最優(yōu)控制問題的低階非協調有限元方法研究.pdf

1、本論文主要研究橢圓型、Stokes型和拋物型等一類偏微分方程最優(yōu)控制問題的非協調有限元及混合元逼近方法.最優(yōu)控制問題在許多工程領域中有著廣泛應用,比如大氣污染控制、溫度控制、石油開采、圖像處理等領域.由于很多最優(yōu)控制問題的計算規(guī)模十分巨大,對于求解速度的要求很高,所以研究其高精度數值算法就顯得尤為重要,實際上,非協調元在大規(guī)模并行計算中具有明顯優(yōu)勢.而最優(yōu)控制問題的解一般具有較低的正則性,因此應首選低階元來逼近相關變量.論文借助低階非協

2、調元的一些特殊性質,如插值算子與Rieze投影等價,以及相容誤差比插值誤差高一階等,通過一系列新的技巧和方法,導出了相關變量的最優(yōu)誤差估計結果或超逼近性質,并在超逼近性質的基礎上,采用插值后處理技術得到了整體超收斂的結果.另外,最后兩章還分別討論了界面問題和對流占優(yōu)擴散問題的非協調有限元方法和特征有限元方法.同時,通過一些數值算例驗證其理論分析的正確性.本論文的研究為最優(yōu)控制問題的數值計算提供了一些新的途徑,對于拓寬非協調有限元方法的應

3、用范圍有著重要的理論研究意義和應用價值.
　　全文共有如下八章組成:
　　第一章引言,敘述了最優(yōu)控制問題數值方法的研究現狀及背景,并介紹了本文常用的一些記號和相關基本知識,最后給出本文的結構安排.
　　第二章介紹了橢圓型最優(yōu)控制問題的高精度非協調E Qrot1有限元逼近方法,對狀態(tài)變量、伴隨狀態(tài)變量及控制變量均得到了超逼近性質,采用插值后處理技術得到了狀態(tài)變量和伴隨狀態(tài)變量在能量模意義下的整體超收斂結果,給出的數值試驗

4、驗證了理論分析的正確性,并將該方法推廣到了其他一些著名的非協調元情形.該部分內容發(fā)表于SCI期刊《Applied Mathematics and Computation》上.
　　第三章研究的是一個橢圓型最優(yōu)控制問題,由于該問題的目標函數中出現了伴隨狀態(tài)變量,于是構造了一個混合有限元格式,對伴隨狀態(tài)變量采用一對非協調元逼近,對狀態(tài)變量和控制變量采用分片常數單元逼近,該匹配方式恰好滿足混合元所必須的LBB條件,并利用該非協調元的特殊

5、性質得到了最優(yōu)誤差估計結果,給出的數值試驗驗證了該格式是有效可行的.該部分內容發(fā)表于SCI期刊《Computers and Mathematics with Applications》上.
　　第四章針對Stokes最優(yōu)控制問題,構造了一個非協調E Qrot1元匹配分片常數單元的混合有限元方法,該格式也滿足所謂的LBB條件,最后得到了最優(yōu)誤差估計結果.
　　第五章研究的是一個非光滑橢圓最優(yōu)控制問題的非協調有限元方法,首先進行

6、了該非光滑橢圓問題的非協調有限元誤差分析,得到了最優(yōu)誤差估計和整體超收斂結果.由于非光滑問題的解經常不唯一,討論相關變量數值解與精確解之間的誤差估計已經沒有意義,于是考慮給出了一種面向目標函數的誤差估計,這也說明了有限元數值解與某一精確解確實存在一定的逼近關系.該部分內容已投稿到SCI期刊《Acta Mathematicae Applicatae Sinica》上.
　　第六章研究的是拋物型最優(yōu)控制問題的非協調有限元方法,對時間變

7、量采用差分離散,對控制變量采用分片常數空間逼近,得到了超逼近和負模估計結果,對狀態(tài)變量及伴隨狀態(tài)變量采用非協調E Qrot1元逼近,得到了能量模意義下的超逼近和超收斂結果.
　　第七章對橢圓型和拋物型的界面問題,采用最低階的P1三角形非協調元逼近,利用該單元僅包含一次多項式的性質,克服了界面附近單元誤差估計的困難,得到了最優(yōu)誤差估計結果,并給出了兩個數值算例驗證了理論分析的正確性.該部分內容發(fā)表在SCI期刊《Applied Mat