試驗設計與數(shù)據(jù)處理(第二版)-李云雁(全書ppt)

1、試驗設計與數(shù)據(jù)處理（第二版）,Experiment Design and Data Processing,引 言,0.1 試驗設計與數(shù)據(jù)處理的發(fā)展概況,20世紀20年代，英國生物統(tǒng)計學家及數(shù)學家費歇（R．A．Fisher）提出了方差分析 20世紀50年代，日本統(tǒng)計學家田口玄一將試驗設計中應用最廣的正交設計表格化 數(shù)學家華羅庚教授也在國內積極倡導和普及的“優(yōu)選法”我國數(shù)學家王元和方開泰于1978年首先提出了均勻設計,0.2

2、試驗設計與數(shù)據(jù)處理的意義,0.2.1 試驗設計的目的:合理地安排試驗,力求用較少的試驗次數(shù)獲得較好結果 例：某試驗研究了3個影響因素： A：A1，A2，A3 B：B1，B2，B3 C：C1，C2，C3 全面試驗：27次 正交試驗：9次,0.2.2 數(shù)據(jù)處理的目的,通過誤差分析，評判試驗數(shù)據(jù)的可靠性；確定影響試驗結果的因素主次，抓住主

3、要矛盾，提高試驗效率；確定試驗因素與試驗結果之間存在的近似函數(shù)關系，并能對試驗結果進行預測和優(yōu)化；試驗因素對試驗結果的影響規(guī)律，為控制試驗提供思路；確定最優(yōu)試驗方案或配方。,第1章 試驗數(shù)據(jù)的誤差分析,誤差分析（error analysis） ：對原始數(shù)據(jù)的可靠性進行客觀的評定 誤差（error） ：試驗中獲得的試驗值與它的客觀真實值在數(shù)值上的不一致試驗結果都具有誤差，誤差自始至終存在于一切科學實驗過程中客觀真實值——真值

4、,1.1 真值與平均值,1.1.1 真值（true value）真值：在某一時刻和某一狀態(tài)下，某量的客觀值或實際值 真值一般是未知的相對的意義上來說，真值又是已知的平面三角形三內角之和恒為180°國家標準樣品的標稱值國際上公認的計量值 高精度儀器所測之值多次試驗值的平均值,1.1.2 平均值（mean）,（1）算術平均值（arithmetic mean）,,,,等精度試驗值,適合：,試驗值服從正態(tài)分布,（

5、2）加權平均值(weighted mean),適合不同試驗值的精度或可靠性不一致時,,wi——權重,,,加權和,（3）對數(shù)平均值（logarithmic mean）,說明： 若數(shù)據(jù)的分布具有對數(shù)特性，則宜使用對數(shù)平均值對數(shù)平均值≤算術平均值如果1/2≤x1/x2≤2 時，可用算術平均值代替,,,設兩個數(shù)：x1＞0，x2 ＞0 ，則,（4）幾何平均值（geometric mean）,當一組試驗值取對數(shù)后所得數(shù)據(jù)的分布曲線更加對稱時

6、，宜采用幾何平均值。幾何平均值≤算術平均值,,,設有n個正試驗值：x1，x2，…，xn，則,（5）調和平均值（harmonic mean）,常用在涉及到與一些量的倒數(shù)有關的場合調和平均值≤幾何平均值≤算術平均值,,設有n個正試驗值：x1，x2，…，xn，則：,1.2 誤差的基本概念,1.2.1 絕對誤差（absolute error） （1）定義 絕對誤差＝試驗值－真值 或,,（2）說明,

7、真值未知，絕對誤差也未知,可以估計出絕對誤差的范圍：,絕對誤差限或絕對誤差上界,或,,,絕對誤差估算方法：最小刻度的一半為絕對誤差；最小刻度為最大絕對誤差；根據(jù)儀表精度等級計算： 絕對誤差=量程×精度等級%,1.2.2 相對誤差（relative error）,（1）定義：,,,或,或,（2）說明：,真值未知，常將Δx與試驗值或平均值之比作為相對誤差：,或,可以估計出相對誤差的大小范圍：,,,相對

8、誤差限或相對誤差上界,相對誤差常常表示為百分數(shù)（%）或千分數(shù)（‰）,,∴,1.2.3 算術平均誤差 (average discrepancy),定義式：,,可以反映一組試驗數(shù)據(jù)的誤差大小,,1.2.4 標準誤差 (standard error),當試驗次數(shù)n無窮大時，總體標準差：,,試驗次數(shù)為有限次時，樣本標準差：,表示試驗值的精密度，標準差↓，試驗數(shù)據(jù)精密度↑,,（1）定義：以不可預知的規(guī)律變化著的誤差，絕對誤差時正時負，時大時小

9、（2）產(chǎn)生的原因： 偶然因素（3）特點：具有統(tǒng)計規(guī)律小誤差比大誤差出現(xiàn)機會多正、負誤差出現(xiàn)的次數(shù)近似相等當試驗次數(shù)足夠多時，誤差的平均值趨向于零 可以通過增加試驗次數(shù)減小隨機誤差隨機誤差不可完全避免的,1.3.1 隨機誤差 （random error ）,1.3 試驗數(shù)據(jù)誤差的來源及分類,1.3.2 系統(tǒng)誤差（systematic error）,（1）定義： 一定試驗條件下，由某個或某些因素按照某一確定的規(guī)律起作用

