金融工程 北大光華管理學(xué)院07_options_ the greeks

1、第7章期權(quán)的希臘字母,Greeks,2,教學(xué)內(nèi)容,DeltaThetaGammaVegaRhoPortfolio Insurance,Greeks,3,希臘字母,希臘字母度量期權(quán)的風(fēng)險，用于期權(quán)頭寸的風(fēng)險管理期權(quán)做市商金融機構(gòu)地期權(quán)交易員期權(quán)價值的決定因素包括股價、到期時間、波動率、無風(fēng)險利率以及執(zhí)行價格，其中易變的因素有四個：股價：Delta, Gamma到期時間：Theta波動率：Vega無風(fēng)險利率：Rh

2、o,Greeks,4,Delta,Delta是期權(quán)價值對標(biāo)的資產(chǎn)價格的偏導(dǎo)數(shù)，度量了期權(quán)價值對標(biāo)的資產(chǎn)價格變化的敏感性圖示,Greeks,5,Delta——歐式股票期權(quán),利用BS公式，可以推導(dǎo)出Delta與股價的關(guān)系 1 X,Greeks,6,Delta——歐式股票期權(quán),Delta與到期時間的關(guān)系,Greek

3、s,7,Delta——其它歐式期權(quán),股指期權(quán)外匯期權(quán)期貨期權(quán)股票遠期,Greeks,8,Delta——線性,考慮一個期權(quán)投資組合，其中所有期權(quán)的標(biāo)的資產(chǎn)都是同一種資產(chǎn)，則，組合的Delta等于每種期權(quán)的Delta的線性和 其中， 表示組合包含第I中期權(quán)的數(shù)量,Greeks,9,Delta對沖,定義：建立對沖工具頭寸，使得對沖工具頭寸與要保護的頭寸的Delta等于零Delta中性：資產(chǎn)(或者組合)的Del

4、ta等于零動態(tài)對沖由于資產(chǎn)的Delta通常是時間的函數(shù)，因此，為了實現(xiàn)對沖目標(biāo)，通常必須動態(tài)調(diào)整對沖工具頭寸的數(shù)量例子：BSM隨機微分方程的推導(dǎo)1個單位衍生工具空頭， 份股票BS采用Delta對沖方法，建立起包含期權(quán)的Delta中性頭寸,Greeks,10,Delta對沖——使用期貨,實踐中，對沖工具多選用期貨期貨流動性好、交易成本低符號期貨到期時間：Delta對沖需要的標(biāo)的資產(chǎn)頭寸：Delta對沖需要的

5、期貨頭寸：期貨的Delta: 期貨合約的Delta v.s. 遠期合約的Delta,Greeks,11,Delta對沖——使用期貨,Delta對沖需要的期貨頭寸標(biāo)的資產(chǎn)不分紅標(biāo)的資產(chǎn)為股票指數(shù)標(biāo)的資產(chǎn)為外匯,Greeks,12,Theta——定義,Theta是期權(quán)價值對時間的偏導(dǎo)數(shù)，度量了期權(quán)價值隨時間衰減的速度與股價呈隨機波動不同，距離到期的時間是一個完全確定的量，無需進行對沖,Greeks,13,Theta

6、——歐式股票期權(quán),歐式股票期權(quán)的Theta買權(quán)賣權(quán),Greeks,14,Theta——歐式股票期權(quán),Theta與股價的關(guān)系 X,Greeks,15,Theta——歐式股票期權(quán),Theta與時間的關(guān)系,Greeks,16,Gamma,Gamma是期權(quán)的Delta對標(biāo)的資產(chǎn)價格的偏導(dǎo)數(shù)，也是期權(quán)價值對標(biāo)的資產(chǎn)價格的二階偏倒數(shù)Gamma度量了期權(quán)Delta對標(biāo)的資產(chǎn)價格變化的敏感性，也度量了期權(quán)價值對標(biāo)的

7、資產(chǎn)價格的凸性Gamma中性與Gamma對沖由于標(biāo)的資產(chǎn)及其遠期、期貨合約的Gamma都等于零，因此，不能用來改變投資組合的Gamma要改變投資組合的Gamma，必須使用那些價格與標(biāo)的資產(chǎn)價格呈非線性關(guān)系的工具，例如期權(quán),Greeks,17,Gamma——歐式股票期權(quán),歐式股票期權(quán)的Gamma,Greeks,18,Gamma——歐式股票期權(quán),Gamma與股價的關(guān)系 X,Greeks,1

8、9,Gamma——歐式股票期權(quán),Gamma與到期時間的關(guān)系,Greeks,20,Delta, Theta, Gamma的關(guān)系,從BSM方程容易推導(dǎo)出三者的關(guān)系如果投資組合是Delta中性的，則如果Theta是較大的正數(shù)，Gamma就是很大的負數(shù)，因此，Theta可以作為Gamma的替代指標(biāo)使用,Greeks,21,Vega,Vega是期權(quán)的價值對標(biāo)的資產(chǎn)波動率的偏導(dǎo)數(shù)，度量了期權(quán)價值對標(biāo)的資產(chǎn)波動率的敏感性Vega

