建筑與數(shù)學

1、建筑與數(shù)學幾何圖形,,,,如果說數(shù)字的起源是遠古人類感知、記錄和計算事物“多少”而產(chǎn)生的，那么圖形是遠古人類感知、描繪和構(gòu)成事物的形狀而產(chǎn)生的。 “大漠孤煙直，長河落日圓”，自然界事物最普遍的基本形狀是圓形（或近似圓形），蜂巢的六邊形也接近圓形。因為自然因素通常是各向同性的，樹干長粗，各方向都能長，所以是圓的，不會長成方的。圓是各向同性的，方就不是，所以自然界幾乎沒有方形，方是人類的創(chuàng)造。 方的創(chuàng)造與

2、人類的建筑活動有關(guān)，方形可以無縫的連續(xù)拼接，因為方形的角是直角（90°），四個直角可以無縫地拼成全角（360°）；立方體既是直角，而且六個面兩兩平行，可以穩(wěn)定的無縫的砌筑。,人類是如何發(fā)現(xiàn)方的呢？觀察自然。除了“落日圓”，還有“孤煙直”。地球上，有一個因素有確定的指向性，就是地球引力（重力），其方向是垂直地面。人類觀察到樹木垂直生長，手里的東西掉下來，垂直下落，煙往上升等；還觀察到水面是平的（所以叫“水平”，也是

3、重力的結(jié)果），地面要水平的，桌面也要水平，否則東西放上去要滑動。從垂直、水平就可以逐漸認識到方形平面、立方體和平行表面，自然界有些石頭有平行表面（水成巖，也是重力形成的）。,杉樹林豎直的樹干,水平的湖面,黑格爾說過：“建筑是地球引力的藝術(shù)”建筑物的屋蓋形狀可以三維變化，豐富多彩，“奇形怪狀”；墻體可以在平面上“曲折”，而在豎直方向通常是直立的；當屋頂和墻面合成一體，墻也可以是三維變化的形狀。但是建筑物的樓層只能是水平的，人們需要在上面

4、活動。,,高層建筑體型再復雜，樓層都必須是水平的。確定水平與垂直，至今仍是建筑行業(yè)建造活動中最基本和最重要的工作。,迪拜“舞蹈大樓” 扎哈,阿布扎比 “首都之門”,多倫多“夢露大廈” 馬巖松,,尼羅河每年一次洪水泛濫促成了古埃及文明的產(chǎn)生。洪水到來時，會淹沒兩岸農(nóng)田，洪水退后，又會留下一層厚厚的河泥，形成肥沃的土壤。,,洪水退去后，原有的土地界限淤沒了，需要重新丈量界定。法老政府按土地征稅，也要丈量計算土地面積。這就促使

5、了古埃及幾何學的發(fā)展。 4500年前建造的建筑史上的奇跡胡夫金字塔，既是工程學的巨大成就，也表現(xiàn)出古埃及幾何學的輝煌。,塔高146.6米，塔身傾角為51度52分，塔底部為邊長230米的正方形，邊長的誤差僅2厘米，直角的誤差僅僅12″。,,《幾何原本》古希臘 歐幾里得 最早用公理法則建立起演繹數(shù)學體系的典范。古希臘數(shù)學的基本精神，是從少數(shù)的幾個原始假定（定義、公設、公理）出發(fā)，通過邏輯推理（因為∵… …

6、，所以∴… …） ，得出結(jié)論。（并可作為新的可接受的命題） 愛因斯坦：“西方科學的發(fā)展是以兩個偉大成就為基礎，那就是：希臘哲學家發(fā)明的形式邏輯體系（在歐幾里得幾何學中），以及通過系統(tǒng)的實驗發(fā)現(xiàn)有可能找出因果關(guān)系（在文藝復興時期）”。,。,明 徐光啟譯本,第一個印刷版本,抄寫在紙草上的殘片,,能夠無間隙拼連的單一的正多邊形只有三種：正三角形、正方形、正六邊形。因為它們的內(nèi)角是360°的整分數(shù)：360 