10、而形成的誤差 （2）產(chǎn)生的原因：多方面（3）特點：系統(tǒng)誤差大小及其符號在同一試驗中是恒定的 它不能通過多次試驗被發(fā)現(xiàn)，也不能通過取多次試驗值的平均值而減小只要對系統(tǒng)誤差產(chǎn)生的原因有了充分的認識，才能對它進行校正，或設法消除。,1.3.3 過失誤差 （mistake ）,（1）定義： 一種顯然與事實不符的誤差（2）產(chǎn)生的原因： 實驗人員粗心大意造成 （3）特點：可以完全避免 沒有一

11、定的規(guī)律,1.4.1 精密度（precision）,（1）含義：反映了隨機誤差大小的程度在一定的試驗條件下，多次試驗值的彼此符合程度 例：甲：11.45，11.46，11.45，11.44 乙：11.39，11.45，11.48，11.50（2）說明：可以通過增加試驗次數(shù)而達到提高數(shù)據(jù)精密度的目的 試驗數(shù)據(jù)的精密度是建立在數(shù)據(jù)用途基礎之上的 試驗過程足夠精密，則只需少量幾次試驗就能滿足要求,1.

12、4 試驗數(shù)據(jù)的精準度,（3）精密度判斷,①極差（range）,②標準差（standard error）,R↓，精密度↑,標準差↓，精密度↑,③方差（variance）,標準差的平方：樣本方差（ s2 ）總體方差（σ2 ）方差↓，精密度↑,,1.4.2 正確度（correctness）,（1）含義：反映系統(tǒng)誤差的大?。?）正確度與精密度的關系：,精密度不好，但當試驗次數(shù)相當多時，有時也會得到好的正確度,精密度高并不意味著正確度也

13、高,（a）,（b）,（c）,1.4.3 準確度（accuracy）,（1）含義：反映了系統(tǒng)誤差和隨機誤差的綜合 表示了試驗結果與真值的一致程度（2）三者關系無系統(tǒng)誤差的試驗,精密度 ：A＞B＞C正確度： A＝B＝C準確度： A＞B＞C,有系統(tǒng)誤差的試驗,精密度 ：A＇ ＞ B＇ ＞ C＇ 準確度： A ＇＞ B ＇＞ C ＇ ，A ＇ ＞B，C,1.5.1 隨機誤差的檢驗,,,1.5 試驗數(shù)據(jù)誤差的統(tǒng)計假設檢驗,,（

14、1）目的：,對試驗數(shù)據(jù)的隨機誤差或精密度進行檢驗。,（2）檢驗步驟：,,①計算統(tǒng)計量,,②查臨界值,,一般取0.01或0.05，表示有顯著差異的概率,雙側（尾）檢驗(two-sided/tailed test) ：,,③檢驗,若,則判斷兩方差無顯著差異，否則有顯著差異,單側（尾）檢驗(one-sided/tailed test) ：左側（尾）檢驗 ：,,則判斷該方差與原總體方差無顯著減小，否則有顯著減小,右側（尾）檢驗,,則判斷該方差

15、與原總體方差無顯著增大，否則有顯著增大,若,若,1.5.1.2 F檢驗(F-test),（1）目的： 對兩組具有正態(tài)分布的試驗數(shù)據(jù)之間的精密度進行比較 （2）檢驗步驟①計算統(tǒng)計量,設有兩組試驗數(shù)據(jù)：,都服從正態(tài)分布，樣本方差分別為,和,和,，則,,第一自由度為,第二自由度為,服從F分布，,②查臨界值給定的顯著水平α,,,查F分布表,臨界值,雙側（尾）檢驗(two-sided/tailed test) ：,③檢驗,若,

16、則判斷兩方差無顯著差異，否則有顯著差異,,單側（尾）檢驗(one-sided/tailed test) ：左側（尾）檢驗 ：,則判斷該判斷方差1比方差2無顯著減小，否則有顯著減小,右側（尾）檢驗,則判斷該方差1比方差2無顯著增大，否則有顯著增大,若,若,,,（3）Excel在,F檢驗中的應用,1.5.2 系統(tǒng)誤差的檢驗,1.5.2.1 t檢驗法 （1）平均值與給定值比較 ①目的：檢驗服從正態(tài)分布數(shù)據(jù)的算術平均值是否與給定值有顯著

17、差異②檢驗步驟：計算統(tǒng)計量：,,,——給定值（可以是真值、期望值或標準值）,雙側檢驗 ：,若,則可判斷該平均值與給定值無顯著差異，否則就有顯著差異,單側檢驗,左側檢驗,若,且,則判斷該平均值與給定值無顯著減小，否則有顯著減小,右側檢驗,若,且,則判斷該平均值與給定值無顯著增大，否則有顯著增大,（2）兩個平均值的比較 目的：判斷兩組服從正態(tài)分布數(shù)據(jù)的算術平均值有無顯著差異①計算統(tǒng)計量：兩組數(shù)據(jù)的方差無顯著差異時,,s——合