9、中性與Vega對沖由于標(biāo)的資產(chǎn)及其遠期、期貨合約的Vega都等于零，因此，不能用來改變投資組合的Vega要改變投資組合的Vega ，必須使用那些Vega不等于零的工具，例如期權(quán)歐式期權(quán)的Vega,Greeks,22,Vega——與股價的關(guān)系,X,Greeks,23,Vega——與到期時間的關(guān)系,Greeks,24,Rho,Rho是期權(quán)價值對無風(fēng)險利率的偏導(dǎo)數(shù)，度量了期權(quán)價值對利率變化的敏感性標(biāo)的股票不支付紅利的歐式期權(quán)買權(quán)

10、賣權(quán),Greeks,25,Rho——外匯期權(quán),外匯期權(quán)涉及本幣利率與外幣利率，因此，有兩個rho，一個對應(yīng)于本幣利率(見上一頁)，另一個對應(yīng)于外幣利率買權(quán)賣權(quán),Greeks,26,Rho——歐式股票:與股價的關(guān)系,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,

11、,,,,Greeks,27,Rho——歐式股票買權(quán):與到期時間的關(guān)系,Greeks,28,投資組合保險——定義,投資組合保險：用期權(quán)限制表的資產(chǎn)價格下跌的風(fēng)險股票投資組合+股票指數(shù)賣權(quán) P/L 股價,,Greeks,29,投資組合保險——合成期權(quán),投資組合保險對期權(quán)的要求流動性執(zhí)行價格到期時間

12、基金經(jīng)理常常創(chuàng)建合成期權(quán)進行投資組合保險期權(quán)合成技術(shù)——動態(tài)復(fù)制似曾相識——在推導(dǎo)BSM過程中采用的Delta對沖就是用標(biāo)的股票與買權(quán)動態(tài)復(fù)制無風(fēng)險資產(chǎn)動態(tài)復(fù)制標(biāo)的資產(chǎn)+無風(fēng)險資產(chǎn)股指期貨+無風(fēng)險資產(chǎn),Greeks,30,投資組合保險——標(biāo)的資產(chǎn)+無風(fēng)險資產(chǎn),歐式股票賣權(quán)=標(biāo)的資產(chǎn)+無風(fēng)險資產(chǎn)股票空頭頭寸，數(shù)量等于賣權(quán)的Delta無風(fēng)險資產(chǎn)，數(shù)量等于賣空股票獲得的收入加上賣權(quán)的價值股票頭寸：無風(fēng)險資產(chǎn)頭寸：在

13、一定條件下，復(fù)制賣權(quán)的投資組合是自融資的,Greeks,31,投資組合保險——標(biāo)的資產(chǎn)+無風(fēng)險資產(chǎn),,Greeks,32,投資組合保險——標(biāo)的資產(chǎn)+無風(fēng)險資產(chǎn),上圖有助于理解動態(tài)復(fù)制技術(shù)曲線表示賣權(quán)與標(biāo)的股票價格的關(guān)系切線的斜率表示賣權(quán)的Delta截距表示復(fù)制投資組合在無風(fēng)險資產(chǎn)上的投資額隨著股價的漲跌，切線的位置和方向?qū)l(fā)生改變，其斜率與截距都將發(fā)生變化因此，動態(tài)復(fù)制需要經(jīng)常性地調(diào)整頭寸投資組合保險(股票+賣權(quán))包含兩個頭

14、寸股票頭寸：無風(fēng)險資產(chǎn)頭寸:,Greeks,33,投資組合保險——使用股指期貨,通過利用股指期貨，不用買賣股票進行再平衡 通過在投資組合基礎(chǔ)上“覆蓋”股指期貨頭寸提供保險指數(shù)期貨顯著降低了交易成本80年代末，美國股指期貨的雙向買、賣差價與傭金大約為股票的1/10 (8bp : 80bp),Greeks,34,投資組合保險——缺陷,投資組合保險的機制決定了這種策略在股票市場或者股指期貨市場上必須“追漲殺跌”動態(tài)復(fù)制在理論上

15、雖然是“自融資策略”，但是，由于存在交易成本，實際上不可能是“自融資策略”?；鸾?jīng)理必須在交易成本與復(fù)制效果之間進行平衡交易成本越高，在平衡的頻率越低在股市出現(xiàn)極端行情的時候，投資組合保險的效果將大打折扣股票、股指期貨交易困難組合不是Vega中性的。然而，在極端行情中，波動率會大幅度上升，因而顯著增加復(fù)制期權(quán)的成本如果采用股指期貨進行保險，基點差風(fēng)險也不容忽視1987/10，股指期貨與S&P 500出現(xiàn)重大偏差,Gr

16、eeks,35,投資組合保險——股價跳躍,Greeks,36,二叉樹模型,基于Cox and Ross (1976)提出的風(fēng)險中性定價思想， Cox, Ross & Rubinstein (1979)提出了一種簡單地定價期權(quán)的辦法——二叉樹模型二叉樹模型是估計期權(quán)價值的主要數(shù)值方法之一二叉述模型把股價的連續(xù)運動過程離散化,Greeks,37,二叉樹模型——離散化,把期權(quán)的期限分成若干等份，每一份的長度計作delta(t)假

17、設(shè)在每個時間段的股價變化存在兩種可能性上升到Su，概率為p下降到Sd，概率為(1-p) 在風(fēng)險中性世界里，股價的期望收益率為r,(1),Greeks,38,二叉樹模型——離散化,股價做幾何布朗運動，在delta(t)內(nèi)的方差為兩個約束方程，3個未知數(shù)p, u, d添加第三個方程方程組(1)-(3)的解 , ,,(2),(3)