常重碼與常重復(fù)合碼及其相關(guān)設(shè)計(jì).pdf

1、在編碼理論中，常重碼是一種帶有檢錯(cuò)和糾錯(cuò)能力的重要編碼，其中所有的碼字都有相同的Hamming重量。常重復(fù)合碼是一類特殊的常重碼，而置換碼可視為一類特殊的常重復(fù)合碼。常重復(fù)合碼近來(lái)吸引了相當(dāng)多的學(xué)者參與其研究，這主要是因?yàn)槠鋸V泛的應(yīng)用背景，例如:離散無(wú)記憶信道中無(wú)錯(cuò)判決反饋容量的確定、多址方式的通信問(wèn)題、球碼調(diào)制、DNA編碼、電力線通信、跳頻序列、頻率置換陣列以及頻寬限制信道中的編碼問(wèn)題。
　　常重復(fù)合碼問(wèn)題的系統(tǒng)研究開始于二十世

2、紀(jì)九十年代末。今天，許多方法都被用來(lái)確定常重復(fù)合碼的最大碼字個(gè)數(shù)問(wèn)題。在Svanstr(o)m等人的論文中，對(duì)于長(zhǎng)度為n，極小Hamming距離為d且復(fù)合構(gòu)型為(w)的三元碼的極大碼字個(gè)數(shù)A3(n，d，(w))提出了一些求上界及下界的方法。重量為3的最優(yōu)三元常重復(fù)合碼、重量為4且極小Hamming距離為5的最優(yōu)三元常重復(fù)合碼、重量為3的最優(yōu)四元常重復(fù)合碼以及重量為4且極小Hamming距離為7的最優(yōu)四元常重復(fù)合碼的碼字個(gè)數(shù)問(wèn)題都已先后被

3、解決。本文第三章和第四章中將分別研究重量為4，極小距離為5或6的最優(yōu)四元常重復(fù)合碼以及距離為6、復(fù)合構(gòu)型為[2，2]的最優(yōu)三元常重復(fù)合碼的構(gòu)造問(wèn)題，并都得到了較為完整的存在性結(jié)果。
　　在第三章中，一些最優(yōu)（n，5，[2，1，1]）4碼可以由一個(gè)帶有超單性質(zhì)的n階Room方得到。早在1850年，Kirkman就給出了一個(gè)7階Room方，并將其用來(lái)解決了著名的“15女生問(wèn)題”。在后來(lái)的時(shí)間里，數(shù)學(xué)家們嘗試了用代數(shù)、圖論以及組合等方法

4、來(lái)研究高階Room方的存在性問(wèn)題。在一個(gè)257階的Room方被證明存在后，v階Room方的存在性問(wèn)題最終得到了完全解決。Room方與很多組合結(jié)構(gòu)都有聯(lián)系。例如，帶有特殊性質(zhì)的Room方曾被用來(lái)構(gòu)造4-GDD。Room frame，可視為Room方的一種推廣，曾被用來(lái)構(gòu)造n階幾乎完全可分的有向k圈系和4-frame。第三章中出現(xiàn)的超單Room方的存在性問(wèn)題本身也是一個(gè)值得研究的問(wèn)題。在第五章中，除了兩個(gè)極小的階數(shù)不能確定，這個(gè)問(wèn)題得到了較

5、好的解決。
　　早期，當(dāng)許多無(wú)約束編碼在信道通信糾錯(cuò)等方面有明顯的應(yīng)用時(shí)，常重碼被認(rèn)為是僅有理論意義的編碼。但在今天，人們發(fā)現(xiàn)常重碼在越來(lái)越多的方面有重要應(yīng)用。常重碼在許多工程問(wèn)題上被廣泛應(yīng)用，例如在光導(dǎo)纖維中的碼分多址系統(tǒng)、無(wú)反饋沖突信道中的協(xié)議設(shè)計(jì)、自動(dòng)重傳請(qǐng)求中的錯(cuò)誤控制系統(tǒng)、并行異步通信。另外，常重碼還在球碼和無(wú)偏直流約束碼的設(shè)計(jì)中充當(dāng)基礎(chǔ)構(gòu)件的角色。其更進(jìn)一步的應(yīng)用也已經(jīng)擴(kuò)展到跳頻擴(kuò)頻系統(tǒng)、雷達(dá)和聲納的信號(hào)設(shè)計(jì)、移動(dòng)無(wú)線

6、電通信和信號(hào)同步。一種帶有特殊性質(zhì)的K-GDD被用來(lái)構(gòu)造常重碼。這種K-GDD被記為K-*GDD，其中任意兩個(gè)相交區(qū)組中的點(diǎn)最多共享兩個(gè)共同的組。在第六章中將主要考察4-*GDD(gn)的存在性。在此之前，這類GDD存在性的必要條件被證明在下列情況下也是充分的:g=3時(shí)，或者g=6且n為素?cái)?shù)冪、n≡3，5，7(mod8)、n≥19時(shí)。在這一章中，將證明4-*GDD(6n)存在的必要條件，n≥14，也是充分的。相應(yīng)的最優(yōu)四元（n，5，4）