，被7除余3，被6除余4 ，這個(gè)數(shù)最小是多少？（逐步滿足條件法）解：由除以5余4，除以6余4，可知，這個(gè)數(shù)應(yīng)當(dāng)是5和6 的公倍數(shù)加4，[5,6] ＝30，4＋ [5,6] ＝4＋30＝34，經(jīng)試驗(yàn)可知：34＋30×2＝94，符合條件，所以這個(gè)數(shù)最小是94。,被除數(shù)、除數(shù)、商、余數(shù)的關(guān)系,4、被除數(shù)除以除數(shù)，商8，余數(shù)是14，被除數(shù)、除數(shù)商、余數(shù)的和是351。求被除數(shù)

28、與除數(shù)。解 根據(jù)被除數(shù)=除數(shù)×商+余數(shù)可知 被除數(shù)=除數(shù)×8+14由 被除數(shù)＋除數(shù)＋商＋余數(shù)＝.351可得 除數(shù)×8＋14＋除數(shù)＋8＋14＝351 ∴除數(shù)×8＋除數(shù)＝315 即 除數(shù)×9=315∴除數(shù)＝315÷9＝35 被除數(shù)＝35×8＋14＝294,逐步滿足條件法,5、一個(gè)數(shù)除以4余3，除以6余5，除以

29、7余1，這個(gè)數(shù)最小是多少？解：由除以4余3，除以6余5，可知，這個(gè)數(shù)應(yīng)當(dāng)比4和6 的公倍數(shù)少1，[4,6] ＝12， [4,6] 1＝11，經(jīng)試驗(yàn)可知：11＋12×5＝71，符合條件除以7余1，所以這個(gè)數(shù)最小是71。,逐步滿足條件法,6、小青有一盒巧克力，7粒一數(shù)還少3粒。5粒一數(shù)又多2粒，3粒一數(shù)正好。這盒巧克力至少有多少粒？解：“5粒一數(shù)多2?！逼鋵?shí)是少3粒，由條件“7粒一數(shù)還少3粒，5粒一數(shù)又多2粒，”可知