2023年全國碩士研究生考試考研英語一試題真題(含答案詳解+作文范文)_第1頁
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文檔簡介

1、路和圈是圖的兩個基本結(jié)構(gòu),是分析、刻畫圖的整體結(jié)構(gòu)的有力工具.大量的實際問題都可以歸結(jié)為圖的路和圈的問題.對圖的路圈性質(zhì)的研究是在圖論中的著名問題——哈密頓問題的基礎(chǔ)上發(fā)展而來的.關(guān)于圖的哈密頓圈的研究,已經(jīng)取得了長足的發(fā)展,這方面的研究成果和進展情況可參見文獻.對圖的路和圈性質(zhì)的研究一直是圖論中的熱門領(lǐng)域,經(jīng)過幾十年的發(fā)展,圖的路圈性質(zhì)所涉及的內(nèi)容日益豐富和具體。路的方面包括圖的哈密頓路(可跡性)、最長路、Hamilton連通、泛連通

2、、路可擴等等;圈的方面包括圖的哈密頓圈、最長圈、(點)泛圈、完全圈可擴等等. 由于直接研究一般圖的路圈性質(zhì)比較困難,若干年來相關(guān)的研究主要集中在一些特殊圖類上,即不含某些禁用子圖的圖類.其中比較有代表性的是無爪圖,它是以K1,3為禁用子圖的圖類,研究該圖類的最初動機來源于Deineke所給的線圖的性質(zhì)[8][9],上個世紀(jì)八九十年代對無爪圖的研究成為圖論中的著名課題,至今在這方面已取得了相當(dāng)多的研究成果.在此基礎(chǔ)上,人們將研究圖

3、類逐漸拓寬至幾乎無爪圖、爪心獨立圖、半無爪圖、(K1,p;q)-圖等等.這些圖類或是無爪圖的推廣,或與無爪圖有密切聯(lián)系,近年來其它一些新型的禁用子圖也不斷被提出.本文就是研究某些禁用子圖與圖的路圈性質(zhì). 第一章主要介紹本文的研究背景和相關(guān)結(jié)論,以及文章所涉及到的一些基本概念和術(shù)語符號. 第二章主要研究半無爪圖的可跡性.這一章分為四個小節(jié),在§2.1節(jié)介紹了半無爪圖的概念和研究成果,§2.2,§2.3,§2.4節(jié)分別給出了

4、本章的三個主要定理.引理2.2.1設(shè)G是n階連通半無爪圖,P是一條長為r的路(3≤r<n),如果G不含長為r+1的路,則對()ux∈E(V(P),V(G)-V(P)),有u-u+∈E(G). 引理2.2.2設(shè)G是n階連通半無爪圖,P是G的一條最長路(|P|<n),H是G-P的一個連通分支,ux,uy∈E(V(P),V(H))(u,v∈V(P);x,y∈V(H)),那么(a)u(){v-,v-2,v-3,v+,v+2,v+3}(b

5、)v-,u+,v-2,v+2()N(u)(c)E({u-,u-2},{u-,u-2})=Φ=E({u+,u+2},{v+,v+2}). 定理2.2.3若G為n階2-連通半無爪圖,滿足NC≥n-2/2,則G是可跡的. 引理2.3.1設(shè)G是連通半無爪圖,u∈V(G),P是G中一條最長的v-的路,ux∈E(V(P)-{v},V(G-P))(u∈V(P),x∈V(G-P)),則u-u+∈E(G). 定理2.3.2若G為n

6、階3-連通半無爪圖,滿足NC≥2n-5/3,則圖G是齊次可跡的. 定理2.4若G為n階2-連通半無爪圖,滿足NC≥2n-4/3,則圖G是齊次可跡的. 第三章主要研究(K1,p;q)-圖(p=4,q=1,2)的路性質(zhì).這一章分為三個小節(jié),§3.1節(jié)主要介紹(K1,p;q)-圖的概念及研究狀況,§3.2節(jié)研究(K1,4;1)-圖的3-walk,§3.3節(jié)研究(K1,4;2)-圖的路可擴性,所得到的主要定理如下: 引理

7、3.2.1設(shè)G是一個K1,4-free圖,x∈V(G),C是G的一個coveringwalk.如果V(x,C)≥4,則存在一個coveringwalkC′使得l(C′)≤l(C)-1,V(x,C′)=V(x,C)-1并且對任意的y∈V(G)(y≠x)有u(y,C′)≤V(y,C). 推論3.2.2每一個連通的K1,4-free圖的最小coveringwalk是一個3-walk. 推論3.2.3每一個連通的K1,4-fre

8、e圖都有一個3-walk. 推論3.2.4在連通的K1,4-free圖中,如果存在一個coveringwalk通過x點n(n≤3)次,那么一定存在一個3-walk通過x點n次. 論斷3.2.5設(shè)G是連通的K1,4-free圖,x∈V(G),則存在一個3-walkC使得V(x,C)=1當(dāng)且僅當(dāng)x不是G的割點. 由論斷3.2.3和推論3.2.5可得:定理3.2.6連通的k1.4-free圖存在一個3-walk,并且對

9、x∈V(G)存在一個3-walk通過x恰好一次當(dāng)且僅當(dāng)x不是G的割點. 定理3.3.4設(shè)G是連通,局部2-連通的(K1,4;2)-圖,|G|≥7,δ≥3,則G是路可擴的. 第四章研究爪心獨立圖和T3-受限圖的圈性質(zhì).這兩類圖都是和無爪圖有密切聯(lián)系的圖,其中T3-受限圖是本文所定義的一類新圖.§4.1節(jié)研究爪心獨立圖的模k泛圈性,§4.2節(jié)研究T3-受限圖的Hamilton性質(zhì),所得到的主要定理如下: 定理4.1.

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