7、6; /12 = 60 °, 360 ° /4 = 90 °, 360 ° /6 = 120 °。,胞體幾何（Cell Geometry）,,,六邊形在自然界中因為其最接近圓形，是上述三種圖形中最符合“經(jīng)濟法則”——同樣面積，邊長最短。,,“水立方”（奧運游泳館）表皮 Skin,,,盡管每個元泡形狀不同，但交點都是三條邊相交的“ Y ”形。,,鑲嵌圖形,通過“拉伸”或“壓扁”

8、，等腰三角形、長方形、扁六邊形，也能以單一個體無間隙鑲嵌。,,用不同的正多邊形來拼鋪整個平面，但每一個交叉點周圍的正多邊形種類和順序都相同，叫做半正鑲嵌圖。半正鑲嵌圖有8種。,,4 + 6,3 + 12,4 + 6 + 12,3 + 4 + 6,3 + 6,3 + 6,3 + 4,3 + 4,伊斯蘭清真寺裝飾圖案,12,三角形鑲嵌 華盛頓美術(shù)館東館,三角形鑲嵌 舊金山圣瑪麗教堂,,,,,富勒發(fā)明的張力桿件穹窿，直徑76 m

9、。三角形金屬網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)組合成一個球體。,蒙特利爾博覽會美國館 富勒 1967,“以最小追求最大?！?(Doing the most with the least.) 圓球建筑以“無一定尺寸限制的結(jié)構(gòu)”為概念，不連續(xù)的和連續(xù)的張力相結(jié)合，以最小的材料和最合理的結(jié)構(gòu)、最小的投資創(chuàng)造出最大的內(nèi)部空間。 富勒說，“評判建筑結(jié)構(gòu)優(yōu)劣的一個好指標，是遮蓋一平方米地面所需要的結(jié)構(gòu)重量。常規(guī)墻頂設計中，

10、這數(shù)字往往是2500公斤每平方米，但‘網(wǎng)球格頂’設計卻可以用4公斤每平方米完成。”,富勒是第一個運用六邊形和五邊形構(gòu)成的球形薄殼建筑結(jié)構(gòu)，作成能源耗費極低，強度卻很強大的建筑物，后來這種結(jié) 構(gòu)被廣泛運用，現(xiàn)代運動的足球，就是運用這個結(jié)構(gòu)所制造。這個結(jié)構(gòu)也協(xié)助科學家發(fā)現(xiàn)了碳C60，后來被稱為 富勒烯。,19,,,,,可滾動的多面體住宅 波哥達 哥倫比亞 2009年,美國丹佛機場候機樓,慕尼黑奧林匹克體育場,張拉膜結(jié)構(gòu),慕尼

11、黑奧林匹克體育場張拉膜結(jié)構(gòu),張拉膜結(jié)構(gòu)常用肥皂膜來比擬。,埃舍爾的幾何藝術(shù),摩里茨·科奈里斯·埃舍爾 M.C.Escher （1898-1972）荷蘭藝術(shù)家。1922年畢業(yè)于Arnhem（阿納姆）建筑與裝飾藝術(shù)學院，建筑專業(yè)。埃舍爾把自己稱為一個“圖形藝術(shù)家”。,埃舍爾的鑲嵌圖形,,埃舍爾的鑲嵌圖形,埃舍爾的鑲嵌圖形,,圓之界限 1959,方之界限 1959,埃舍爾的鑲嵌圖形,埃舍爾的“迷惑的圖畫”,埃舍爾“迷

12、惑的圖畫”,瀑布 1961,埃舍爾“迷惑的圖畫”,現(xiàn)實 1953,對稱 在數(shù)學上，將兩種狀態(tài)間通過確定的規(guī)則對應起來的關(guān)系，稱為從一種狀態(tài)到另一種狀態(tài)的變換。 如果某一現(xiàn)象（或系統(tǒng)）在某種變換下不改變，則說該現(xiàn)象（或系統(tǒng)）具有該變換所對應的對稱性。 圓對過圓心且與圓所在平面垂直的直線具有旋轉(zhuǎn)變換的對稱性，并對直徑具有鏡像反射變換的對稱性。 無論怎樣復雜的轉(zhuǎn)動都不能把左手轉(zhuǎn)成右手。 圍