18、并標準差：,,兩組數(shù)據(jù)的精密度或方差有顯著差異時,,服從t分布，其自由度為：,,② t檢驗,雙側檢驗 ：,若,則可判斷兩平均值無顯著差異，否則就有顯著差異,單側檢驗,左側檢驗,若,且,則判斷該平均值1較平均值2無顯著減小，否則有顯著減小,右側檢驗,若,且,則判斷該平均值1較平均值2無顯著增大，否則有顯著增大,（3）成對數(shù)據(jù)的比較 目的：試驗數(shù)據(jù)是成對出現(xiàn)，判斷兩種方法、兩種儀器或兩分析人員的測定結果之間是否存在系統(tǒng)誤差①計算統(tǒng)計量

19、：,,,——成對測定值之差的算術平均值：,——零或其他指定值,,—— n對試驗值之差值的樣本標準差：,,② t檢驗 若,,否則兩組數(shù)據(jù)之間存在顯著的系統(tǒng)誤差,，則成對數(shù)據(jù)之間不存在顯著的系統(tǒng)誤差，,（4）Excel在,t檢驗中的應用,1.5.2.2 秩和檢驗法（rank sum test）,（1）目的：兩組數(shù)據(jù)或兩種試驗方法之間是否存在系統(tǒng)誤差、兩種方法是否等效等 ，不要求數(shù)據(jù)具有正態(tài)分布 （2）內容：設有兩組試驗數(shù)據(jù)，

20、相互獨立 ，n1，n2分別是兩組數(shù)據(jù)的個數(shù) ，總假定 n1≤n2；將這個試驗數(shù)據(jù)混在一起，按從小到大的次序排列 每個試驗值在序列中的次序叫作該值的秩（rank）將屬于第1組數(shù)據(jù)的秩相加，其和記為R1 R1——第1組數(shù)據(jù)的秩和（rank sum） 如果兩組數(shù)據(jù)之間無顯著差異，則R1就不應該太大或太小,查秩和臨界值表： 根據(jù)顯著性水平?和n1，n2，可查得R1的上下限T2和T1 檢驗：如果R

21、1＞T2 或R1 ＜T1，則認為兩組數(shù)據(jù)有顯著差異，另一組數(shù)據(jù)有系統(tǒng)誤差如果T1＜R1＜T2，則兩組數(shù)據(jù)無顯著差異，另一組數(shù)據(jù)也無系統(tǒng)誤差,（3）例：,設甲、乙兩組測定值為： 甲：8.6，10.0，9.9，8.8，9.1，9.1　 乙：8.7，8.4，9.2，8.9，7.4，8.0，7.3，8.1，6.8已知甲組數(shù)據(jù)無系統(tǒng)誤差，試用秩和檢驗法檢驗乙組測定值是否有系統(tǒng)誤差。（?＝0.05）,解:

22、（1）排序：,（2）求秩和R1 R1=7＋9＋11.5＋11.5＋14＋15＝68（3）查秩和臨界值表 對于?＝0.05， n1=6，n2=9得 T1=33，T2＝63，∴R1＞T2 故：兩組數(shù)據(jù)有顯著差異，乙組測定值有系統(tǒng)誤差,1.5.3 異常值的檢驗,可疑數(shù)據(jù)、離群值、異常值 一般處理原則為： 在試驗過程中，若發(fā)現(xiàn)異常數(shù)據(jù)，應停止試驗，分析原因，及時糾正錯誤試驗結束后，在分析試驗

23、結果時，如發(fā)現(xiàn)異常數(shù)據(jù)，則應先找出產(chǎn)生差異的原因，再對其進行取舍　在分析試驗結果時，如不清楚產(chǎn)生異常值的確切原因，則應對數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計處理；若數(shù)據(jù)較少，則可重做一組數(shù)據(jù)　　對于舍去的數(shù)據(jù)，在試驗報告中應注明舍去的原因或所選用的統(tǒng)計方法,1.5.3.1 拉依達（ ）檢驗法,①內容： 可疑數(shù)據(jù)xp ，若,,則應將該試驗值剔除。,②說明：,計算平均值及標準偏差s 時，應包括可疑值在內,3s相當于顯

24、著水平?＝0.01，2s相當于顯著水平?＝0.05,,,可疑數(shù)據(jù)應逐一檢驗，不能同時檢驗多個數(shù)據(jù) 首先檢驗偏差最大的數(shù) 剔除一個數(shù)后，如果還要檢驗下一個數(shù) ，應重新計算平均值及標準偏差方法簡單，無須查表 該檢驗法適用于試驗次數(shù)較多或要求不高時3s為界時，要求n＞102s為界時，要求n＞5,有一組分析測試數(shù)據(jù)：0.128，0.129，0.131，0.133，0.135，0.138，0.141，0.142，0.145，0

25、.148，0.167，問其中偏差較大的0.167這一數(shù)據(jù)是否應被舍去? （?＝0.01）,解：（1）計算,③例：,,（2）計算偏差,,,（3）比較,3s＝3×0.01116＝0.0335＞0.027,故按拉依達準則，當?＝0.01時，0.167這一可疑值不應舍去,（2）格拉布斯（Grubbs）檢驗法,①內容： 可疑數(shù)據(jù)xp ，若,,,,則應將該值剔除。,——Grubbs檢驗臨界值,,格拉布斯（Grubbs）檢驗臨

