復制資產(chǎn)策略在金融數(shù)學教學中的應用

1、科教文化復制資產(chǎn)策略在金融數(shù)學教學中的應用叢凌博（黑龍江科技學院理學院，黑龍江哈爾濱150027）1金融數(shù)學隨著金融業(yè)的蓬勃發(fā)展，社會對金融人才的需求不斷增加。隨著國內金融業(yè)逐漸與國際接軌，經(jīng)營手段日趨現(xiàn)代化，各種金融創(chuàng)新層出不窮，各種金融活動涉及到代數(shù)、微積分、線性規(guī)劃、概率論、統(tǒng)計學、離散數(shù)學、隨機數(shù)學等大量數(shù)學知識?，F(xiàn)代金融業(yè)的發(fā)展對金融工作者的數(shù)學水平提出了較高要求。為適應社會需要提高金融人才的數(shù)學水平，一些高等院校開設了《金融

2、數(shù)學》課程。金融數(shù)學是近十年多來新興的一門邊緣學科。目前在世界上它發(fā)展非常迅速，已成為十分活躍的前沿學科之一，在國際金融界和應用數(shù)學界受到高度重視。自1973年出現(xiàn)BlackScholes公式以來，金融界以前所未有的速度接受數(shù)學模型和數(shù)學工具，于是出現(xiàn)了數(shù)學、金融、計算機和全球經(jīng)濟的融合。金融數(shù)學的發(fā)展曾兩次引發(fā)了“華爾街革命”。在1952年，馬科威茨發(fā)表了博士論文《投資組合管理》，第一次明確地用數(shù)學工具給出了在一定風險水平下按不同比例

3、投資多種證券收益可能最大的投資方法。此理論開創(chuàng)了金融數(shù)學理論研究的先河，從而引發(fā)了第一次“華爾街革命”。他因此榮獲了1990年諾貝爾經(jīng)濟學獎。1973年，布萊克和斯科爾斯用數(shù)學方法給出了期權定價公式———BlackScholes公式，推動了期權交易業(yè)務的發(fā)展，使得期權交易很快成為世界金融市場的主要內容，成為第二次“華爾街革命”。同樣，1997年諾貝爾經(jīng)濟學獎授予默頓和斯科爾斯，以獎勵他們和布萊克在確定衍生證券價值方法方面的貢獻。正是兩次

4、“革命”，奠定了金融數(shù)學這門新學科的基礎，金融數(shù)學的主流研究方向就是以這些獲獎工作為基礎的。金融數(shù)學是利用數(shù)學工具對金融學中的理論和現(xiàn)象進行研究和分析，建立相應的數(shù)學模型，從而進行理論分析和數(shù)值計算等定量分析，以求找到金融學內在的規(guī)律并用以指導實踐。金融數(shù)學也可以理解為現(xiàn)代數(shù)學與計算技術在金融領域的應用。金融數(shù)學研究的核心內容是不確定環(huán)境下的最優(yōu)投資策略的選擇理論和衍生產(chǎn)品定價理論。2資產(chǎn)組合指投資者持有的一組資產(chǎn)。一個資產(chǎn)多元化的投資

5、組合通常會包含股票、債券、貨幣市場資產(chǎn)、現(xiàn)金以及實物資產(chǎn)如黃金等?，F(xiàn)代金融市場的發(fā)展速度令人嘆為觀止。市場制度允許資產(chǎn)組合可以像一項資產(chǎn)一樣在到期日之前進行交易。事實上，某人可以在任何時間購買這種合約同時支付一部分現(xiàn)金，這相當于購買一個單位的投資組合，同樣，投資者也可以賣空投資組合。3復制資產(chǎn)策略在金融數(shù)學教學中的具體應用例如：期權定價中的著名公式———歐式看漲期權與看跌期權平價公式cKerT=pS0。組合A：一個歐式看漲期權加上數(shù)量為

6、KerT的現(xiàn)金；組合B：一個歐式看跌期權加上一只股票在組合A中，如果將現(xiàn)金按無風險利率進行投資，在T時刻將變?yōu)镵。在時間T，如果STK，投資者行使看漲期權，組合A的價值為STKK=ST；如果STK，期權價值為零，組合B的價值為ST；如果STK，投資者行使看漲期權，組合A的價值為STKK=ST；如果STK，期權價值為零，組合B的價值為ST；如果STK，看跌期權會得到執(zhí)行，其價值為K，因此，在T時刻組合B的價值也為max（ST，K）。由于組

7、合A及組合B中的期權均為歐式期權，在到期之前均不能行使，因此在今天必須有同等的價值，即cKerT=pS0。再如：單期二叉樹模型中，衍生產(chǎn)品的定價公式V0=aS0（aSuu）erT。組合A：a單位的股票和b單位的債券；組合B：一單位衍生產(chǎn)品。組合A在時間t=0的價值為Π0=aS0b，在t=T時的價值為：股票上升狀態(tài)ΠT=aSuberT，下降狀態(tài)ΠT=aSdberT，我們令aSuberT=U，aSuberT=D即a=（UD）（SuSd），b

8、=[U（UD）Su（SuSd）]erT因此，組合A的價值和組合B的價值一致，即兩資產(chǎn)組合在時間t=T有相同的價值，由無套利原理，它們在今天的價值也必須相同，即V0=aS0b=aS0（aSuu）erT4結論在金融數(shù)學教學過程中，為了學生在有限的學時內掌握理解問題及分析問題的能力，任課教師必須考慮數(shù)學工具的適用性和有效性。上面的例子說明，在一些命題的證明中，巧妙地使用復制資產(chǎn)組合策略，能夠簡化金融數(shù)學教學的難度，使得證明過程化復雜為簡明，達

9、到化難為易的教學效果。參考文獻[1][美]JosephStampfli，VictGoodman.金融數(shù)學[M].蔡明超，譯.北京：機械工業(yè)出版社，2005.[2][加]JohnCHull.期權、期貨及其他衍生產(chǎn)品[M].王勇，索吾林，譯.北京：機械工業(yè)出版社，2009.[3]陳信華.金融衍生工具———定價原理、運作機制及實際運用[M].上海：上海財經(jīng)大學出版社，2004.作者簡介：叢凌博，女，黑龍江嫩江人，講師，從事數(shù)學專業(yè)課教學及研究