13、棋盤（方格網(wǎng)，規(guī)則網(wǎng)格）具有平移變換的對稱性； 圖形的角度和長度比具有相似變換的對稱性； 以相等的時間間隔平移的對稱性，通常稱為周期性； 一個靜止的物體具有任意時間平移的對稱性。 內(nèi)特爾（Noether)定理：如果運動規(guī)律在某一變換下具有對稱性，必相應存在一個守恒定律。例如：物理定律不隨時間變化，能量就守恒；作用量在空間平移下保持不變，動量就守恒；作用量在空間旋轉(zhuǎn)下保持不變，角動量

14、就守恒；,,復合變換下的對稱性 左圖是以圖形的垂直中線作鏡像反射變換，并作“黑白顏色互變”變換。,,對稱是自然界最普遍的形態(tài),,對稱是人類文明開始的形態(tài),,對稱是人類文明開始的形態(tài),三星堆和金沙遺址出土的“太陽”器，圓形對稱。,對稱 莊重、穩(wěn)定、平衡,對稱布局會突出和加強中軸線,拓撲幾何——“橡皮幾何”,,以色列的一位城市規(guī)劃學者在清華建筑學院做講座，說到老北京的街道都是南北正交，而中東的城市街道彎曲。他講完，我向

15、同學講，兩者的街道形態(tài)在拓撲上“同構(gòu)”的。每一個交叉口都是兩條街道相交。,一個幾何圖形任意“拉扯”（就像畫在橡皮上），只要不發(fā)生割裂和粘接，可做任意變形，稱為“拓撲變形”。兩個圖形通過“拓撲變形”可以變得相同，則稱這兩個圖形是“拓撲同構(gòu)” 。 拓撲幾何——研究幾何圖形在一對一連續(xù)變換中了不變的性質(zhì)。不考慮幾何圖形的尺寸、面積、體積等度量性質(zhì)和具體形狀。,此圖和上面兩圖同構(gòu),此圖和上面兩圖不同構(gòu),,放射形街道,方格形

16、街道,上述圓、三角形、方形和任意封閉曲線同構(gòu) 在拓撲變換中封閉圍線的“內(nèi)”和“外”的區(qū)分不變，邊線上點的順序不變。,上述四個圖形不同構(gòu)：封閉曲線，開口曲線，有一個三叉點的開口曲線，有一個四叉點和兩個封閉域的封閉曲線 在拓撲變換中。端點、三叉點、四叉點、封閉域數(shù)量不變。,,,,高校教材《中國建筑史》第五版 P229 “拓撲同構(gòu)圖”,,封閉圖形的“里”與“外”,封閉圍線構(gòu)成一個封閉圖形，如何判別“里”與“

17、外”呢？在圖形的“外”部確定一點，這容易判定，只要它離圖形足夠遠。從這一點出發(fā)到需判定的點的路徑，如果和圍線（邊界）相交奇數(shù)次，則需判定的點在“里”，如果和圍線（邊界）相交偶數(shù)次，則需判定的點在“外”。當然首選的出發(fā)點在“里”，從此點到需判定的點的路徑，如果和圍線（邊界）相交奇數(shù)次，則需判定的點在“外”，如果和圍線（邊界）相交偶數(shù)次，則需判定的點在“里”。也可簡述為： 從外到里，從里到外的路徑與邊界交奇數(shù)次；從外到外，從

18、里到里的路徑與邊界交偶數(shù)次。路徑可以是曲折的，也可以穿過邊界進進出出。 房屋就是封閉圖形（體），人流流線就是“路徑”，墻是“邊界”，墻上的門就是“交點”。,,高校教材《中國建筑史》第五版 P228 “四、同構(gòu)關(guān)系與自然秩序”,,萊特設計的三個住宅的平面是拓撲同構(gòu)的。參見《建筑設計與人文科學》,,歐美小住宅和中國四合院的拓撲結(jié)構(gòu)不同，前者與球同構(gòu)，后者與輪胎同構(gòu)。,球和立方體同構(gòu)，與輪胎不同構(gòu)。,,,頭顱拓撲比較，看動