26、界值G(? ,n)表,②說明：,計算平均值及標準偏差s 時，應包括可疑值在內可疑數(shù)據(jù)應逐一檢驗，不能同時檢驗多個數(shù)據(jù) 首先檢驗偏差最大的數(shù) 剔除一個數(shù)后，如果還要檢驗下一個數(shù) ，應重新計算平均值及標準偏差能適用于試驗數(shù)據(jù)較少時 格拉布斯準則也可以用于檢驗兩個數(shù)據(jù)偏小，或兩個數(shù)據(jù)偏大的情況③ 例：例1-13,（3）狄克遜（Dixon）檢驗法,①單側情形將n個試驗數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列：

27、 x1≤x2≤…≤xn-1≤xn 如果有異常值存在，必然出現(xiàn)在兩端，即x1 或xn計算出統(tǒng)計量D或D′查單側臨界值,,,檢驗,,②雙側情形計算D和 D′查雙側臨界值,,檢驗,,,③說明,適用于試驗數(shù)據(jù)較少時的檢驗，計算量較小 單側檢驗時，可疑數(shù)據(jù)應逐一檢驗，不能同時檢驗多個數(shù)據(jù) 剔除一個數(shù)后，如果還要檢驗下一個數(shù) ，應重新排序 ④例：例1-14,1.6.1 有效數(shù)字（significanc

28、e figure）,能夠代表一定物理量的數(shù)字有效數(shù)字的位數(shù)可反映試驗或試驗儀表的精度數(shù)據(jù)中小數(shù)點的位置不影響有效數(shù)字的位數(shù)例如：50㎜，0.050m，5.0×104μm第一個非0數(shù)前的數(shù)字都不是有效數(shù)字，而第一個非0數(shù)后的數(shù)字都是有效數(shù)字例如： 29㎜和29.00㎜第一位數(shù)字等于或大于8，則可以多計一位例如：9.99,1.6 有效數(shù)字和試驗結果的表示,1.6.2 有效數(shù)字的運算,（1）加、減運算：

29、 與其中小數(shù)點后位數(shù)最少的相同（2）乘、除運算 以各乘、除數(shù)中有效數(shù)字位數(shù)最少的為準（3）乘方、開方運算： 與其底數(shù)的相同： 例如：2.42=5.8（4）對數(shù)運算： 與其真數(shù)的相同 例如ln6.84＝1.92；lg0.00004＝－4,（5）在4個以上數(shù)的平均值計算中，平均值的有效數(shù)字可增加一位（6）所有取自手冊上的數(shù)據(jù)，其有效

30、數(shù)字位數(shù)按實際需要取，但原始數(shù)據(jù)如有限制，則應服從原始數(shù)據(jù)。（7）一些常數(shù)的有效數(shù)字的位數(shù)可以認為是無限制的 例如，圓周率π、重力加速度g、、1/3等（8）一般在工程計算中，取2～3位有效數(shù)字,1.6.3 有效數(shù)字的修約規(guī)則,≤4：舍去≥5，且其后跟有非零數(shù)字 ，進1位例如：3.14159 → 3.142＝5，其右無數(shù)字或皆為0時，“尾留雙”：若所保留的末位數(shù)字為奇數(shù)則進1若所保留的末位數(shù)字為

31、偶數(shù)則舍棄例如：3.1415 → 3.142 1.3665 → 1.366,1.7 誤差的傳遞,誤差的傳遞：根據(jù)直接測量值的誤差來計算間接測量值的誤差1.7.1 誤差傳遞基本公式 間接測量值y與直接測量值xi之間函數(shù)關系 ：,,全微分,,函數(shù)或間接測量值的絕對誤差為：,,,相對誤差為：,,——誤差傳遞系數(shù),,——直接測量值的絕對誤差；,,——間接測量值的絕對誤差或稱函數(shù)的絕對誤差。,函數(shù)標準誤差傳遞公式：,,

32、,1.7.2 常用函數(shù)的誤差傳遞公式,表1-4,1.7.3 誤差傳遞公式的應用,（1）根據(jù)各分誤差的大小，來判斷間接測量或函數(shù)誤差的主要來源： 例1-16（2）選擇合適的測量儀器或方法： 例1-17,秩和臨界值表,統(tǒng)計量D計算公式,,,,,,,,,第2章 試驗數(shù)據(jù)的表圖表示法,2.1 列表法,將試驗數(shù)據(jù)列成表格，將各變量的數(shù)值依照一定的形式和順序一一對應起來 （1）試驗數(shù)據(jù)表①記錄表試

33、驗記錄和試驗數(shù)據(jù)初步整理的表格 表中數(shù)據(jù)可分為三類： 原始數(shù)據(jù) 中間數(shù)據(jù)最終計算結果數(shù)據(jù),②結果表示表表達試驗結論 應簡明扼要,（2）說明：,三部分：表名、表頭、數(shù)據(jù)資料 必要時，在表格的下方加上表外附加 表名應放在表的上方，主要用于說明表的主要內容，為了引用的方便，還應包含表號 表頭常放在第一行或第一列，也稱為行標題或列標題，它主要是表示所研究問題的類別名稱和指標名稱 數(shù)據(jù)資料：表格的主要部分，應根據(jù)表頭按一定的規(guī)

