最優(yōu)控制問(wèn)題RT1混合有限元方法.pdf

1、最優(yōu)控制問(wèn)題存在于現(xiàn)實(shí)生活中的各個(gè)方面,如溫度控制問(wèn)題、電磁場(chǎng)控制問(wèn)題、空氣污染控制問(wèn)題、生物工程中細(xì)菌數(shù)量的控制問(wèn)題和電氣化學(xué)機(jī)器設(shè)計(jì)問(wèn)題等等.有效的數(shù)值方法是將這些最優(yōu)控制問(wèn)題成功地應(yīng)用于實(shí)際領(lǐng)域中去的關(guān)鍵.近些年,已經(jīng)形成多種高效的數(shù)值計(jì)算方法來(lái)求解最優(yōu)控制問(wèn)題,其中有限元方法應(yīng)用最為廣泛.當(dāng)最優(yōu)控制問(wèn)題的目標(biāo)泛函中包含標(biāo)量函數(shù)的梯度時(shí),混合有限元方法便是一種最為有效的數(shù)值方法.本文中,作者將研究橢圓最優(yōu)控制問(wèn)題RT1混合有限元解

2、的最大模和超收斂誤差估計(jì),以及拋物最優(yōu)控制問(wèn)題的先驗(yàn)和后驗(yàn)誤差估計(jì).
　　本文可分為三個(gè)部分.第一部分,本文研究了線性橢圓型最優(yōu)控制問(wèn)題.首先,利用變分原理推出最優(yōu)控制問(wèn)題的最優(yōu)性條件,即一個(gè)由狀態(tài)方程、對(duì)偶狀態(tài)方程和一個(gè)變分不等式三者組成的系統(tǒng);利用RT1混合有限元逼近狀態(tài)和對(duì)偶狀態(tài)變量,用分片線性不連續(xù)函數(shù)來(lái)離散控制變量,從而得到最優(yōu)控制問(wèn)題的混合有限元逼近格式.針對(duì)一類(lèi)控制積分受限最優(yōu)控制問(wèn)題,采用陳煥貞和姜子文給出的格林函

3、數(shù)以及對(duì)偶論證方法,得到最優(yōu)控制問(wèn)題混合有限元解的最優(yōu)L∞先驗(yàn)誤差估計(jì).對(duì)于障礙型最優(yōu)控制問(wèn)題,采用C.Meyer和A.Rosch給出的基函數(shù)分析方法得到控制變量的L∞誤差估計(jì).最后,給出一些數(shù)值算例驗(yàn)證得到的理論結(jié)果.
　　第二部分,研究半線性橢圓最優(yōu)控制問(wèn)題.利用RT1混合有限元離散狀態(tài)與對(duì)偶狀態(tài)變量,用分片線性函數(shù)或分片常數(shù)函數(shù)來(lái)逼近控制變量.針對(duì)一類(lèi)控制積分受限最優(yōu)控制問(wèn)題,當(dāng)控制變量采用分片常數(shù)函數(shù)逼近時(shí),通過(guò)后處理技巧

4、,得到一個(gè)L2范數(shù)意義下的全局超收斂結(jié)果;當(dāng)控制變量采用分片線性函數(shù)逼近時(shí),得到最優(yōu)控制問(wèn)題混合有限元解的L∞誤差估計(jì).最后,給出一些數(shù)值算例驗(yàn)證得到的理論結(jié)果.
　　第三部分,分析拋物最優(yōu)控制問(wèn)題.這里狀態(tài)與對(duì)偶狀態(tài)變量采用RT1混合有限元離散,控制變量不離散或采用分片線性函數(shù)離散.首先,采用M.Hinze提出來(lái)的變分離散方法,不離散控制變量,通過(guò)對(duì)偶狀態(tài)數(shù)值解的一個(gè)投影得到控制變量數(shù)值解,得到最優(yōu)控制問(wèn)題全離散格式的收斂性.接