19、物的進化。,,莫比烏斯帶 Möbius Strip 德國數(shù)學家莫比烏斯發(fā)明,,將一個長方形紙條的一端固定，另一端扭轉(zhuǎn)半周后，把兩端粘合在一起 ，得到的曲面就是莫比烏斯帶。,用一種顏色，在紙圈上面涂抹，畫筆沒有越過紙邊，卻把整個紙圈涂抹成一種顏色，不留下任何空白?；颍粋€螞蟻不越出紙邊，就可以爬過紙面所有表面。,試驗：（1）如果在裁好的一條紙帶正中間畫一條線（正反兩面都畫上中線），粘成莫比烏斯帶，然后沿中線剪開，把這個圈一

20、分為二，結(jié)果會怎樣？ （2）在裁好的一條紙帶正中間畫兩條線（三等分帶子寬度，正反兩面都畫上線），粘成莫比烏斯帶，然后沿線剪開，結(jié)果又會怎樣？沿著線剪的時候，要不要剪完一條線，再剪另一條線？,,,,,馬清運設計的莫比烏斯造型雕塑,扎哈設計的莫比烏斯造型雕塑,,莫比烏斯帶的建筑造型概念,北京設計院：北京鳳凰傳媒中心,鳳凰傳媒中心 北京設計院,55,鳳凰傳媒中心 北京設計院,,,UN Studio將莫比烏斯環(huán)的概

21、念發(fā)展成了一座建筑，位于阿姆斯特丹近郊的莫比烏斯住宅。建筑師以人在一天的活動、位移為主線，運用數(shù)字技術(shù)，將拓撲學中的莫比烏斯環(huán)作為建筑生成的概念。 左圖描繪了夫婦兩人如何一起生活、分開工作又如何相遇在共享空間。兩個人運行自己的軌跡，有時匯合，有時甚至可能會互換角色。這個住宅混合了多種情況，將不同的行為置于一個環(huán)形結(jié)構(gòu)之中，工作、家庭生活、獨處都能在環(huán)形中找到自己的位置。材料（主要是玻璃和混凝土）相互依賴又轉(zhuǎn)換位置，混凝土結(jié)構(gòu)在內(nèi)

22、部成為家具而立面上的玻璃在內(nèi)部成為了隔墻。,莫比烏斯住宅 UN Studio,,,,,,在這幢住宅里，作為垂直交通的樓梯成為莫比烏斯環(huán)形成的核心，樓梯扭轉(zhuǎn)了上下層的軸線，形成了全新的空間形式。,莫比烏斯住宅 UN Studio,,,,,莫比烏斯住宅 UN Studio,,,,,ICA 假日之家 UN Studio 2006,哈薩克斯坦新國家圖書館方案競賽中，丹麥BIG事務所的設計作品取得了第一名?！霸O計是將穿越空間與時間的四個世

23、界性經(jīng)典造型——圓形、環(huán)形、拱形和圓頂形——以莫比烏斯圈的形式融合在了一起。,哈薩克斯坦國家圖書館 BIG,哈薩克斯坦國家圖書館 BIG,哈薩克斯坦國家圖書館 BIG,威尼斯雙年展上的莫比烏斯圈UN Studio,杭州科技館方案,2010世博會丹麥館 BIG,2010世博會丹麥館 BIG,2010世博會丹麥館 BIG,,Klein Bottle,三維空間中的克萊因瓶，沒有“內(nèi)部”和“外部”之分。由德國數(shù)學家菲利

24、克斯·克萊因提出的?？巳R因瓶和莫比烏斯帶非常相像?？巳R因瓶的結(jié)構(gòu)是，一個瓶子底部有一個洞，現(xiàn)在延長瓶子的頸部，并且扭曲地進入瓶子內(nèi)部，然后和底部的洞相連接。這個物體沒有“邊”，它的表面不會終結(jié)。一只爬在“瓶外”的螞蟻，可以輕松地通過瓶頸而爬到“瓶內(nèi)”去?？巳R因瓶是一個在四維空間中才可能真正表現(xiàn)出來的曲面，,把克萊因瓶沿著它的對稱線切下去，得到兩個莫比烏斯帶。,有人說，把克萊因瓶投影到平面上，是和中國陰陽圖同構(gòu)的。,復雜的克萊因