34、律排列 表外附加通常放在表格的下方，主要是一些不便列在表內的內容，如指標注釋、資料來源、不變的試驗數(shù)據(jù)等,（3）注意 ：,表格設計應簡明合理、層次清晰，以便閱讀和使用；數(shù)據(jù)表的表頭要列出變量的名稱、符號和單位；要注意有效數(shù)字位數(shù)；試驗數(shù)據(jù)較大或較小時，要用科學記數(shù)法來表示，并記入表頭，注意表頭中的與表中的數(shù)據(jù)應服從下式：數(shù)據(jù)的實際值×10±n ＝ 表中數(shù)據(jù)；數(shù)據(jù)表格記錄要正規(guī)，原始數(shù)據(jù)要書寫得清楚整齊，要記

35、錄各種試驗條件，并妥為保管。,2.2.1 常用數(shù)據(jù)圖,（1）線圖（line graph/chart） 表示因變量隨自變量的變化情況 線圖分類：單式線圖：表示某一種事物或現(xiàn)象的動態(tài) 復式線圖：在同一圖中表示兩種或兩種以上事物或現(xiàn)象的動態(tài)，可用于不同事物或現(xiàn)象的比較,2.2 圖示法,圖1 高吸水性樹脂保水率與時間和溫度的關系,圖2 某離心泵特性曲線,（2）XY散點圖（scatter diagram）,表示兩個變量間的相互

36、關系 散點圖可以看出變量關系的統(tǒng)計規(guī)律,圖3 散點圖,（3）條形圖和柱形圖,用等寬長條的長短或高低來表示數(shù)據(jù)的大小，以反映各數(shù)據(jù)點的差異 兩個坐標軸的性質不同 數(shù)值軸 ：表示數(shù)量性因素或變量 分類軸 ：表示的是屬性因素或非數(shù)量性變量,圖4 不同提取方法提取率比較,分類：單式：只涉及一個事物或現(xiàn)象 復式：涉及到兩個或兩個以上的事物或現(xiàn)象,圖5 不同提取方法對兩種原料有效成分提取率效果比較,（4）圓形圖和環(huán)形圖,①圓

37、形圖（circle chart）也稱為餅圖（pie graph） 表示總體中各組成部分所占的比例 只適合于包含一個數(shù)據(jù)系列的情況 餅圖的總面積看成100% ，每3.6°圓心角所對應的面積為1% ，以扇形面積的大小來分別表示各項的比例,圖6 全球天然維生素E消費比例,②環(huán)形圖（circular diagram）,每一部分的比例用環(huán)中的一段表示 可顯示多個總體各部分所占的相應比例 ，有利于比較,圖7 全球合成、

38、天然維生素E消費比例比較,（5）三角形圖（ternary）,常用于表示三元混合物各組分含量或濃度之間的關系 三角形：等腰Rt△、等邊△、不等腰Rt△等頂點：純物質邊：二元混合物三角形內：三元混合物,M,●,,,,xA,,xS,xB＝1－ xA－ xS,●,圖8 等腰直角三角形坐標圖,A,B,C,,xC,,xB,,xA,●,,,,,xA,,xA,,xC,,xC,,xB,,xB,M,E,F,圖9 等邊三角形坐標圖,（6）三維

39、表面圖（3D surface graph）,三元函數(shù)Z=f(X,Y)對應的曲面圖，根據(jù)曲面圖可以看出因變量Z值隨自變量X和Y值的變化情況,圖10 三維表面圖,（7）三維等高線圖（contour plot）,三維表面圖上Z值相等的點連成的曲線在水平面上的投影,圖11 三維等高線圖,繪制圖形時應注意 ：,（1）在繪制線圖時，要求曲線光滑,并使曲線盡可能通過較多的實驗點，或者使曲線以外的點盡可能位于曲線附近，并使曲線兩側的點數(shù)大致相等；

40、（2）定量的坐標軸，其分度不一定自零起；（3）定量繪制的坐標圖，其坐標軸上必須標明該坐標所代表的變量名稱、符號及所用的單位，一般用縱軸代表因變量；（4）坐標軸的分度應與試驗數(shù)據(jù)的有效數(shù)字位數(shù)相匹配；（5）圖必須有圖號和圖題（圖名），以便于引用，必要時還應有圖注。,2.2.2 坐標系的選擇,坐標系（coordinate system） 笛卡爾坐標系（又稱普通直角坐標系）、半對數(shù)坐標系、對數(shù)坐標系、極坐標系、概

41、率坐標系、三角形坐標系 …...對數(shù)坐標系（semi-logarithmic coordinate system） 半對數(shù)坐標系 雙對數(shù)坐標系,（1）選用坐標系的基本原則：,①根據(jù)數(shù)據(jù)間的函數(shù)關系線性函數(shù)：普通直角坐標系冪函數(shù)：雙對數(shù)坐標系指數(shù)函數(shù)：半對數(shù)坐標②根據(jù)數(shù)據(jù)的變化情況兩個變量的變化幅度都不大，選用普通直角坐標系；有一個變量的最小值與最大值之間數(shù)量級相差太大時，可以選用半對數(shù)坐標；兩個變量在數(shù)值上均變化了幾

42、個數(shù)量級，可選用雙對數(shù)坐標；在自變量由零開始逐漸增大的初始階段，當自變量的少許變化引起因變量極大變化時，此時采用半對數(shù)坐標系或雙對數(shù)坐標系，可使圖形輪廓清楚,例：,圖12 普通直角坐標系,圖13 對數(shù)坐標系,（2） 坐標比例尺的確定,①在變量x和y的誤差Δx，Δy已知時，比例尺的取法應使試驗“點”的邊長為2Δx，2Δy，而且使2Δx＝2Δy＝1～2㎜，若2Δy＝2㎜，則y軸的比例尺My應為：,,②推薦坐標軸的比例常數(shù)M＝（1

43、、2、5）×10± n （n為正整數(shù)），而3、6、7、8等的比例常數(shù)絕不可用；,③縱橫坐標之間的比例不一定取得一致，應根據(jù)具體情況選擇，使曲線的坡度介于30°～60°之間,例2： 研究pH值對某溶液吸光度A的影響，已知pH值的測量誤差ΔpH＝0.1，吸光度A的測量誤差ΔA＝0.01。在一定波長下，測得pH值與吸光度A的關系數(shù)據(jù)如表所示。試在普通直角坐標系中畫出兩者間的關系曲線。,設2ΔpH＝2Δ

44、A＝2mm,解：,∵ ΔpH＝0.1，ΔA＝0.01,∴ 橫軸的比例尺為,,縱軸的比例尺為,,圖14 坐標比例尺對圖形形狀的影響,2.3.1 Excel在圖表繪制中的應用（1）利用Excel生成圖表的基本方法（2） 對數(shù)坐標的繪制（3） 雙Y軸（X軸）復式線圖的繪制（4） 圖表的編輯和修改2.3.2 Origin在圖形繪制中的應用 （1） 簡單二維圖繪制的基本方法 （2）三角形坐標圖的繪制（3） 三維圖的繪制

45、,2.3 計算機繪圖軟件在圖表繪制中應用,表2-1 離心泵特性曲線測定實驗的數(shù)據(jù)記錄表,附：泵入口管徑： __________mm；泵出口管徑：_______mm；真空表與壓力表垂直距離：______mm；水溫： _____________℃；電動機轉速 r/min。,第3章 試驗的方差分析,,方差分析（analysis of variance，簡稱ANOVA）檢驗試驗中有關因素對試驗結果影響的顯著性試

46、驗指標（experimental index） 衡量或考核試驗效果的參數(shù) 因素（experimental factor） 影響試驗指標的條件 可控因素（controllable factor） 水平（level of factor）因素的不同狀態(tài)或內容,3.1 單因素試驗的方差分析（one-way analysis of variance）,3.1.1 單因素試驗方差分析基本問題（1）目的

47、：檢驗一個因素對試驗結果的影響是否顯著性（2）基本命題：設某單因素A有r種水平：A1，A2，…，Ar，在每種水平下的試驗結果服從正態(tài)分布在各水平下分別做了ni（i＝1，2，…，r）次試驗判斷因素A對試驗結果是否有顯著影響,（3） 單因素試驗數(shù)據(jù)表,3.1.2 單因素試驗方差分析基本步驟,（1）計算平均值組內平均值 ：,,,總平均 ：,（2）計算離差平方和,①總離差平方和SST（sum of squares for total

48、）,,表示了各試驗值與總平均值的偏差的平方和 反映了試驗結果之間存在的總差異,②組間離差平方和 SSA （sum of square for factor A）,反映了各組內平均值之間的差異程度 由于因素A不同水平的不同作用造成的,③ 組內離差平方和 SSe （sum of square for error）,反映了在各水平內，各試驗值之間的差異程度 由于隨機誤差的作用產(chǎn)生,,三種離差平方和之間關系：,（3）計算自由度（d

49、egree of freedom）,總自由度 ：dfT＝n－1組間自由度 ：dfA ＝r－1組內自由度 ： dfe ＝n－r 三者關系： dfT＝ dfA ＋dfe（4）計算平均平方均方＝離差平方和除以對應的自由度,,,,,,MSA——組間均方,MSe——組內均方/誤差的均方,（5）F檢驗,服從自由度為（dfA,dfe）的F分布（F distribution）對于給定的顯著性水平?，從F分布表查得臨界值F?(dfA

50、，dfe) 如果FA ＞ F?(dfA，dfe) ，則認為因素A對試驗結果有顯著影響否則認為因素A對試驗結果沒有顯著影響,,,,,（6）方差分析表,若 FA ＞ F0.01(dfA，dfe) ，稱因素A對試驗結果有非常顯著的影響，用 “* *”號表示； 若 F0.05(dfA，dfe) ＜ FA ＜ F0.01(dfA，dfe) ，則因素A對試驗結果有顯著的影響，用“*”號表示； 若 FA ＜ F0.05(dfA，dfe)