25、瓶,克萊因瓶 Klein Bottle,,克萊因瓶 Klein Bottle,克萊因瓶住宅 麥克布萊德 McBride Charles Ryan Architects,克萊因住宅,克萊因住宅,,74,2010世博會 委內(nèi)瑞拉館 法昆多?巴烏多因?特蘭,,,2010世博會 委內(nèi)瑞拉館 法昆多?巴烏多因?特蘭,,,英國AA學院學生設計作業(yè)， 2011,,,,分形幾何,,1967年，英國學者曼德布倫特(Mandel

26、brot)在《科學》雜志發(fā)表論文“英國的海岸線到底有多長？”。,首先，這個問題涉及到如何丈量，在一張百萬分之一地圖上量，在若干張萬分之一地圖上量再相加，到現(xiàn)場用米尺一段一段量再加起來，在現(xiàn)場用厘米為單位“精細”地去量，結(jié)果都不一樣。客觀事物有它自己的特征長度，要用恰當?shù)某叨热y量。如果用公里作測量單位，從幾米到幾十米的一些曲折會被忽略；改用米來做單位，測得的總長度會增加，但是一些厘米量級以下的還是不能反映出來。,,,,,其次，什么是英國

27、的海岸線（長度），它不像萬里長城，綿延萬里，只要不怕費時費事，總可以量出來。但海岸線不同，百萬分之一地圖上是曲曲折折的，萬分之一地圖還是曲曲折折的，到現(xiàn)場觀察，百米的海岸線還是曲曲折折的，甚至蹲下來看眼前的海岸線（水與岸的交界線）還是曲折的。即海岸線在不同的尺度下具有相似性。一些客觀事物具有自相似的層次結(jié)構(gòu)，適當?shù)姆糯蠡蚩s小幾何尺寸，整個結(jié)構(gòu)并不改變。局部與整體在形態(tài)上具有統(tǒng)計意義上的相似性，稱為自相似性,,,,曼德布倫特經(jīng)過詳細計算得

28、出以下結(jié)果：測量步長為500公里時，則海岸線長度為2600公里；測量步長為100公里時，則海岸線長度為3800公里;......,,,,正是在這樣的一些概念和理論的討論基礎上，20世紀70年代末80年代初，產(chǎn)生了新興的分形幾何（fractal geometry）。 曼德布倫特1975年發(fā)表《分形對象：形態(tài)，機遇和維數(shù)》，確立了分形幾何理論體系。1982年改版為《自然的分形幾何學》，對自然界中的分形現(xiàn)象進行幾何學解釋。曼德布

29、倫特給出分形的定義：分形是局部與整體在某種意義下存在相似性的形狀。強調(diào)分形物體基本特征： (1)每點處有無限的細節(jié)；對于分形物體的放大，可以連續(xù)地看到如同在原圖中出現(xiàn)的更多的細節(jié)。 (2)物體整體與局部特性之間的“自相似性”，或者說唯有具備自相似結(jié)構(gòu)的那些幾何形體才是分形。 后來，英國數(shù)學家法爾科內(nèi)提出分形應具有以下所有五個基本特征或其中的大部分： ⑴形態(tài)的不規(guī)則性；⑵結(jié)構(gòu)

30、的精細性；⑶局部與整體的自相似性；⑷維數(shù)的非整數(shù)性；⑸生成的迭代性。,,美國佛羅里達千島群島Florida Panhandle,南阿拉斯加冰原沼澤South Alaska,瀑布的形態(tài),閃電的形態(tài),,,,,,,,,Mandelbulb3d生成的3d分形圖形,美國羚羊谷實景照片,超越無限空間裝置,法國藝術(shù)大師Serge Salat,,,,,,,,,,北京胡同的肌理 （ 乾隆年間的北京地圖） 自相似性,,,,,Marin市民中心 賴特

31、,墨爾本聯(lián)邦廣場 LAB Architecture Studio,墨爾本聯(lián)邦廣場 LAB Architecture Studio,印度, 孟買, Tote餐廳 塞瑞爾,印度, 孟買, Tote餐廳 塞瑞爾,東門咖啡廳設計 清華大學本科生計算機實習作業(yè),玉河城市設計 清華大學研究生studio作業(yè),玉河城市設計 清華大學研究生studio作業(yè),玉河城市設計 清華大學研究生studio作業(yè),,玉河城市設計 清華大學研究生studio作