51、，則因素A對試驗結果的影響不顯著,,,,單因素試驗的方差分析表,3.1.3 Excel在單因素試驗方差分析中的應用,利用Excel “分析工具庫”中的“單因素方差分析”工具,3.2 雙因素試驗的方差分析,討論兩個因素對試驗結果影響的顯著性，又稱“二元方差分析”3.2.1 雙因素無重復試驗的方差分析（1）雙因素無重復試驗,,,,,,,,,,（2）雙因素無重復試驗方差分析的基本步驟,①計算平均值 總平均 ：,,,,Ai水平時

52、：,Bj水平時：,②計算離差平方和,總離差平方和：因素A引起離差的平方和：因素B引起離差的平方和：誤差平方和：,,,,,③計算自由度,SSA的自由度：dfA ＝r－1SSB的自由度：dfB＝s－1 SSe的自由度：dfe＝（r－1）（s－1）SST的自由度：dfT＝n－1＝rs－1 dfT＝ dfA ＋dfB＋ dfe④計算均方,,,,,,⑤F檢驗,FA服從自由度為（dfA,dfe)的F分布；FB服從

53、自由度為（dfB,dfe)的F分布；對于給定的顯著性水平? ，查F分布表： F?（dfA,dfe)， F?（dfB,dfe)若FA＞F? （dfA,dfe)，則因素A對試驗結果有顯著影響，否則無顯著影響； 若FB＞F? （dfB,dfe)，則因素B對試驗結果有顯著影響，否則無顯著影響；,,,,,,,⑥無重復試驗雙因素方差分析表,無重復試驗雙因素方差分析表,3.2.2 雙因素重復試驗的方差分析,（1）雙

54、因素重復試驗方差分析試驗表,雙因素重復試驗方差分析試驗表,（2）雙因素重復試驗方差分析的基本步驟,①計算平均值總平均 ：任一組合水平（Ai，Bj）上 ：Ai水平時 ：Bj水平時 ：,,,,,②計算離差平方和,總離差平方和：因素A引起離差的平方和：因素B引起離差的平方和：交互作用A×B引起離差的平方和：誤差平方和：,,,,,,③計算自由度,SSA的自由度：dfA ＝r－1SSB的自由度：dfB＝s

55、－1 SSA×B的自由度： dfA×B ＝(r－1)(s－1)SSe的自由度：dfe＝rs(c －1)SST的自由度：dfT＝n－1＝rsc－1 dfT＝ dfA ＋dfB＋ dfA×B＋ dfe,④計算均方,,,,,⑤F檢驗,若FA＞F? （dfA,dfe)，則認為因素A對試驗結果有顯著影響，否則無顯著影響； 若FB＞F? （dfB,dfe)，則認為因素B對試驗結果有顯著影響，否則無顯著影響；

56、若FA×B＞F? （dfA×B,dfe)，則認為交互作用A×B對試驗結果有顯著影響，否則無顯著影響。,,,,⑥重復試驗雙因素方差分析表,3.2.3 Excel在雙因素方差分析中的應用,（1）雙因素無重復試驗方差分析利用“分析工具庫”中的“無重復雙因素方差分析”工具（2）雙因素重復試驗方差分析利用“分析工具庫”中的“重復雙因素方差分析”工具,第4章 試驗數(shù)據(jù)的回歸分析,4.1 基本概念,（1）

57、相互關系 ①確定性關系 ：變量之間存在著嚴格的函數(shù)關系②相關關系 ：變量之間近似存在某種函數(shù)關系（2） 回歸分析（regression analysis） 處理變量之間相關關系的統(tǒng)計方法確定回歸方程：變量之間近似的函數(shù)關系式檢驗回歸方程的顯著性 試驗結果預測,4.2 一元線性回歸分析,4.2.1 一元線性回歸方程的建立 （1）最小二乘原理設有一組試驗數(shù)據(jù) （如表），若x，y符合線性關系,計算值

58、 與試驗值yi不一定相等,與yi之間的偏差稱為殘差：,a，b——回歸系數(shù)（regression coefficient）,,,,——回歸值/擬合值，由xi代入回歸方程計算出的y值。,,,一元線性回歸方程 ：,殘差平方和 ：,,,殘差平方和最小時，回歸方程與試驗值的擬合程度最好,求殘差平方和極小值：,,正規(guī)方程組（normal equation） ：,,,,解正規(guī)方程組：,簡算法：,,,,4.2.2 一元線性回歸

59、效果的檢驗,（1）相關系數(shù)檢驗法 ①相關系數(shù)（correlation coefficient） ：描述變量x與y的線性相關程度定義式：,,②相關系數(shù)特點：,－1≤r≤1r＝±1：x與y有精確的線性關系,r＜0：x與y負線性相關（negative linear correlation）r＞0：x與y正線性相關（positive linear correlation）,r≈0時 ，x與y沒有線性關系

60、，但可能存在其它類型關系相關系數(shù)r越接近1，x與y的線性相關程度越高 試驗次數(shù)越少 ， r越接近1,當 ，說明x與y之間存在顯著的線性關系,對于給定的顯著性水平α，查相關系數(shù)臨界值rmin,③相關系數(shù)檢驗,（2）F檢驗,①離差平方和 總離差平方和：,,,,,回歸平方和（regression sum of square） ：,殘差平方和 ：,三者關系：,②自由度,

61、SST的自由度 ：dfT＝n－1SSR的自由度 ：dfR＝1SSe的自由度 ：dfe＝n－2三者關系： dfT＝ dfR ＋dfe③均方,,,,④F檢驗,F服從自由度為（1，n－2）的F分布給定的顯著性水平α下 ，查得臨界值： Fα（1，n－2) 若F＞ Fα（1，n－2) ，則認為x與y有明顯的線性關系，所建立的線形回歸方程有意義,,⑤方差分析表,4.3 多元線性回歸分析,（1）多元線性回歸形式試驗指標（因變量）y

62、與m個試驗因素（自變量） xj（j=1,2,…,m）多元線性回歸方程：,,,4.3.1 多元線性回歸方程的建立,偏回歸系數(shù)：,（2）回歸系數(shù)的確定,根據(jù)最小二乘法原理 ：求偏差平方和最小時的回歸系數(shù)偏差平方和：,,,,根據(jù)：,得到正規(guī)方程組，正規(guī)方程組的解即為回歸系數(shù)。,4.3.2 多元線性回歸方程顯著性檢驗,（1） F檢驗法 總平方和：,,,,回歸平方和：,殘差平方和：,F服從自由度為（m，n－m－1）的分布 給定的顯著性

63、水平α下 ，若F＞Fα(m，n－m－1 )，則y與x1，x2，…，xm間有顯著的線性關系,方差分析表：,（2）相關系數(shù)檢驗法,復相關系數(shù)（multiple correlation coefficient）R ： 反映了一個變量y與多個變量（ x1，x2，…，xm ）之間線性相關程度 計算式 ：,R＝1時，y與變量x1，x2，…，xm之間存在嚴格的線性關系R≈0時，y與變量x1，x2，…，xm之間不存在線性相關關系 當0＜

64、R＜1時，變量之間存在一定程度的線性相關關系 R＞Rmin時 ，y與x1，x2，…，xm之間存在密切的線性關系,,R一般取正值 ，0≤R≤1,,4.3.3 因素主次的判斷,（1）偏回歸系數(shù)的標準化 設偏回歸系數(shù)bj的標準化回歸系數(shù)為Pj：,,Pj越大，則對應的因素（xj）越重要,（2） 偏回歸系數(shù)的顯著性檢驗,計算每個偏回歸系數(shù)的偏回歸平方和SSj ： SSj＝bjLjy SS

65、j的大小表示了因素xj對試驗指標y影響程度，對應的自由度dfj＝1,,服從自由度為（1，n－m－1）的F分布,如果若F＜ Fα(1，n－m－1 )， ，則說明xj對y的影響是不顯著的，這時可將它從回歸方程中去掉，變成（m－1）元線性方程,（3）偏回歸系數(shù)的t檢驗,,,t值的計算 ：,,單側t分布表,檢驗：,,→,如果,,,說明xj對y的影響顯著，否則影響不顯著，,4.4.1 一元非線性回歸分析,通過線性變換，將其轉化為一元線性回歸問

66、題 ：直角坐標中畫出散點圖；推測y與x之間的函數(shù)關系；線性變換；用線性回歸方法求出線性回歸方程；返回到原來的函數(shù)關系，得到要求的回歸方程,4.4 非線性回歸分析,4.4.2 一元多項式回歸,任何復雜的一元連續(xù)函數(shù)都可用高階多項式近似表達 ：,,,可以轉化為多元線性方程：,4.4.3 多元非線性回歸,如果試驗指標y與多個試驗因素xj之間存在非線性關系，如二次回歸模型 ：,,4.5 Excel在回歸分析中的應用,4.5.

67、1 “規(guī)劃求解”在回歸分析中應用解方程組 最優(yōu)化 4.5.2 Excel內置函數(shù)在回歸分析中應用4.5.3 Excel圖表功能在回歸分析中的應用4.5.4 分析工具庫在回歸分析中應用,第5章 優(yōu)選法,優(yōu)選法：根據(jù)生產(chǎn)和科研中的不同問題，利用數(shù)學原理，合理地安排試驗點，減少試驗次數(shù)，以求迅速地找到最佳點的一類科學方法。適用于：試驗指標與因素間不能用數(shù)學形式表達表達式很復雜,x3,,5.1 單因素優(yōu)選法,基本命

68、題試驗指標f(x)是定義區(qū)間(a，b)的單峰函數(shù)用盡量少的試驗次數(shù)，來確定f(x)的最大值的近似位置 5.1.1 來回調試方法,若f(x1)< f(x2),若f(x2)< f(x3),,,,x4,,……,x3,5.1.2 黃金分割法（0.618法）,黃金分割 ：,,,優(yōu)選步驟：,0.618,0.382,,……,5.1.3 分數(shù)法,菲波那契數(shù)列 ：F0＝1，F(xiàn)1＝1，F(xiàn)n＝Fn-1＋Fn-2 (n≥2)